Spiegelungen und Spurpunkte
Spiegeln im Raum klingt schwierig, folgt aber immer derselben Idee: Der Bildpunkt liegt auf dem Lot, genauso weit hinter dem Spiegel wie das Original davor. Spurpunkte sind dagegen die Stellen, an denen Geraden und Ebenen die Koordinatenebenen und -achsen durchstoßen – sie helfen beim Zeichnen.
Die Grundidee: Mittelpunkt auf dem Lot
Spiegeln mit dem Lotfußpunkt
Ist F der Lotfußpunkt von Q auf dem Spiegel (Punkt, Gerade oder Ebene), dann ist F der Mittelpunkt der Strecke von Q zum Bildpunkt Q′:
Punkt an Punkt spiegeln
Hier ist das Spiegelzentrum Z selbst der Mittelpunkt: $\vec{q\,'} = 2\vec{z} - \vec{q}$.
Beispiel: Q(1 | 2 | 3) an Z(2 | 0 | 1)
$\vec{q\,'} = 2 \cdot (2 \mid 0 \mid 1) - (1 \mid 2 \mid 3) = (3 \mid -2 \mid -1)$, also $Q'(3 \mid -2 \mid -1)$. Kontrolle: Der Mittelpunkt von Q und Q′ ist $(2 \mid 0 \mid 1) = Z$ ✓
Punkt an Ebene spiegeln
Verfahren
- Lotgerade durch Q mit dem Normalenvektor als Richtung: $l: \vec{x} = \vec{q} + \lambda \cdot \vec{n}$.
- Lotgerade in die Ebenengleichung einsetzen und $\lambda$ bestimmen – das liefert den Lotfußpunkt F.
- Bildpunkt mit dem doppelten Parameter: $\vec{q\,'} = \vec{q} + 2\lambda \cdot \vec{n}$.
Beispiel: Q(3 | 5 | 5) an E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 5
Lotgerade: $\vec{x} = (3 \mid 5 \mid 5) + \lambda \cdot (1 \mid 2 \mid 2)$. Einsetzen: $(3 + \lambda) + 2(5 + 2\lambda) + 2(5 + 2\lambda) = 23 + 9\lambda = 5$, also $\lambda = -2$.
Lotfußpunkt $F = (3 - 2 \mid 5 - 4 \mid 5 - 4) = F(1 \mid 1 \mid 1)$, Bildpunkt mit $2\lambda = -4$: $Q' = (3 - 4 \mid 5 - 8 \mid 5 - 8) = Q'(-1 \mid -3 \mid -3)$.
Nebenbei: Der Abstand von Q zu E ist $|\lambda| \cdot |\vec{n}| = 2 \cdot 3 = 6$.
Punkt an Gerade spiegeln
Zuerst bestimmst Du den Lotfußpunkt F von Q auf der Geraden – genau wie beim Abstand Punkt–Gerade (Laufpunkt, $\vec{QF_t} \cdot \vec{u} = 0$). Dann gilt wieder $\vec{q\,'} = 2\vec{f} - \vec{q}$.
Beispiel: Q(4 | 3 | 2) an g: x = (1 | 0 | 2) + t · (2 | 1 | −2)
Der Lotfußpunkt ist $F(3 \mid 1 \mid 0)$ (für $t = 1$). Bildpunkt: $\vec{q\,'} = 2 \cdot (3 \mid 1 \mid 0) - (4 \mid 3 \mid 2) = (2 \mid -1 \mid -2)$, also $Q'(2 \mid -1 \mid -2)$.
Gerade an Ebene spiegeln
Eine Gerade ist durch zwei Punkte festgelegt. Spiegle also zwei Punkte – am geschicktesten so:
- g schneidet E: Der Schnittpunkt S bleibt beim Spiegeln liegen. Spiegle einen weiteren Punkt der Geraden (z. B. den Stützpunkt) an E. Die Bildgerade geht durch S und diesen Bildpunkt.
- g ist parallel zu E: Spiegle nur den Stützpunkt, die Richtung bleibt gleich.
- g liegt in E: Die Gerade ist ihr eigenes Spiegelbild.
Beispiel: g: x = (1 | 1 | 5) + t · (1 | 0 | −1) an der x₁x₂-Ebene (x₃ = 0)
Schnittpunkt: $5 - t = 0 \Rightarrow t = 5$, also $S(6 \mid 1 \mid 0)$. Den Stützpunkt $P(1 \mid 1 \mid 5)$ an $x_3 = 0$ zu spiegeln heißt nur, das Vorzeichen von $x_3$ umzudrehen: $P'(1 \mid 1 \mid -5)$.
Bildgerade: $\vec{SP'} = (-5 \mid 0 \mid -5)$, gekürzt $(1 \mid 0 \mid 1)$, also $g': \vec{x} = (6 \mid 1 \mid 0) + t \cdot (1 \mid 0 \mid 1)$.
Tipp: Spiegeln an Koordinatenebenen
An der $x_1x_2$-Ebene wechselt nur $x_3$ das Vorzeichen, an der $x_1x_3$-Ebene nur $x_2$, an der $x_2x_3$-Ebene nur $x_1$. Am Ursprung wechseln alle drei Vorzeichen.
Spurpunkte einer Geraden
Ein Spurpunkt ist der Punkt, in dem eine Gerade eine Koordinatenebene durchstößt. In der $x_1x_2$-Ebene ist $x_3 = 0$ – Du setzt also die dritte Zeile der Geradengleichung null, bestimmst t und setzt ein. Die Spurpunkte heißen oft $S_{12}$, $S_{13}$ und $S_{23}$ (nach der Ebene, in der sie liegen).
Beispiel: g: x = (2 | 1 | 4) + t · (1 | 1 | −2)
- $x_1x_2$-Ebene: $4 - 2t = 0 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow S_{12}(4 \mid 3 \mid 0)$
- $x_1x_3$-Ebene: $1 + t = 0 \Rightarrow t = -1 \Rightarrow S_{13}(1 \mid 0 \mid 6)$
- $x_2x_3$-Ebene: $2 + t = 0 \Rightarrow t = -2 \Rightarrow S_{23}(0 \mid -1 \mid 8)$
Ist eine Koordinate des Richtungsvektors 0, ist die Gerade parallel zu dieser Koordinatenebene und hat dort keinen Spurpunkt (oder liegt ganz in ihr).
Spurpunkte und Spurgeraden einer Ebene
Bei Ebenen meint man mit Spurpunkten die Achsenschnittpunkte: Auf der $x_1$-Achse sind $x_2 = x_3 = 0$. Die Verbindungsgeraden der Spurpunkte heißen Spurgeraden – sie sind die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen. Zusammen bilden sie das Spurdreieck, mit dem man eine Ebene im Schrägbild zeichnet.
Beispiel: E: 2x₁ + 3x₂ + 6x₃ = 12
$x_1$-Achse: $2x_1 = 12 \Rightarrow S_1(6 \mid 0 \mid 0)$; $x_2$-Achse: $S_2(0 \mid 4 \mid 0)$; $x_3$-Achse: $S_3(0 \mid 0 \mid 2)$.
Spurgerade in der $x_1x_2$-Ebene: durch $S_1$ und $S_2$, also $s_{12}: \vec{x} = (6 \mid 0 \mid 0) + t \cdot (-6 \mid 4 \mid 0)$ bzw. mit gekürzter Richtung $(3 \mid -2 \mid 0)$.
Fehlt eine Variable in der Gleichung, ist die Ebene parallel zu dieser Achse: $x_1 + 2x_2 = 4$ hat keinen Spurpunkt auf der $x_3$-Achse; die Spurgeraden in der $x_1x_3$- und $x_2x_3$-Ebene verlaufen dann parallel zur $x_3$-Achse.
Typische Fehler
- Nur bis zum Lotfußpunkt rechnen und F als Bildpunkt angeben – der Bildpunkt liegt doppelt so weit weg.
- Bei der Spiegelung an der Ebene $\lambda$ statt $2\lambda$ verwenden.
- Beim Spiegeln einer Geraden den Richtungsvektor „spiegeln“, indem man einfach ein Vorzeichen umdreht – das stimmt nur bei Koordinatenebenen.
- Spurpunkte der Geraden mit den Achsenschnittpunkten verwechseln: Eine Gerade trifft im Allgemeinen keine Koordinatenachse, wohl aber die Koordinatenebenen.
- Bei Ebenen ohne $x_3$ einen Spurpunkt „$S_3$“ erfinden – die Ebene ist dann parallel zur $x_3$-Achse.
Online üben
Stufe 1: Punkt an Punkt und Ebene
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Aufgabe 1
\(Q(3 \mid -5 \mid -5) \text{ an } E:\ 2x_{2} + 2x_{3} = -4\)\(F(3 \mid -1 \mid -1),\quad Q'(3 \mid 3 \mid 3)\)
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Aufgabe 2
\(Q(4 \mid -2 \mid -2) \text{ an } E:\ -2x_{1} + x_{2} + x_{3}\) \(= 0\)\(F(0 \mid 0 \mid 0),\quad Q'(-4 \mid 2 \mid 2)\)
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Aufgabe 3
\(Q(2 \mid 3 \mid 1) \text{ an } E:\ 2x_{1} + 2x_{2} = 2\)\(F(0 \mid 1 \mid 1),\quad Q'(-2 \mid -1 \mid 1)\)
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Aufgabe 4
\(Q(0 \mid -2 \mid 0) \text{ an } E:\ x_{1} - 2x_{2} - 2x_{3}\) \(= -5\)\(F(-1 \mid 0 \mid 2),\quad Q'(-2 \mid 2 \mid 4)\)
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Aufgabe 5
\(Q(0 \mid 2 \mid -4) \text{ an } E:\ 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3}\) \(= 1\)\(F(-2 \mid 1 \mid -2),\quad Q'(-4 \mid 0 \mid 0)\)
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Aufgabe 6
\(Q(-3 \mid -1 \mid 2) \text{ an } E:\ -x_{2} - x_{3} = 1\)\(F(-3 \mid -2 \mid 1),\quad Q'(-3 \mid -3 \mid 0)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Spiegelungen im Raum
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Mit eigenen Zahlen: Der Analytische-Geometrie-Rechner spiegelt Punkte und Geraden und berechnet Spurpunkte und Spurgeraden mit Rechenweg und Schrägbild. Abstände und Schnittwinkel: Abstände und Winkel im Raum; Ebenengleichungen umrechnen: Ebenenrechner.
Weiterlesen: Spurpunkt, Spurgerade bei Wikipedia