Abstände und Winkel im Raum
Wie weit ist ein Punkt von einer Geraden entfernt? Wie nah kommen sich zwei Geraden, die sich nicht schneiden? Und unter welchem Winkel trifft eine Gerade auf eine Ebene? Mit Lotfußpunkt, Normalenvektor und Skalarprodukt lösen sich all diese Fragen nach demselben Muster.
Welche Abstände gibt es?
Ein Abstand ist immer die kürzeste Entfernung. Die kürzeste Verbindung steht senkrecht auf den beteiligten Objekten – deshalb spielt das Lot überall die Hauptrolle.
| Abstand | Idee | Formel / Verfahren |
|---|---|---|
| Punkt–Punkt | Länge des Verbindungsvektors | $d = |\vec{PQ}|$ (siehe Betrag und Abstand) |
| Punkt–Ebene | Lot auf die Ebene | Hessesche Normalform $d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{q} - d|}{|\vec{n}|}$ (siehe Ebenen) |
| Punkt–Gerade | Lotfußpunkt F auf der Geraden | $\vec{QF} \cdot \vec{u} = 0$, dann $d = |\vec{QF}|$ |
| parallele Geraden | wie Punkt–Gerade | Abstand eines Punktes der einen Geraden zur anderen |
| windschiefe Geraden | gemeinsames Lot | $d = \frac{|\vec{PR} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ mit $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ |
| Gerade–Ebene, Ebene–Ebene | nur wenn parallel, sonst 0 | Abstand eines Punktes zur Ebene (Hessesche Normalform) |
Abstand Punkt–Gerade mit dem Lotfußpunkt
Lotfußpunktverfahren
Gegeben sind ein Punkt $Q$ und die Gerade $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$.
- Laufpunkt aufstellen: $F_t = P + t \cdot \vec{u}$ und den Vektor $\vec{QF_t}$ bilden.
- Senkrecht-Bedingung: $\vec{QF_t} \cdot \vec{u} = 0$ nach $t$ auflösen.
- $t$ einsetzen – das ist der Lotfußpunkt $F$.
- Der Abstand ist $d(Q, g) = |\vec{QF}|$.
Beispiel: Q(4 | 3 | 2) und g: x = (1 | 0 | 2) + t · (2 | 1 | −2)
1. Laufpunkt: $\vec{QF_t} = \begin{pmatrix} 1 + 2t \\ t \\ 2 - 2t \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 + 2t \\ -3 + t \\ -2t \end{pmatrix}$
2. Senkrecht zu $\vec{u}$: $2(-3 + 2t) + 1 \cdot (-3 + t) - 2 \cdot (-2t) = 9t - 9 = 0 \Rightarrow t = 1$
3. Lotfußpunkt: $F = (1 + 2 \mid 0 + 1 \mid 2 - 2) = F(3 \mid 1 \mid 0)$
4. Abstand: $\vec{QF} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$, also $d = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$.
Tipp: Kontrolle mit dem Kreuzprodukt
Ohne Lotfußpunkt geht es mit der Formel $d = \frac{|\vec{PQ} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$. Im Beispiel: $\vec{PQ} \times \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}$, Länge 9, geteilt durch $|\vec{u}| = 3$ ergibt wieder $d = 3$ ✓. Das Kreuzprodukt liefert den Flächeninhalt des Parallelogramms aus $\vec{PQ}$ und $\vec{u}$ – geteilt durch die Grundseite $|\vec{u}|$ bleibt die Höhe, also der Abstand.
Eine zweite Methode ist die Hilfsebene: Die Ebene durch Q mit Normalenvektor $\vec{u}$ schneidet g genau im Lotfußpunkt. Beide Wege führen auf dieselbe Gleichung für t.
Abstand paralleler Geraden
Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander, sind die Geraden parallel (oder identisch). Liegt der Stützpunkt R von h nicht auf g, ist der Abstand der Geraden einfach der Abstand des Punktes R von g – also wieder ein Abstand Punkt–Gerade.
Beispiel
$g: \vec{x} = (1 \mid 0 \mid 2) + t \cdot (2 \mid 1 \mid -2)$ und $h: \vec{x} = (4 \mid 3 \mid 2) + s \cdot (-4 \mid -2 \mid 4)$. Wegen $(-4 \mid -2 \mid 4) = -2 \cdot (2 \mid 1 \mid -2)$ sind die Geraden parallel. Der Abstand von $R(4 \mid 3 \mid 2)$ zu g ist (siehe oben) $3$, also $d(g, h) = 3$.
Abstand windschiefer Geraden
Zwei Geraden im Raum, die weder parallel sind noch sich schneiden, heißen windschief. Es gibt genau eine Strecke, die auf beiden senkrecht steht – das gemeinsame Lot. Seine Länge ist der Abstand.
Abstand windschiefer Geraden
Für $g: \vec{x} = \vec{p} + s\vec{u}$ und $h: \vec{x} = \vec{r} + t\vec{v}$ steht $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ auf beiden Geraden senkrecht. Dann gilt
Ist $\vec{PR} \cdot \vec{n} = 0$, liegen beide Geraden in einer Ebene – sie schneiden sich (bei verschiedenen Richtungen).
Beispiel: g: x = (1 | 1 | 0) + s · (2 | −1 | 0), h: x = (4 | 1 | 3) + t · (0 | 1 | −1)
Normalenvektor: $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$, $|\vec{n}| = 3$.
$\vec{PR} = (3 \mid 0 \mid 3)$, also $\vec{PR} \cdot \vec{n} = 3 + 0 + 6 = 9 \ne 0$ – die Geraden sind windschief, und $d = \frac{9}{3} = 3$.
Lotfußpunkte: Der Verbindungsvektor $\vec{F_gF_h} = \vec{r} + t\vec{v} - \vec{p} - s\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 - 2s \\ s + t \\ 3 - t \end{pmatrix}$ muss auf $\vec{u}$ und $\vec{v}$ senkrecht stehen:
Daraus folgt $s = 1$ und $t = 1$, also $F_g(3 \mid 0 \mid 0)$ und $F_h(4 \mid 2 \mid 2)$. Probe: $|\vec{F_gF_h}| = |(1 \mid 2 \mid 2)| = 3$ ✓
Tipp: Lage zweier Geraden prüfen
Erst die Richtungsvektoren vergleichen: Vielfache → parallel oder identisch. Sonst entscheidet $\vec{PR} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$: null → Schnittpunkt, nicht null → windschief. Den Schnittpunkt selbst berechnest Du wie bei den Geraden im Raum durch Gleichsetzen.
Abstand Gerade–Ebene und Ebene–Ebene
Schneiden sich Gerade und Ebene (bzw. zwei Ebenen), ist der Abstand 0. Einen echten Abstand gibt es nur bei Parallelität – und dann haben alle Punkte denselben Abstand. Du nimmst also einen beliebigen Punkt und rechnest den Abstand Punkt–Ebene mit der Hesseschen Normalform.
- Gerade parallel zu E, wenn $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ und der Stützpunkt nicht in E liegt. Beispiel: $g: \vec{x} = (1 \mid 1 \mid 1) + t \cdot (2 \mid -1 \mid 0)$ und $E: x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 12$. Es ist $\vec{n} \cdot \vec{u} = 2 - 2 + 0 = 0$ und $d = \frac{|1 + 2 + 2 - 12|}{3} = \frac{7}{3}$.
- Ebenen parallel, wenn die Normalenvektoren Vielfache sind. Beispiel: $E: x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 3$ und $F: 2x_1 + 4x_2 + 4x_3 = 24$. Der Punkt $(3 \mid 0 \mid 0)$ liegt in E, sein Abstand von F ist $\frac{|6 - 24|}{\sqrt{36}} = 3$.
Schnittwinkel
Winkel zwischen Geraden und Ebenen bestimmst Du über die Richtungs- und Normalenvektoren und das Skalarprodukt. Der Betrag im Zähler sorgt dafür, dass immer der spitze Schnittwinkel (zwischen 0° und 90°) herauskommt.
Die drei Winkelformeln
Beispiele
Gerade–Gerade mit $\vec{u} = (1 \mid 1 \mid 0)$, $\vec{v} = (0 \mid 1 \mid 1)$: $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$, also $\varphi = 60^\circ$.
Gerade–Ebene mit $\vec{u} = (1 \mid 1 \mid 1)$ und $E: x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 9$: $\sin\varphi = \frac{|1 + 2 + 2|}{\sqrt{3} \cdot 3} = \frac{5}{3\sqrt{3}} \approx 0{,}9623$, also $\varphi \approx 74{,}2^\circ$.
Ebene–Ebene mit $\vec{n}_1 = (1 \mid 1 \mid 1)$, $\vec{n}_2 = (1 \mid -1 \mid 2)$: $\cos\varphi = \frac{2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0{,}4714$, also $\varphi \approx 61{,}9^\circ$.
Warum Sinus bei Gerade und Ebene?
Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene. Der Winkel $\alpha$ zwischen $\vec{u}$ und $\vec{n}$ und der gesuchte Winkel $\varphi$ zwischen Gerade und Ebene ergänzen sich zu 90°. Wegen $\cos(90^\circ - \varphi) = \sin\varphi$ steht in der Formel der Sinus. Wer lieber mit dem Kosinus rechnet, bestimmt $\alpha$ und nimmt $\varphi = 90^\circ - \alpha$.
Bei windschiefen Geraden spricht man vom Winkel zwischen den Richtungen: Man verschiebt eine Gerade parallel, bis sie die andere schneidet. Die Formel bleibt dieselbe.
Typische Fehler
- Beim Lotfußpunkt den Punkt Q statt des Laufpunkts $F_t$ in die Geradengleichung setzen – die Bedingung lautet $\vec{QF_t} \cdot \vec{u} = 0$.
- Nur $t$ angeben und vergessen, den Lotfußpunkt und die Länge $|\vec{QF}|$ auszurechnen.
- Bei windschiefen Geraden durch $|\vec{n}|$ zu teilen vergessen – oder mit $\vec{PR}$ statt mit $\vec{PR} \cdot \vec{n}$ rechnen.
- Den Abstand paralleler Geraden mit der Formel für windschiefe berechnen: Dort ist $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$, die Formel funktioniert nicht.
- Gerade–Ebene mit dem Kosinus rechnen – das liefert den Winkel zum Normalenvektor, nicht zur Ebene.
- Den Betrag im Zähler weglassen und einen stumpfen Winkel über 90° angeben.
Online üben: Abstände
Stufe 1: Abstand Punkt–Gerade
-
Aufgabe 1
\(Q(-3 \mid -8 \mid -2),\) \(g:\ \vec{x} = (0 \mid -4 \mid -4) + t \cdot (0 \mid 0 \mid 1)\)\(d =\)\(F(0 \mid -4 \mid -2),\quad d = 5\)
-
Aufgabe 2
\(Q(5 \mid -10 \mid -1),\) \(g:\ \vec{x} = (3 \mid 1 \mid 3) + t \cdot (-3 \mid 4 \mid 2)\)\(d =\)\(F(9 \mid -7 \mid -1),\quad d = 5\)
-
Aufgabe 3
\(Q(-6 \mid 0 \mid 5),\) \(g:\ \vec{x} = (-4 \mid -3 \mid 3) + t \cdot (1 \mid 0 \mid -1)\)\(d =\)\(F(-6 \mid -3 \mid 5),\quad d = 3\)
-
Aufgabe 4
\(Q(7 \mid -3 \mid 3),\) \(g:\ \vec{x} = (0 \mid 3 \mid 1) + t \cdot (0 \mid -1 \mid -1)\)\(d =\)\(F(0 \mid 1 \mid -1),\quad d = 9\)
-
Aufgabe 5
\(Q(8 \mid -3 \mid 4),\) \(g:\ \vec{x} = (4 \mid -1 \mid -1) + t \cdot (2 \mid 2 \mid 1)\)\(d =\)\(F(6 \mid 1 \mid 0),\quad d = 6\)
-
Aufgabe 6
\(Q(-5 \mid 10 \mid 9),\) \(g:\ \vec{x} = (2 \mid 4 \mid 1) + t \cdot (-4 \mid 1 \mid 0)\)\(d =\)\(F(-6 \mid 6 \mid 1),\quad d = 9\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Abstände im Raum: Punkt–Gerade und zwei Geraden
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Online üben: Schnittwinkel
Stufe 1: Gerade–Gerade
-
Aufgabe 1
\(g:\ \vec{x} = (5 \mid -2 \mid -5) + s \cdot (-1 \mid 2 \mid 2),\) \(h:\ \vec{x} = (6 \mid 5 \mid -2) + t \cdot (-3 \mid -3 \mid 1)\)\(φ ≈\)°\(\varphi \approx 85{,}6^\circ\)
-
Aufgabe 2
\(g:\ \vec{x} = (2 \mid 4 \mid -1) + s \cdot (1 \mid 1 \mid 0),\) \(h:\ \vec{x} = (-4 \mid 2 \mid 5) + t \cdot (-2 \mid 0 \mid 3)\)\(φ ≈\)°\(\varphi \approx 66{,}9^\circ\)
-
Aufgabe 3
\(g:\ \vec{x} = (-3 \mid -3 \mid -2) + s \cdot (3 \mid 1 \mid 0),\) \(h:\ \vec{x} = (-1 \mid -3 \mid 0) + t \cdot (2 \mid 1 \mid -1)\)\(φ ≈\)°\(\varphi \approx 25{,}4^\circ\)
-
Aufgabe 4
\(g:\ \vec{x} = (0 \mid -1 \mid -3) + s \cdot (-2 \mid 0 \mid -2),\) \(h:\ \vec{x} = (6 \mid -1 \mid -5) + t \cdot (-2 \mid 0 \mid 2)\)\(φ ≈\)°\(\varphi = 90^\circ\)
-
Aufgabe 5
\(g:\ \vec{x} = (-2 \mid 0 \mid 4) + s \cdot (0 \mid -1 \mid -1),\) \(h:\ \vec{x} = (-2 \mid -2 \mid -2) + t \cdot (0 \mid 0 \mid -2)\)\(φ ≈\)°\(\varphi = 45^\circ\)
-
Aufgabe 6
\(g:\ \vec{x} = (4 \mid 7 \mid -3) + s \cdot (-2 \mid -2 \mid 0),\) \(h:\ \vec{x} = (2 \mid 5 \mid -5) + t \cdot (2 \mid 2 \mid -2)\)\(φ ≈\)°\(\varphi \approx 35{,}3^\circ\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Schnittwinkel von Geraden und Ebenen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Eigene Aufgaben rechnet der Analytische-Geometrie-Rechner mit Rechenweg und Skizze. Weiter geht es mit Spiegelungen und Spurpunkten und der Kugel; Grundlagen zu Ebenen und Hessescher Normalform findest Du unter Ebenen im Raum. Welcher Rechenweg wann schneller ist, zeigt der Vergleich Zwei Lösungswege nebeneinander.
Weiterlesen: Gemeinlot, Schnittwinkel (Geometrie) bei Wikipedia