Kugel-Rechner
Gib eine Kugel ein – mit Mittelpunkt und Radius, als Gleichung oder durch vier Punkte. Der Rechner bestimmt Mittelpunkt, Radius und Kugelgleichung und auf Wunsch die Lage eines Punktes, die Schnittpunkte mit einer Geraden, den Schnittkreis mit einer Ebene, die Tangentialebene in einem Punkt, die beiden Tangentialebenen parallel zu einer Ebene und die Lage einer zweiten Kugel.
So rechnet der Rechner
| Frage | Weg |
|---|---|
| Kugelgleichung | $(x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2$; aus der ausmultiplizierten Form mit quadratischer Ergänzung |
| Punkt | $|\vec{MP}|^2$ mit $r^2$ vergleichen: kleiner → innen, gleich → auf der Kugel, größer → außen |
| Gerade | Gerade in die Kugelgleichung einsetzen → quadratische Gleichung in t: zwei, eine oder keine Lösung (Sekante, Tangente, Passante) |
| Ebene | Abstand $d$ von M zur Ebene mit $r$ vergleichen; Schnittkreis: Mittelpunkt = Lotfußpunkt von M, Radius $\rho = \sqrt{r^2 - d^2}$ |
| Tangentialebene in B | Normalenvektor $\vec{n} = \vec{MB}$, Gleichung $(\vec{x} - \vec{b}) \cdot \vec{n} = 0$ |
| Tangentialebenen parallel zu E | gleicher Normalenvektor $\vec{n}$ wie E, Abstand von M gleich r: $c = \vec{n} \cdot \vec{m} \pm r \cdot |\vec{n}|$; Berührpunkte $M \pm \frac{r}{|\vec{n}|} \cdot \vec{n}$ |
| zweite Kugel | Abstand $d$ der Mittelpunkte mit $r + r_2$ und $|r - r_2|$ vergleichen; Kugelgleichungen voneinander abziehen → Ebene des Schnittkreises bzw. gemeinsame Tangentialebene; Mittelpunkt des Schnittkreises = Lotfußpunkt von M |
| vier Punkte | Ansatz $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + a x_1 + b x_2 + c x_3 + e = 0$, lineares Gleichungssystem für a, b, c, e |
Erklärungen mit Beispielen findest Du auf der Seite Kugel in der analytischen Geometrie. Abstände und Winkel zwischen Geraden und Ebenen berechnet der Analytische-Geometrie-Rechner, Ebenengleichungen der Ebenenrechner. Dieselben Fragen in der Ebene – zwei Kreise und ihre gemeinsamen Tangenten – beantwortet der Rechner für gemeinsame Tangenten zweier Kreise.
Selbst üben
Stufe 1: Lage zweier Kugeln, Gerade und Kugel
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Aufgabe 1
\(K:\ (x_{1} - 4)^2 + (x_{2} - 4)^2 + (x_{3} + 3)^2\) \(= 25,\) \(K_2:\ (x_{1} - 2)^2 + (x_{2} - 2)^2 + (x_{3} + 4)^2\) \(= 1:\ \text{Lage?}\)\(d = 3,\) \(r_1 = 5,\) \(r_2 = 1:\ d < |r_1 - r_2|\) \(\Rightarrow\) kein gemeinsamer Punkt
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Aufgabe 2
\(K:\ (x_{1} + 4)^2 + (x_{2} + 1)^2 + (x_{3} - 4)^2\) \(= 81,\) \(K_2:\ (x_{1} + 10)^2 + (x_{2} + 3)^2 + (x_{3} - 7)^2\) \(= 4:\ \text{Lage?}\)\(d = 7,\) \(r_1 = 9,\) \(r_2 = 2:\ d = |r_1 - r_2|\) \(\Rightarrow\) berühren sich
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Aufgabe 3
\(K:\ x_{1}^2 + (x_{2} - 3)^2 + (x_{3} + 4)^2\) \(= 9,\) \(K_2:\ (x_{1} - 8)^2 + (x_{2} - 7)^2 + (x_{3} + 5)^2\) \(= 36:\ \text{Lage?}\)\(d = 9,\) \(r_1 = 3,\) \(r_2 = 6:\ d = r_1 + r_2\) \(\Rightarrow\) berühren sich
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Aufgabe 4
\(K:\ (x_{1} - 11)^2 + (x_{2} + 7)^2 + (x_{3} + 2)^2\) \(= 81,\) \(g:\ \vec{x} = (2 \mid 3 \mid -4) + t \cdot (-4 \mid 1 \mid -3):\) Sekante, Tangente oder Passante?\(d(M, g) = 9 = 9 = r\) \(\Rightarrow\) Tangente
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
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