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Übergangsmatrizen und Prozesse

Kunden wechseln den Anbieter, Tiere wandern zwischen Revieren, Käfer durchlaufen Ei, Larve und Käferstadium. Solche Prozesse laufen in Schritten ab – und jeder Schritt ist eine Matrix mal ein Vektor. Mit Übergangsmatrizen kannst Du vorhersagen, zurückrechnen und herausfinden, wo sich ein Prozess langfristig einpendelt.

Vom Übergangsgraphen zur Übergangsmatrix

Zwei Anbieter K und L teilen sich 1500 Kunden. Pro Jahr bleiben 80 % der Kunden von K bei K, 20 % wechseln zu L. Von L bleiben 70 %, 30 % wechseln zu K. Im Übergangsgraphen wird jeder Zustand ein Kreis, jeder Wechsel ein Pfeil mit seinem Anteil:

0,80,20,30,7KL
Übergangsgraph: Pfeile von „von“ nach „nach“ mit den Anteilen.

Übergangsmatrix (Spalte = von, Zeile = nach)

Der Eintrag in Zeile i und Spalte j ist der Anteil, der in einem Schritt von Zustand j zu Zustand i wechselt:

\[A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix} \qquad \begin{matrix} \text{Spalte 1: von K} \\ \text{Spalte 2: von L} \end{matrix}\]

Gehen keine Kunden verloren und kommen keine hinzu, ist jede Spaltensumme 1, und alle Einträge liegen zwischen 0 und 1. So eine Matrix heißt stochastische Matrix.

Achtung: zwei Schreibweisen

Manche Bücher schreiben „Zeile = von, Spalte = nach“ (Zeilensumme 1) und rechnen mit Zeilenvektoren: $\vec{v}^T \cdot A$. Das ist dieselbe Mathematik, nur transponiert. Prüfe in jeder Aufgabe, ob die Spalten- oder die Zeilensummen 1 ergeben.

Zustand nach n Schritten

Ein Schritt = Matrix mal Vektor

\[\vec{v}_{n+1} = A \cdot \vec{v}_n \qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}_n = A^n \cdot \vec{v}_0\]

Beispiel: Start mit 1000 Kunden bei K und 500 bei L

\[\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1000 \\ 500 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 1000 + 0{,}3 \cdot 500 \\ 0{,}2 \cdot 1000 + 0{,}7 \cdot 500 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 950 \\ 550 \end{pmatrix}\]

Weiter: $\vec{v}_2 = A \cdot \vec{v}_1 = (925 \mid 575)$ und $\vec{v}_3 = (912{,}5 \mid 587{,}5)$. Die Summe bleibt immer 1500 – das ist eine gute Kontrolle.

Rückwärts rechnen

Wie war die Verteilung ein Jahr vorher? Aus $\vec{v}_0 = A \cdot \vec{v}_{-1}$ folgt mit der inversen Matrix $\vec{v}_{-1} = A^{-1} \cdot \vec{v}_0$ – oder Du löst das lineare Gleichungssystem direkt.

Beispiel

$\det A = 0{,}8 \cdot 0{,}7 - 0{,}3 \cdot 0{,}2 = 0{,}5$, also $A^{-1} = \frac{1}{0{,}5} \begin{pmatrix} 0{,}7 & -0{,}3 \\ -0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}4 & -0{,}6 \\ -0{,}4 & 1{,}6 \end{pmatrix}$.

$\vec{v}_{-1} = A^{-1} \cdot (1000 \mid 500) = (1400 - 300 \mid -400 + 800) = (1100 \mid 400)$. Probe: $A \cdot (1100 \mid 400) = (1000 \mid 500)$ ✓

Stationäre Verteilung (Fixvektor)

Ändert sich ein Zustand durch einen Schritt nicht mehr, ist er stationär: $A \cdot \vec{x} = \vec{x}$. Das ist ein homogenes Gleichungssystem $(A - E) \cdot \vec{x} = \vec{0}$ – der Fixvektor ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.

Beispiel

\[(A - E)\,\vec{x} = \begin{pmatrix} -0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & -0{,}3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \vec{0} \quad\Rightarrow\quad 0{,}2x = 0{,}3y \quad\Rightarrow\quad x = 1{,}5\,y\]

Mit $x + y = 1500$ folgt $2{,}5y = 1500$, also $y = 600$ und $x = 900$. Als Anteile: $\vec{\pi} = (0{,}6 \mid 0{,}4)$. Langfristig hat K also 60 % der Kunden – egal, wie die Verteilung am Anfang war.

Grenzmatrix

Hat eine Potenz von A nur positive Einträge (die Matrix heißt dann regulär), nähern sich die Potenzen $A^n$ einer Grenzmatrix G, in der jede Spalte die stationäre Verteilung ist:

\[G = \lim_{n \to \infty} A^n = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}6 \\ 0{,}4 & 0{,}4 \end{pmatrix}, \qquad G \cdot \vec{v}_0 = (0{,}6 \cdot 1500 \mid 0{,}4 \cdot 1500) = (900 \mid 600)\]

Wenn es keine Grenzmatrix gibt

  • Absorbierende Zustände („wer einmal drin ist, bleibt“): Eine Spalte enthält eine 1 auf der Diagonalen. Langfristig landet alles in den absorbierenden Zuständen.
  • Zyklische Prozesse pendeln: $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ vertauscht die Zustände in jedem Schritt; $A^n$ springt hin und her.
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Populationsmodelle (Leslie-Matrix)

Bei Populationen ist die Gesamtzahl nicht fest – Tiere werden geboren und sterben. In einer Leslie-Matrix stehen in der ersten Zeile die Geburtenraten der Altersstufen, darunter die Überlebensraten.

Beispiel: Käfer mit den Stadien Ei, Larve, Käfer

Jeder Käfer legt 6 Eier, aus 50 % der Eier werden Larven, 25 % der Larven werden zu Käfern:

\[L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 0{,}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}25 & 0 \end{pmatrix}, \qquad L \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 40 \\ 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 120 \\ 50 \\ 10 \end{pmatrix}\]

Nach drei Schritten gilt hier $L^3 = 0{,}75 \cdot E$, denn $6 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}25 = 0{,}75$: Alle drei Jahre schrumpft die Population auf 75 %. Bei 8 Eiern wäre das Produkt 1 – dann wiederholt sich die Verteilung alle drei Jahre exakt (zyklisch).

0,50,256EiLarveKäfer
Übergangsgraph des Käfer-Modells (6 = Eier je Käfer).

Verflechtungsmatrizen (kurz)

In der Wirtschaft beschreiben Matrizen, wie viel von einem Teil in ein anderes eingeht.

  • Materialverflechtung: Die Matrix $A_{RZ}$ gibt an, wie viele Rohstoffe je Zwischenprodukt nötig sind, $B_{ZE}$ wie viele Zwischenprodukte je Endprodukt. Dann ist $C_{RE} = A_{RZ} \cdot B_{ZE}$ der Rohstoffbedarf je Endprodukt. Beispiel: $A_{RZ} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $B_{ZE} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ ergibt $C_{RE} = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 10 & 5 \end{pmatrix}$. Für 10 Stück von Endprodukt 1 und 20 von Endprodukt 2 braucht man $C_{RE} \cdot (10 \mid 20) = (150 \mid 200)$ Rohstoffeinheiten.
  • Leontief-Modell (Input-Output): Branchen verbrauchen einen Teil ihrer eigenen Produktion. Mit der Inputmatrix A und der Marktnachfrage $\vec{y}$ gilt $\vec{x} - A\vec{x} = \vec{y}$, also $\vec{x} = (E - A)^{-1}\,\vec{y}$. Beispiel: $A = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}2 \\ 0{,}5 & 0{,}25 \end{pmatrix}$ und $\vec{y} = (100 \mid 50)$ ergibt mit $(E - A)^{-1} = \begin{pmatrix} 1{,}5 & 0{,}4 \\ 1 & 1{,}6 \end{pmatrix}$ die Produktion $\vec{x} = (170 \mid 180)$.

Typische Fehler

  • Zeilen und Spalten vertauschen: Bei „Spalte = von“ muss jede Spaltensumme 1 sein.
  • Die Prozente aus dem Text falsch zuordnen – zeichne zuerst den Übergangsgraphen.
  • Bei mehreren Schritten $A \cdot \vec{v}_0$ mit $n$ multiplizieren statt $A^n \cdot \vec{v}_0$ zu bilden.
  • Beim Fixvektor die Normierung vergessen: $(A - E)\vec{x} = \vec{0}$ hat unendlich viele Lösungen, erst die Summe legt sie fest.
  • Matrizen in der falschen Reihenfolge multiplizieren – $A \cdot B \ne B \cdot A$.

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Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 1: 2×2: Zustand nach 1–2 Schritten

  1. Aufgabe 1
    \(A = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}5 \\ 0{,}3 & 0{,}5 \end{pmatrix},\) \(\vec{v}_0 = (300 \mid 900):\) \(\vec{v}_2 = \ ?\)
    \(\vec{v}_2 = (732 \mid 468)\)
  2. Aufgabe 2
    \(A = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}7 \end{pmatrix},\) \(\vec{v}_0 = (900 \mid 1000):\) \(\vec{v}_2 = \ ?\)
    \(\vec{v}_2 = (1236 \mid 664)\)
  3. Aufgabe 3
    \(A = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}1 \\ 0{,}4 & 0{,}9 \end{pmatrix},\) \(\vec{v}_0 = (900 \mid 100):\) \(\vec{v}_2 = \ ?\)
    \(\vec{v}_2 = (375 \mid 625)\)
  4. Aufgabe 4
    \(A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix},\) \(\vec{v}_0 = (200 \mid 900):\) \(\vec{v}_1 = \ ?\)
    \(\vec{v}_1 = (550 \mid 550)\)
  5. Aufgabe 5
    \(A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}4 \\ 0{,}2 & 0{,}6 \end{pmatrix},\) \(\vec{v}_0 = (700 \mid 400):\) \(\vec{v}_1 = \ ?\)
    \(\vec{v}_1 = (720 \mid 380)\)
  6. Aufgabe 6
    \(A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}4 \\ 0{,}5 & 0{,}6 \end{pmatrix},\) \(\vec{v}_0 = (900 \mid 300):\) \(\vec{v}_1 = \ ?\)
    \(\vec{v}_1 = (570 \mid 630)\)

Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.

Arbeitsblatt: Übergangsmatrizen und Prozesse

Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.

Mit eigenen Zahlen rechnet der Übergangsmatrix-Rechner: Zustände für viele Schritte, Rückwärtsrechnen, stationäre Verteilung, Grenzmatrix und Graph. Matrizen multiplizieren und invertieren: Matrizenrechner. Der Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeiten: bedingte Wahrscheinlichkeit.

Weiterlesen: Übergangsmatrix, Markow-Kette, Mathematische Demografie bei Wikipedia

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