Monotonie und Krümmung
Wo steigt ein Graph, wo fällt er? Und wo macht er eine Links- oder eine Rechtskurve? Diese Fragen beantworten die erste und die zweite Ableitung. Mit einer Vorzeichentabelle bestimmst Du die Monotonie- und Krümmungsintervalle sicher und übersichtlich – ein fester Bestandteil jeder Kurvendiskussion.
Was bedeutet monoton?
Eine Funktion heißt auf einem Intervall streng monoton steigend, wenn größere x-Werte immer größere Funktionswerte haben: Aus $x_1 < x_2$ folgt $f(x_1) < f(x_2)$. Sie heißt streng monoton fallend, wenn aus $x_1 < x_2$ immer $f(x_1) > f(x_2)$ folgt. Anschaulich: Läufst Du den Graphen von links nach rechts entlang, geht es bergauf bzw. bergab.
Monotoniekriterium
- Ist $f'(x) > 0$ für alle x im Inneren eines Intervalls, dann ist $f$ dort streng monoton steigend.
- Ist $f'(x) < 0$ für alle x im Inneren eines Intervalls, dann ist $f$ dort streng monoton fallend.
Das Monotonieverhalten kann sich also nur dort ändern, wo $f'$ das Vorzeichen wechselt – an den Hoch- und Tiefpunkten (oder an Definitionslücken).
Monotonieintervalle mit der Vorzeichentabelle
So gehst Du vor:
- Bilde $f'(x)$ und bestimme die Nullstellen von $f'$ (und eventuelle Definitionslücken).
- Diese Stellen teilen die x-Achse in Intervalle. In jedem Intervall hat $f'$ ein festes Vorzeichen.
- Bestimme das Vorzeichen – entweder mit einem Testwert oder über die Faktoren von $f'$.
- Lies die Monotonie ab: Plus heißt steigend, Minus heißt fallend.
Beispiel
$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ hat die Ableitung $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)$. Die Nullstellen von $f'$ sind $x = -1$ und $x = 3$.
| Intervall | $x < -1$ | $-1 < x < 3$ | $x > 3$ |
|---|---|---|---|
| Testwert | $x = -2$ | $x = 0$ | $x = 4$ |
| $x + 1$ | − | + | + |
| $x - 3$ | − | − | + |
| $f'(x)$ | $15 > 0$ | $-9 < 0$ | $15 > 0$ |
| $f$ | steigend ↗ | fallend ↘ | steigend ↗ |
Also: $f$ ist streng monoton steigend auf $(-\infty;\ -1]$ und auf $[3;\ \infty)$ und streng monoton fallend auf $[-1;\ 3]$. Bei $x = -1$ liegt der Hochpunkt $H(-1 \mid 10)$, bei $x = 3$ der Tiefpunkt $T(3 \mid -22)$.
Wo die gestrichelte Ableitung $f'$ oberhalb der x-Achse liegt, steigt $f$ – wo sie unterhalb liegt, fällt $f$.
Tipp: Randpunkte
Ob Du die Intervallgrenzen mitnimmst ($[-1;\ 3]$) oder weglässt ($(-1;\ 3)$), ist bei der strengen Monotonie beides richtig. Viele Lehrkräfte schreiben die geschlossenen Intervalle – frag im Zweifel nach, wie es in Deinem Kurs üblich ist.
Krümmung: Links- und Rechtskurve
Die zweite Ableitung beschreibt, wie sich die Steigung ändert. Fährst Du den Graphen mit dem Fahrrad von links nach rechts entlang, lenkst Du in einer Linkskurve nach links und in einer Rechtskurve nach rechts.
Krümmungskriterium
- $f''(x) > 0$ auf einem Intervall: Der Graph ist linksgekrümmt (die Steigung nimmt zu, der Graph ist „nach oben offen“).
- $f''(x) < 0$ auf einem Intervall: Der Graph ist rechtsgekrümmt (die Steigung nimmt ab, der Graph ist „nach unten offen“).
- Wechselt $f''$ an einer Stelle das Vorzeichen, ist dort eine Wendestelle.
Beispiel (Fortsetzung)
$f''(x) = 6x - 6$ ist negativ für $x < 1$ und positiv für $x > 1$. Der Graph ist also rechtsgekrümmt auf $(-\infty;\ 1]$ und linksgekrümmt auf $[1;\ \infty)$. Bei $x = 1$ wechselt die Krümmung: Wendepunkt $W(1 \mid -6)$.
Sonderfälle
Achtung
- $f'(x_0) = 0$ heißt nicht automatisch „Wechsel“. $f(x) = x^3$ hat $f'(0) = 0$, steigt aber überall – die Ableitung wechselt bei 0 das Vorzeichen nicht (Sattelpunkt).
- Definitionslücken gehören in die Vorzeichentabelle. $f(x) = \frac{1}{x}$ fällt auf $(-\infty;\ 0)$ und auf $(0;\ \infty)$ – aber nicht auf ganz $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, denn $f(-1) < f(1)$.
- e-Funktionen: Bei $f'(x) = (x - 2) \cdot e^x$ bestimmt nur der Faktor $(x - 2)$ das Vorzeichen, denn $e^x$ ist immer positiv.
Typische Fehler
- Das Vorzeichen von $f$ statt von $f'$ untersucht – ob $f$ positiv ist, sagt nichts über die Monotonie.
- Monotonie und Krümmung verwechselt: Für die Monotonie zählt $f'$, für die Krümmung $f''$.
- Den Faktor vor der Klammer vergessen: Bei $f'(x) = -3(x + 1)(x - 3)$ kehren sich alle Vorzeichen um.
- Nur einen Testwert für die ganze x-Achse genommen – jedes Intervall braucht seinen eigenen.
Übungsaufgaben
Stufe 1: Monotonie ganzrationaler Funktionen
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Aufgabe 1
\(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} - 24x - 1:\) Wechsel des Monotonieverhaltens\(f'(x) = -3(x - 2)(x - 4)\) \(\Rightarrow\ x_1 = 2,\) \(x_2 = 4\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = -x^{3} + 3x - 4:\) Monotonie auf \([-1;\ 1]\)\(f'(x) = -3(x + 1)(x - 1)\) \(\Rightarrow\ f'(x) > 0\) im Inneren \(\Rightarrow\) steigend
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Aufgabe 3
\(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} - 24x:\) Intervall \([a;\ b]\), auf dem \(f \text{ steigt}\)\(a; b\)\(f'(x) = -3(x - 2)(x - 4)\) \(\Rightarrow\ f\) steigt auf \([2;\ 4]\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = -x^{3} + 3x^{2} + 3:\) Wechsel des Monotonieverhaltens\(f'(x) = -3x(x - 2)\) \(\Rightarrow\ x_1 = 0,\) \(x_2 = 2\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} - 24x - 1:\) Monotonie auf \([0;\ 2]\)\(f'(x) = -3(x - 2)(x - 4)\) \(\Rightarrow\ f'(x) < 0\) im Inneren \(\Rightarrow \text{fallend}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Monotonie und Krümmung
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.
Monotonie und Krümmung sind Teil der vollständigen Kurvendiskussion. Die Vorzeichentabellen für beliebige Funktionen erstellt der Kurvendiskussion-Rechner, den Wendepunkt mit Tangente die Seite Wendetangente.
Weiterlesen: Monotone reelle Funktion, Monotoniekriterium bei Wikipedia