Wachstum und Zerfall
Bevölkerungen, Bakterienkulturen, Kontostände, Medikamente im Blut oder eine abkühlende Tasse Tee: Viele Größen ändern sich mit der Zeit nach einem festen Muster. Hier lernst Du die vier wichtigsten Wachstumsmodelle kennen, wie Du sie an einer Wertetabelle erkennst und wie Du aus zwei Messwerten die passende Funktion aufstellst.
Die vier Modelle im Überblick
$B(t)$ ist der Bestand zum Zeitpunkt $t$, $B(0)$ der Anfangsbestand. Entscheidend ist, wie sich der Bestand von einem Zeitschritt zum nächsten ändert:
| Modell | Änderung pro Zeitschritt | Funktion | typisches Beispiel |
|---|---|---|---|
| linear | immer derselbe Betrag $d$ | $B(t) = B(0) + d \cdot t$ | Sparschwein mit 20 € pro Monat |
| exponentiell | immer derselbe Faktor $q$ (derselbe Prozentsatz) | $B(t) = B(0) \cdot q^t$ | Bakterien, Zinseszins, radioaktiver Zerfall |
| beschränkt | der Abstand zur Schranke $S$ schrumpft um denselben Prozentsatz | $B(t) = S - (S - B(0)) \cdot q^t$ | Tee kühlt auf Raumtemperatur ab |
| logistisch | erst fast exponentiell, dann gebremst durch die Schranke $S$ | $B(t) = \dfrac{S}{1 + \left(\frac{S}{B(0)} - 1\right) e^{-k S t}}$ | Ausbreitung einer Nachricht, Tierpopulation |
Alle vier starten bei $B(0) = 10$: linear mit $d = 8$, exponentiell mit $q = 1{,}3$, beschränkt und logistisch mit der Schranke $S = 100$. Waagerecht ist die Zeit $t$ aufgetragen.
| \(t\) | linear | exponentiell | beschränkt | logistisch |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 10 | 10 | 10 | 10 |
| 1 | 18 | 13 | 32,5 | 15,5 |
| 2 | 26 | 16,9 | 49,4 | 23,2 |
| 3 | 34 | 22 | 62 | 33,2 |
| 4 | 42 | 28,6 | 71,5 | 45,1 |
| 6 | 58 | 48,3 | 84 | 69,1 |
| 8 | 74 | 81,6 | 91 | 85,8 |
| 10 | 90 | 137,9 | 94,9 | 94,3 |
Lineares Wachstum
Beim linearen Wachstum kommt in jedem Zeitschritt derselbe Betrag $d$ hinzu (bei Abnahme ist $d$ negativ). Der Graph ist eine Gerade – mehr dazu unter lineare Funktionen.
Beispiel
Ein Wassertank enthält 300 Liter, pro Minute fließen 12 Liter ab: $B(t) = 300 - 12t$. Nach 10 Minuten sind noch $B(10) = 180$ Liter darin, leer ist er bei $300 - 12t = 0$, also nach $t = 25$ Minuten.
Exponentielles Wachstum und Zerfall
Beim exponentiellen Wachstum wird der Bestand in jedem Zeitschritt mit demselben Faktor $q$ multipliziert. Wächst er um $p\,\%$, ist $q = 1 + \frac{p}{100}$; nimmt er um $p\,\%$ ab, ist $q = 1 - \frac{p}{100}$.
| Änderung | +3 % | +25 % | +100 % | −8 % | −50 % |
|---|---|---|---|---|---|
| Faktor $q$ | 1,03 | 1,25 | 2 | 0,92 | 0,5 |
Beispiel: Zerfall
Von einem Medikament werden pro Stunde 15 % abgebaut, am Anfang sind 400 mg im Blut: $B(t) = 400 \cdot 0{,}85^t$. Nach 6 Stunden sind noch $B(6) = 400 \cdot 0{,}85^6 \approx 150{,}86$ mg vorhanden.
Mit der e-Funktion schreibt man dasselbe Modell als $B(t) = B(0) \cdot e^{k t}$ mit $k = \ln q$ (Wachstumskonstante). Das ist in der Oberstufe üblich, weil sich $e^{kt}$ leicht ableiten lässt – siehe e-Funktion.
Verdopplungszeit und Halbwertszeit
Beim exponentiellen Wachstum verdoppelt sich der Bestand immer in derselben Zeit – egal, wie groß er gerade ist. Beim Zerfall halbiert er sich entsprechend in gleichen Abständen.
Beispiele
- 5 % Wachstum pro Jahr: $T = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21$ Jahre bis zur Verdopplung.
- Kohlenstoff-14 hat eine Halbwertszeit von etwa 5730 Jahren. Nach $t$ Jahren ist noch der Anteil $0{,}5^{t/5730}$ vorhanden – nach 10 000 Jahren also rund $29{,}8\,\%$.
Faustregel
Bei kleinen Prozentsätzen gilt ungefähr: Verdopplungszeit $\approx \frac{70}{p}$. Bei 5 % sind das etwa 14 Jahre, bei 2 % etwa 35 Jahre.
Modell aus zwei Werten bestimmen
Häufig kennst Du nur zwei Messwerte $B(t_1)$ und $B(t_2)$ und weißt (oder vermutest), welches Modell passt:
Beispiel
Eine Stadt hatte 2020 genau 50 000 Einwohner, 2025 waren es 56 000. Bei exponentiellem Wachstum ist $q = \left(\frac{56\,000}{50\,000}\right)^{1/5} = 1{,}12^{0{,}2} \approx 1{,}0229$ – also etwa 2,29 % pro Jahr. Mit $t$ = Jahre seit 2020 gilt $B(t) \approx 50\,000 \cdot 1{,}0229^t$; für 2030 ergibt das rund 62 700 Einwohner. Bei linearem Wachstum wären es $d = 1200$ pro Jahr und 2030 genau 62 000.
Welches Modell passt?
Schau Dir die Werte in gleichen Zeitabständen an:
- Differenzen aufeinanderfolgender Werte gleich → linear.
- Quotienten aufeinanderfolgender Werte gleich → exponentiell.
- Die Abstände zu einer Grenze $S$ haben gleiche Quotienten → beschränkt.
- Werte steigen erst immer schneller, dann immer langsamer (S-Kurve) → logistisch.
Beispiel
Die Werte $200,\ 240,\ 288,\ 345{,}6$ haben die Differenzen $40,\ 48,\ 57{,}6$ (nicht gleich), aber die Quotienten $1{,}2,\ 1{,}2,\ 1{,}2$. Also liegt exponentielles Wachstum mit 20 % pro Schritt vor, der nächste Wert ist $345{,}6 \cdot 1{,}2 = 414{,}72$.
Beschränktes Wachstum
Viele Vorgänge können nicht unbegrenzt wachsen: Ein Getränk im Kühlschrank wird nicht kälter als der Kühlschrank, eine Pflanze nicht beliebig groß. Die Schranke (Sättigungsgrenze) $S$ wird nie erreicht. Beim beschränkten Wachstum nimmt der Abstand $S - B(t)$ in jedem Zeitschritt um denselben Prozentsatz ab:
Rekursiv geschrieben: $B(t+1) = B(t) + k \cdot (S - B(t))$ mit $k = 1 - q$. Je näher der Bestand an der Schranke ist, desto langsamer wächst er. In der Oberstufe schreibt man oft $B(t) = S - (S - B(0)) \cdot e^{-k t}$.
Beispiel: Tee kühlt ab
Tee hat 90 °C, der Raum 20 °C. Der Temperaturunterschied nimmt pro Minute um 10 % ab. Mit $S = 20$ und $B(0) = 90$ gilt $B(t) = 20 + 70 \cdot 0{,}9^t$. Nach 10 Minuten hat der Tee noch $20 + 70 \cdot 0{,}9^{10} \approx 44{,}4\,$°C. Trinkwarm (60 °C) ist er, wenn $70 \cdot 0{,}9^t = 40$, also nach $t = \frac{\ln(40/70)}{\ln 0{,}9} \approx 5{,}3$ Minuten.
Logistisches Wachstum
Das logistische Modell verbindet beides: Am Anfang wächst der Bestand fast exponentiell, weil noch viel Platz ist. Je näher er der Schranke $S$ kommt, desto stärker wird er gebremst. Es entsteht eine S-Kurve, deren steilste Stelle (Wendepunkt) bei $B = \frac{S}{2}$ liegt.
Wie schnell der Bestand wächst, hängt hier vom Bestand selbst und vom freien Platz $S - B(t)$ ab. In der Schule kommt das logistische Wachstum meist mit gegebener Funktion vor; gefragt sind dann Werte, die Schranke und der Wendepunkt.
Typische Fehler
- Prozent und Faktor verwechseln: Eine Abnahme um 20 % bedeutet $q = 0{,}8$, nicht $q = 0{,}2$ oder $q = -0{,}2$.
- $B(0) \cdot q^t$ als $(B(0) \cdot q)^t$ rechnen – die Potenz gehört nur zu $q$.
- Beim beschränkten Wachstum den Prozentsatz auf den Bestand statt auf den Abstand zur Schranke anwenden.
- Bei „Wann ist …?“-Fragen probieren statt logarithmieren – mit $\ln$ geht es exakt.
Online üben
Stufe 3: Verdopplungszeit, Halbwertszeit, beschränktes Wachstum
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Aufgabe 1
\(S = 50,\ B(0) = 5,\ \text{Abstand } {-}25\,\% \text{ je Minute:}\ B(5)\)\(B(5) = 50 - 45 \cdot 0{,}75^{5} \approx 39{,}32\)
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Aufgabe 2
\(S = 100,\ B(0) = 150,\ \text{Abstand } {-}25\,\% \text{ je Jahr:}\ B(t) = 110?\)\(t = \frac{\ln 0{,}2}{\ln 0{,}75} \approx 5{,}59\)
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Aufgabe 3
\(\text{Zunahme } 8\,\% \text{ pro Minute: Verdopplungszeit?}\)min\(T = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}08} \approx 9{,}01\text{ min}\)
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Aufgabe 4
\(S = 50,\ B(0) = 225,\ \text{Abstand } {-}15\,\% \text{ je Stunde:}\ B(10)\)\(B(10) = 50 + 175 \cdot 0{,}85^{10} \approx 84{,}45\)
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Aufgabe 5
\(B(t) = 500 \cdot 0{,}96^t:\ \text{Wann ist } B(t) = 50?\)\(t = \frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}96} \approx 56{,}41\)
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Aufgabe 6
\(B(t) = 200 \cdot 0{,}96^t:\ \text{Wann ist } B(t) = 50?\)\(t = \frac{\ln 0{,}25}{\ln 0{,}96} \approx 33{,}96\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Wachstum und Zerfall
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–11.
Eigene Werte berechnen? Der Wachstums-Rechner stellt das Modell auf, erstellt Wertetabelle und Graph und berechnet Verdopplungs- und Halbwertszeit. Mehr zu Exponentialfunktionen: Exponentialfunktionen, zu Gleichungen mit Logarithmus: Logarithmus, zu Geldanlagen: Zinseszins.
Weiterlesen: Exponentielles Wachstum, Beschränktes Wachstum bei Wikipedia