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Kugel in der analytischen Geometrie

Eine Kugel besteht aus allen Punkten, die von einem Mittelpunkt M denselben Abstand r haben. Aus dieser einen Idee folgen die Kugelgleichung und alle Lagebeziehungen: Ein Punkt liegt innen oder außen, eine Gerade ist Sekante, Tangente oder Passante, und eine Ebene schneidet einen Kreis aus der Kugel – oder berührt sie. Auch zwei Kugeln können sich in einem Kreis schneiden oder berühren.

Die Kugelgleichung

Kugel mit Mittelpunkt M(m₁ | m₂ | m₃) und Radius r

\[(\vec{x} - \vec{m})^2 = r^2 \quad\Leftrightarrow\quad (x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2\]

Links steht das Quadrat des Abstands von $X$ zu $M$. Ein Punkt liegt genau dann auf der Kugel, wenn er die Gleichung erfüllt.

Beispiel

Die Kugel mit $M(1 \mid -2 \mid 3)$ und $r = 3$ hat die Gleichung $(x_1 - 1)^2 + (x_2 + 2)^2 + (x_3 - 3)^2 = 9$. Der Punkt $P(2 \mid 0 \mid 5)$ liegt auf ihr, denn $1^2 + 2^2 + 2^2 = 9$.

Mittelpunkt und Radius ablesen

Oft ist die Gleichung ausmultipliziert gegeben. Mit der quadratischen Ergänzung bringst Du sie zurück in die Form mit Klammern: Aus $x_1^2 + a\,x_1$ wird $\left(x_1 + \frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$.

Beispiel: x₁² + x₂² + x₃² − 2x₁ + 4x₂ − 6x₃ + 5 = 0

\[(x_1 - 1)^2 - 1 + (x_2 + 2)^2 - 4 + (x_3 - 3)^2 - 9 + 5 = 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x_1 - 1)^2 + (x_2 + 2)^2 + (x_3 - 3)^2 = 9\]

Also $M(1 \mid -2 \mid 3)$ und $r = 3$. Faustregel: Der Mittelpunkt ist minus die Hälfte der Zahlen vor $x_1$, $x_2$, $x_3$.

Nicht jede Gleichung ist eine Kugel

Vor $x_1^2$, $x_2^2$ und $x_3^2$ muss dieselbe Zahl stehen (sonst teilst Du erst durch sie oder es ist gar keine Kugel), und am Ende muss $r^2 > 0$ herauskommen. $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1 + 5 = 0$ führt auf $(x_1 + 1)^2 + x_2^2 + x_3^2 = -4$ – keine Kugel.

Lage eines Punktes

Vergleiche $|\vec{MP}|^2$ mit $r^2$: kleiner → P liegt innerhalb, gleich → auf der Kugel, größer → außerhalb. Die Wurzel brauchst Du dafür gar nicht.

Gerade und Kugel

Sekante, Tangente, Passante

Setze die Koordinaten der Geraden in die Kugelgleichung ein. Es entsteht eine quadratische Gleichung in $t$:

zwei Lösungen → Sekante (zwei Schnittpunkte),
eine Lösung → Tangente (ein Berührpunkt),
keine Lösung → Passante (kein gemeinsamer Punkt).

Beispiel: Kugel wie oben, g: x = (1 | −2 | 0) + t · (0 | 1 | 1)

Einsetzen: $(1 - 1)^2 + (-2 + t + 2)^2 + (t - 3)^2 = 9 \Leftrightarrow t^2 + t^2 - 6t + 9 = 9 \Leftrightarrow 2t^2 - 6t = 0$.

Lösungen $t = 0$ und $t = 3$, also die Schnittpunkte $S_1(1 \mid -2 \mid 0)$ und $S_2(1 \mid 1 \mid 3)$. Die Sehne ist $|\vec{S_1S_2}| = \sqrt{0 + 9 + 9} = 3\sqrt{2}$ lang.

Ebene und Kugel: der Schnittkreis

Abstand d des Mittelpunkts von der Ebene

$d < r$: Die Ebene schneidet die Kugel in einem Schnittkreis. Sein Mittelpunkt $M'$ ist der Lotfußpunkt von $M$ auf der Ebene, sein Radius $\rho = \sqrt{r^2 - d^2}$ (Pythagoras).
$d = r$: Die Ebene ist Tangentialebene, der Lotfußpunkt ist der Berührpunkt.
$d > r$: kein gemeinsamer Punkt.

Beispiel: M(2 | 1 | 1), r = 5, E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 15

Abstand (Hessesche Normalform): $d = \frac{|2 + 2 + 2 - 15|}{3} = 3 < 5$ – es gibt einen Schnittkreis.

Lotgerade $\vec{x} = (2 \mid 1 \mid 1) + \lambda \cdot (1 \mid 2 \mid 2)$ in E: $6 + 9\lambda = 15 \Rightarrow \lambda = 1$, also $M'(3 \mid 3 \mid 3)$. Radius $\rho = \sqrt{25 - 9} = 4$.

Das Lot von M auf die Ebene trifft sie im Mittelpunkt M′ des Schnittkreises.

Tangentialebene in einem Punkt

Die Tangentialebene im Kugelpunkt B steht senkrecht auf dem Radius $\vec{MB}$. Also ist $\vec{MB}$ ihr Normalenvektor:

\[T:\ (\vec{x} - \vec{b}) \cdot \vec{MB} = 0\]

Beispiel: M(1 | −2 | 3), r = 3, B(3 | −1 | 5)

B liegt auf der Kugel: $|\vec{MB}|^2 = 2^2 + 1^2 + 2^2 = 9$ ✓. Mit $\vec{n} = \vec{MB} = (2 \mid 1 \mid 2)$ und $\vec{n} \cdot \vec{b} = 6 - 1 + 10 = 15$ folgt $T: 2x_1 + x_2 + 2x_3 = 15$.

Tangentialebenen parallel zu einer Ebene

Manchmal ist nicht der Berührpunkt gegeben, sondern eine Richtung: Gesucht sind die Tangentialebenen, die zu einer Ebene $E:\ \vec{n} \cdot \vec{x} = d$ parallel sind. Parallele Ebenen haben denselben Normalenvektor, also ist nur die Zahl $c$ in $\vec{n} \cdot \vec{x} = c$ unbekannt. Eine solche Ebene berührt die Kugel, wenn ihr Abstand von M genau r ist:

Zwei Tangentialebenen mit Normalenvektor n

$\dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{m} - c|}{|\vec{n}|} = r \quad\Leftrightarrow\quad c = \vec{n} \cdot \vec{m} \pm r \cdot |\vec{n}|$

Die Berührpunkte liegen auf der Lotgeraden durch M: $B_{1,2} = M \pm \dfrac{r}{|\vec{n}|} \cdot \vec{n}$.

Beispiel: M(1 | −2 | 3), r = 3, E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 1

$\vec{n} = (1 \mid 2 \mid 2)$, $|\vec{n}| = 3$ und $\vec{n} \cdot \vec{m} = 1 - 4 + 6 = 3$. Also $c = 3 \pm 3 \cdot 3$, das heißt $c_1 = 12$ und $c_2 = -6$:

$T_1:\ x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 12$ und $T_2:\ x_1 + 2x_2 + 2x_3 = -6$.

Wegen $\frac{r}{|\vec{n}|} = 1$ sind die Berührpunkte $B_1 = M + \vec{n} = (2 \mid 0 \mid 5)$ und $B_2 = M - \vec{n} = (0 \mid -4 \mid 1)$. Probe: $2 + 0 + 10 = 12$ ✓ und $0 - 8 + 2 = -6$ ✓.

Die Ebenen $x_1 + 2x_2 + 2x_3 = c$ bilden eine Ebenenschar paralleler Ebenen; genau zwei davon berühren die Kugel.

Lage zweier Kugeln

Zwei Kugeln $K_1$ (Mittelpunkt $M_1$, Radius $r_1$) und $K_2$ ($M_2$, $r_2$) vergleichst Du über den Abstand $d = |\vec{M_1M_2}|$ ihrer Mittelpunkte – genau wie zwei Kreise in der Ebene:

Bedingung	Lage	gemeinsame Punkte
$d > r_1 + r_2$	getrennt	keine
$d = r_1 + r_2$	berühren sich von außen	ein Berührpunkt
$\|r_1 - r_2\| < d < r_1 + r_2$	schneiden sich	ein Schnittkreis
$d = \|r_1 - r_2\| > 0$	berühren sich von innen	ein Berührpunkt
$d < \|r_1 - r_2\|$	eine Kugel liegt in der anderen	keine

Schnittkreis zweier Kugeln

Beide Kugelgleichungen ausmultiplizieren und voneinander abziehen. Die Quadrate $x_1^2$, $x_2^2$, $x_3^2$ fallen weg – übrig bleibt eine Ebene, in der der Schnittkreis liegt.
Den Mittelpunkt $M'$ des Schnittkreises bekommst Du als Lotfußpunkt von $M_1$ auf dieser Ebene.
Radius mit Pythagoras: $\rho = \sqrt{r_1^2 - |\vec{M_1M'}|^2}$.

Berühren sich die Kugeln, ist diese Ebene ihre gemeinsame Tangentialebene und $M'$ der Berührpunkt.

Beispiel: M₁(0 | 1 | −1), r₁ = 10 und M₂(7 | 15 | 13), r₂ = 17

$\vec{M_1M_2} = (7 \mid 14 \mid 14)$, also $d = \sqrt{49 + 196 + 196} = 21$. Wegen $17 - 10 = 7 < 21 < 27 = 10 + 17$ schneiden sich die Kugeln.

Ausmultipliziert: $K_1:\ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 2x_2 + 2x_3 = 98$ und $K_2:\ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 14x_1 - 30x_2 - 26x_3 = -154$.

Abziehen: $14x_1 + 28x_2 + 28x_3 = 252$, gekürzt $E:\ x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 18$.

Lotgerade $\vec{x} = (0 \mid 1 \mid -1) + \lambda \cdot (1 \mid 2 \mid 2)$ in E: $0 + 9\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = 2$, also $M'(2 \mid 5 \mid 3)$ und $|\vec{M_1M'}| = 2 \cdot 3 = 6$.

Radius des Schnittkreises: $\rho = \sqrt{100 - 36} = 8$.

Beispiel: Berührung von außen

$K_1$ mit $M_1(1 \mid -2 \mid 3)$, $r_1 = 3$ und $K_2$ mit $M_2(5 \mid 6 \mid 11)$, $r_2 = 9$: $d = |(4 \mid 8 \mid 8)| = 12 = 3 + 9$. Der Berührpunkt liegt auf der Strecke $M_1M_2$, und zwar $r_1$ von $M_1$ entfernt: $B = M_1 + \frac{3}{12} \cdot (4 \mid 8 \mid 8) = (2 \mid 0 \mid 5)$.

Kugel durch vier Punkte (kurz)

Vier Punkte, die nicht in einer Ebene liegen, bestimmen genau eine Kugel. Ansatz: $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + a x_1 + b x_2 + c x_3 + e = 0$. Jeder Punkt liefert eine lineare Gleichung für $a, b, c, e$ – das Gleichungssystem löst Du mit dem Gauß-Verfahren. Danach liefert die quadratische Ergänzung Mittelpunkt und Radius.

Typische Fehler

Vorzeichen beim Mittelpunkt: $(x_2 + 2)^2$ gehört zu $m_2 = -2$.
$r^2$ und $r$ verwechseln: Rechts steht $r^2 = 9$, der Radius ist $3$.
Bei der quadratischen Ergänzung die abgezogenen Quadrate vergessen.
Beim Schnittkreis den Radius der Kugel statt $\rho = \sqrt{r^2 - d^2}$ angeben – oder als Mittelpunkt M statt des Lotfußpunkts $M'$.
Die Tangentialebene in einem Punkt aufstellen, der gar nicht auf der Kugel liegt.
Bei zwei Kugeln nur $d$ mit $r_1 + r_2$ vergleichen – auch $|r_1 - r_2|$ gehört dazu, sonst übersiehst Du eine Kugel in der anderen.

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Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 1: Mittelpunkt und Radius

Aufgabe 1
$K:\ x_{1}^2 + x_{2}^2 + x_{3}^2 - 2x_{1} + 10x_{2} + 4x_{3} + 26$ $= 0$

$m₁; m₂; m₃; r$

$M(1 \mid -5 \mid -2),\quad r = 2$
Aufgabe 2
$K:\ x_{1}^2 + x_{2}^2 + x_{3}^2 + 2x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} - 58$ $= 0$

$m₁; m₂; m₃; r$

$M(-1 \mid -1 \mid -2),\quad r = 8$
Aufgabe 3
$K:\ x_{1}^2 + x_{2}^2 + x_{3}^2 + 2x_{1} + 10x_{2} + 8x_{3} - 22$ $= 0$

$m₁; m₂; m₃; r$

$M(-1 \mid -5 \mid -4),\quad r = 8$
Aufgabe 4
$K:\ x_{1}^2 + x_{2}^2 + x_{3}^2 + 2x_{1} - 10x_{3} + 25$ $= 0$

$m₁; m₂; m₃; r$

$M(-1 \mid 0 \mid 5),\quad r = 1$
Aufgabe 5
$K:\ x_{1}^2 + x_{2}^2 + x_{3}^2 - 8x_{1} + 4x_{2} + 6x_{3} + 22$ $= 0$

$m₁; m₂; m₃; r$

$M(4 \mid -2 \mid -3),\quad r = \sqrt{7}$
Aufgabe 6
$K:\ x_{1}^2 + x_{2}^2 + x_{3}^2 - 10x_{2} - 10x_{3} + 25$ $= 0$

$m₁; m₂; m₃; r$

$M(0 \mid 5 \mid 5),\quad r = 5$

Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.

Arbeitsblatt: Kugeln im Raum

Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.

Zwei Kugeln, Schnittkreis und Tangentialebenen