e-Funktionen im Sachzusammenhang
Im Abitur kommen e-Funktionen fast immer mit einer Geschichte: Bakterien vermehren sich, ein Medikament wird abgebaut, ein Tee kühlt ab. Die Mathematik dahinter ist immer dieselbe – Funktionswerte, Ableitungen, Gleichungen mit dem Logarithmus. Hier lernst Du die wichtigsten Modelle und die typischen Fragen dazu.
1. Wachstum und Zerfall mit e
Exponentielles Wachstum schreibt man in der Oberstufe meist mit der Basis $e$:
$N_0 = N(0)$ ist der Anfangsbestand, $k$ die Wachstumskonstante. Bei $k > 0$ wächst der Bestand, bei $k < 0$ nimmt er ab. Eine Funktion mit anderer Basis rechnest Du so um: $a^t = e^{\ln(a) \cdot t}$, also $k = \ln(a)$.
| Frage | Ansatz | Ergebnis |
|---|---|---|
| Bestand nach der Zeit $t$ | einsetzen | $N(t)$ |
| Wann ist der Bestand $Z$? | $N_0 e^{kt} = Z$ | $t = \frac{1}{k}\ln\left(\frac{Z}{N_0}\right)$ |
| Verdopplungszeit ($k > 0$) | $e^{kt} = 2$ | $T_2 = \frac{\ln(2)}{k}$ |
| Halbwertszeit ($k < 0$) | $e^{kt} = \frac{1}{2}$ | $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{|k|}$ |
| momentane Änderungsrate | ableiten | $N'(t) = k \cdot N(t)$ |
Beispiel: Bakterienkultur
$N(t) = 500 \cdot e^{0{,}2t}$ ($t$ in Stunden). Nach 5 Stunden: $N(5) = 500 \cdot e^{1} \approx 1359$ Bakterien.
Verdopplungszeit: $T_2 = \frac{\ln(2)}{0{,}2} \approx 3{,}47$ Stunden. Wann sind es 10 000 Bakterien? $e^{0{,}2t} = 20 \Rightarrow t = \frac{\ln(20)}{0{,}2} \approx 14{,}98$ Stunden.
Änderungsrate nach 5 Stunden: $N'(5) = 0{,}2 \cdot N(5) \approx 272$ Bakterien pro Stunde.
2. Medikamentenspiegel: $c(t) = a \cdot t \cdot e^{-bt}$
Nach der Einnahme steigt die Konzentration eines Wirkstoffs im Blut zuerst an, erreicht ein Maximum und wird dann abgebaut. Ein häufiges Modell ist $c(t) = a \cdot t \cdot e^{-bt}$ mit $a, b > 0$. Mit der Produktregel bekommst Du:
- Höchste Konzentration: $c'(t) = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{b}$, der Wert ist $c\left(\frac{1}{b}\right) = \frac{a}{b \cdot e}$.
- Stärkste Abnahme: an der Wendestelle $c''(t) = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{b}$.
- Langfristig: $\lim_{t \to \infty} c(t) = 0$ – die e-Funktion „gewinnt“ gegen den Faktor $t$.
$c(t) = 10t \cdot e^{-0{,}5t}$: Maximum bei $t = 2$ mit $c(2) = \frac{20}{e} \approx 7{,}36$, stärkste Abnahme bei $t = 4$.
3. Abkühlung und beschränktes Wachstum
Ein heißes Getränk kühlt nicht bis 0 °C ab, sondern bis zur Raumtemperatur $T_U$. Der Unterschied zur Raumtemperatur nimmt exponentiell ab:
Beispiel: Tee
$T(t) = 20 + 70 \cdot e^{-0{,}05t}$ ($t$ in Minuten, $T$ in °C). Anfangs ist der Tee $T(0) = 90$ °C heiß, nach 10 Minuten $T(10) = 20 + 70e^{-0{,}5} \approx 62{,}46$ °C.
Trinkbar bei 40 °C: $70 e^{-0{,}05t} = 20 \Rightarrow e^{-0{,}05t} = \frac{2}{7} \Rightarrow t = \frac{\ln(3{,}5)}{0{,}05} \approx 25{,}06$ Minuten. Langfristig nähert sich die Temperatur 20 °C (waagerechte Asymptote).
Genauso funktioniert beschränktes Wachstum nach oben: $B(t) = S - (S - B_0)\,e^{-kt}$ nähert sich der Schranke $S$. Beim logistischen Wachstum $f(t) = \frac{S}{1 + c\,e^{-kt}}$ wächst der Bestand erst fast exponentiell, dann immer langsamer. Am stärksten wächst er an der Wendestelle $t_W = \frac{\ln(c)}{k}$, dort ist genau die Hälfte der Sättigungsgrenze $S$ erreicht.
4. Steckbriefaufgaben mit e-Funktionen
Hier ist die Form der Funktion vorgegeben, und Du bestimmst die Parameter aus Bedingungen – wie bei den Steckbriefaufgaben mit Polynomen. Meist hilft $e^0 = 1$ beim ersten Schritt.
Beispiel 1: $f(x) = a \cdot e^{bx}$ durch $P(0 \mid 3)$ und $Q(2 \mid 12)$
$f(0) = a \cdot e^0 = a = 3$. Dann $3e^{2b} = 12 \Rightarrow e^{2b} = 4 \Rightarrow 2b = \ln(4) \Rightarrow b = \ln(2) \approx 0{,}693$.
Beispiel 2: $f(x) = a \cdot e^{bx} + c$ mit Asymptote $y = 2$, $f(0) = 5$ und $f'(0) = -6$
Die waagerechte Asymptote liefert $c = 2$. Aus $f(0) = a + c = 5$ folgt $a = 3$. Mit $f'(x) = ab\,e^{bx}$ ist $f'(0) = ab = -6$, also $b = -2$. Ergebnis: $f(x) = 3e^{-2x} + 2$.
Abi-typische Aufgabe mit Lösung
Aufgabe
Die Konzentration eines Medikaments im Blut wird durch $c(t) = 8t \cdot e^{-0{,}25t}$ beschrieben ($t$ in Stunden, $c$ in mg/l).
- Berechne die Konzentration nach 2 Stunden.
- Bestimme den Zeitpunkt und den Wert der höchsten Konzentration.
- Zu welchem Zeitpunkt nimmt die Konzentration am stärksten ab? Wie groß ist die Abnahmerate dann?
- Das Medikament wirkt, solange $c(t) \geq 5$ mg/l ist. Bestimme näherungsweise, wie lange es wirkt.
- Beschreibe das Verhalten von $c(t)$ für $t \to \infty$ und deute es.
Lösung
a) $c(2) = 16 \cdot e^{-0{,}5} \approx 9{,}70$ mg/l.
b) $c'(t) = 8(1 - 0{,}25t)\,e^{-0{,}25t} = 0 \Rightarrow t = 4$. Vorzeichenwechsel von + nach −, also Maximum: $c(4) = 32 \cdot e^{-1} \approx 11{,}77$ mg/l nach 4 Stunden.
c) $c''(t) = 8(0{,}0625t - 0{,}5)\,e^{-0{,}25t} = 0 \Rightarrow t = 8$. Abnahmerate: $c'(8) = 8 \cdot (1 - 2) \cdot e^{-2} \approx -1{,}08$ mg/l pro Stunde.
d) $c(t) = 5$ lässt sich nicht exakt lösen. Mit dem Taschenrechner (oder dem Newton-Verfahren) findest Du $t_1 \approx 0{,}75$ und $t_2 \approx 11{,}73$. Das Medikament wirkt also etwa 11 Stunden lang (von etwa 45 Minuten nach der Einnahme bis knapp 12 Stunden danach).
e) $\lim_{t \to \infty} c(t) = 0$, weil $e^{-0{,}25t}$ schneller gegen 0 geht, als $t$ wächst: Das Medikament wird vollständig abgebaut.
Typische Fehler
Darauf achten
- Beim Logarithmieren erst den Faktor vor $e$ abteilen: Aus $500e^{0{,}2t} = 10\,000$ wird $e^{0{,}2t} = 20$, nicht $e^{0{,}2t} = 10\,000 - 500$.
- Die Kettenregel vergessen: $\left(e^{-0{,}25t}\right)' = -0{,}25\,e^{-0{,}25t}$.
- „Stärkste Abnahme“ mit dem Minimum verwechselt – gesucht ist die Stelle, an der $c'$ am kleinsten ist, also die Wendestelle von $c$.
- Einheiten vergessen: Eine Änderungsrate hat die Einheit „pro Stunde“ bzw. „pro Minute“.
Übungsaufgaben
Stufe 1: Wachstum und Zerfall
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Aufgabe 1
\(N(t) = 80 \cdot e^{-0{,}09t}:\) Zeitpunkt mit \(N(t) = 20\)\(t \approx\)\(e^{-0{,}09t}\) \(= 0{,}25\) \(\Rightarrow\ t = \frac{\ln(0{,}25)}{-0{,}09}\) \(\approx 15{,}4\)
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Aufgabe 2
\(N(t) = 5000 \cdot e^{-0{,}06t}:\) Zeitpunkt mit \(N(t) = 1000\)\(t \approx\)\(e^{-0{,}06t}\) \(= 0{,}2\) \(\Rightarrow\ t = \frac{\ln(0{,}2)}{-0{,}06}\) \(\approx 26{,}82\)
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Aufgabe 3
\(N(t) = 20 \cdot e^{0{,}28t}:\) Verdopplungszeit\(t \approx\)\(e^{0{,}28t} = 2\) \(\Rightarrow\ t = \frac{\ln(2)}{0{,}28} \approx 2{,}48\)
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Aufgabe 4
\(N(t) = 120 \cdot e^{0{,}14t}:\) Zeitpunkt mit \(N(t) = 360\)\(t \approx\)\(e^{0{,}14t} = 3\) \(\Rightarrow\ t = \frac{\ln(3)}{0{,}14} \approx 7{,}85\)
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Aufgabe 5
\(N(0) = 200,\) \(N(8) = 150:\ k \text{ in } N(t)\) \(= N_0 \cdot e^{kt}\)\(k \approx\)\(e^{8k} = \frac{150}{200}\) \(\Rightarrow\ k = \frac{1}{8} \ln\left(\frac{150}{200}\right)\) \(\approx -0{,}036\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: e-Funktionen im Sachzusammenhang
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Die Grundlagen zur e-Funktion (Ableitung, Graph, Gleichungen) findest Du auf der Seite e-Funktion, den natürlichen Logarithmus unter ln-Funktion. Wachstum ohne Analysis (mit Wachstumsfaktor) erklärt die Seite Wachstum.
Weiterlesen: Exponentielles Wachstum, Logistische Funktion bei Wikipedia