Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
Konstruieren heißt: Eine Figur wird nur mit Zirkel und Lineal genau gezeichnet – ohne zu schätzen. Hier lernst Du die wichtigsten Grundkonstruktionen und wie Du Dreiecke aus drei gegebenen Stücken konstruierst. Jede Konstruktion kannst Du Schritt für Schritt durchklicken.
Werkzeuge und Spielregeln
- Zirkel: zeichnet Kreise und Kreisbögen. Mit ihm überträgst Du auch Längen: Zirkel auf die Länge einstellen, dann woanders einstechen.
- Lineal (oder Geodreieck als Lineal): verbindet zwei Punkte zu einer Strecke oder Geraden.
- Geodreieck: Damit misst und zeichnest Du Winkel und rechte Winkel. Bei „reinen“ Konstruktionen nimmst Du es nur als Lineal – dann zeigen die Zirkelbögen, wie Du vorgegangen bist.
Tipp: Bögen stehen lassen
Radiere die Zirkelbögen nicht weg. Sie gehören zur Konstruktion und zeigen, dass Du nicht geschätzt hast. Zeichne dünn mit einem spitzen Bleistift – dann werden die Schnittpunkte genau.
Mittelsenkrechte einer Strecke
Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB geht durch den Mittelpunkt M und steht senkrecht auf AB. Klicke auf „Weiter“, um die Konstruktion Schritt für Schritt zu sehen.
- Gegeben ist die Strecke AB.
- Stich mit dem Zirkel in A ein und zeichne einen Kreisbogen oberhalb und unterhalb der Strecke. Der Radius muss größer sein als die halbe Strecke AB.
- Stich mit derselben Zirkelöffnung in B ein und zeichne wieder zwei Bögen. Sie schneiden die ersten Bögen.
- Markiere die beiden Schnittpunkte P und Q.
- Verbinde P und Q mit dem Lineal: Das ist die Mittelsenkrechte m. Sie halbiert AB im Mittelpunkt M und steht senkrecht auf AB.
Merke
Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten ist von A und von B gleich weit entfernt. Deshalb brauchst Du die Mittelsenkrechte auch, um die Mitte einer Strecke zu finden oder den Umkreis eines Dreiecks zu konstruieren.
Winkelhalbierende
Die Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Hälften.
- Gegeben ist ein Winkel mit dem Scheitel S.
- Zeichne um S einen Kreisbogen, der beide Schenkel schneidet. Die Schnittpunkte heißen A und B.
- Stich in A ein und zeichne mit gleicher Zirkelöffnung einen Bogen in das Innere des Winkels.
- Mach dasselbe von B aus. Die beiden Bögen schneiden sich im Punkt W.
- Zeichne den Strahl von S durch W: Das ist die Winkelhalbierende. Sie teilt den Winkel in zwei gleich große Hälften.
Merke
Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden hat von beiden Schenkeln denselben Abstand. Damit konstruierst Du später den Inkreis eines Dreiecks.
Lot fällen und Senkrechte errichten
Ein Lot ist eine Gerade, die senkrecht auf einer anderen Geraden steht. Liegt der Punkt P neben der Geraden g, „fällst“ Du das Lot von P auf g.
- Gegeben sind die Gerade g und der Punkt P, der nicht auf g liegt.
- Stich in P ein und zeichne einen Kreisbogen, der die Gerade g zweimal schneidet – in A und B.
- Zeichne um A und um B mit gleicher Zirkelöffnung je einen Bogen auf der anderen Seite von g. Die Bögen schneiden sich in Q.
- Die Gerade durch P und Q ist das Lot von P auf g. Der Schnittpunkt F mit g heißt Lotfußpunkt; dort ist ein rechter Winkel.
Liegt P auf der Geraden, „errichtest“ Du die Senkrechte in P. Das ist im Grunde die Mittelsenkrechte der Strecke AB, die Du Dir mit dem ersten Kreis selbst machst.
- Gegeben sind die Gerade g und der Punkt P auf g. Gesucht ist die Senkrechte zu g durch P.
- Zeichne um P einen Kreis(bogen) mit kleinem Radius. Er schneidet g in A und B – beide sind gleich weit von P entfernt.
- Zeichne um A und um B Bögen mit einem größeren, gleichen Radius. Sie schneiden sich im Punkt S.
- Die Gerade durch P und S steht senkrecht auf g.
Der Abstand eines Punktes von einer Geraden wird immer senkrecht gemessen – also entlang des Lotes von P bis zum Lotfußpunkt F.
Parallele durch einen Punkt
- Gegeben sind die Gerade g und der Punkt P. Gesucht ist die Parallele zu g durch P.
- Wähle zwei Punkte A und B auf g und verbinde A mit P.
- Nimm die Länge AB in den Zirkel und zeichne um P einen Bogen nach rechts.
- Nimm die Länge AP in den Zirkel und zeichne um B einen Bogen. Beide Bögen schneiden sich in Q.
- Die Gerade durch P und Q ist parallel zu g. ABQP ist ein Parallelogramm – gegenüberliegende Seiten sind parallel.
Tipp: schnell mit dem Geodreieck
Im Alltag geht es schneller: Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf g, schiebe eine Hilfslinie des Geodreiecks durch P und zeichne. Die Konstruktion mit dem Zirkel zeigt, warum das stimmt: ABQP ist ein Parallelogramm.
Winkel übertragen
Manchmal sollst Du einen Winkel ohne Geodreieck „kopieren“, zum Beispiel an einen anderen Strahl. Das geht nur mit dem Zirkel:
- Gegeben ist der Winkel bei S. Er soll an den Strahl mit dem Anfangspunkt S' übertragen werden.
- Zeichne um S einen Bogen, der beide Schenkel schneidet (Punkte P und Q).
- Zeichne mit derselben Zirkelöffnung um S' einen Bogen. Er schneidet den Strahl in P'.
- Nimm den Abstand von P und Q in den Zirkel und zeichne um P' einen Bogen. Er schneidet den ersten Bogen in Q'.
- Der Strahl von S' durch Q' bildet mit dem ersten Strahl einen Winkel, der genauso groß ist wie α.
Dreiecke konstruieren
Ein Dreieck ist durch drei passende Stücke (Seiten und Winkel) eindeutig festgelegt. Welche drei Stücke reichen, sagen die Kongruenzsätze. Die Bezeichnungen sind immer gleich: Die Seite a liegt der Ecke A gegenüber, b gegenüber von B, c gegenüber von C; der Winkel α liegt bei A, β bei B und γ bei C.
| Gegeben | Satz | Vorgehen |
|---|---|---|
| drei Seiten | SSS | eine Seite zeichnen, um beide Endpunkte Kreisbögen mit den anderen Seiten als Radius |
| zwei Seiten und der Winkel dazwischen | SWS | Seite zeichnen, Winkel antragen, auf dem Schenkel die zweite Seite abtragen |
| eine Seite und die beiden anliegenden Winkel | WSW | Seite zeichnen, an beiden Enden die Winkel antragen, die Schenkel schneiden sich in der dritten Ecke |
| zwei Seiten und der Winkel gegenüber der längeren Seite | SsW | Winkel und kürzere Seite zeichnen, Kreisbogen mit der längeren Seite |
Bevor Du konstruierst: geht das überhaupt?
- Dreiecksungleichung: Je zwei Seiten müssen zusammen länger sein als die dritte. Mit 3 cm, 4 cm und 8 cm gibt es kein Dreieck – die Kreisbögen treffen sich nicht.
- Winkelsumme: α + β + γ = 180°. Sind zwei Winkel zusammen 180° oder mehr, gibt es kein Dreieck.
- Drei Winkel allein (WWW) legen nur die Form fest, nicht die Größe.
Dreieck aus drei Seiten (SSS)
- Gegeben: a = 5 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. Zeichne zuerst die Seite c = AB.
- Stich in A ein und zeichne einen Kreisbogen mit dem Radius b = 4 cm.
- Stich in B ein und zeichne einen Kreisbogen mit dem Radius a = 5 cm. Wo sich die Bögen schneiden, liegt C.
- Verbinde C mit A und B – fertig ist das Dreieck. Kontrolliere zum Schluss die Längen.
Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS)
- Gegeben: c = 6 cm, α = 50°, b = 4 cm. Zeichne die Seite c = AB.
- Trage in A mit dem Geodreieck den Winkel α = 50° an und zeichne einen langen Strahl.
- Stich in A ein und zeichne mit dem Radius b = 4 cm einen Bogen. Er schneidet den Strahl in C.
- Verbinde C mit B. Das Dreieck ist eindeutig bestimmt.
Eine Seite und zwei anliegende Winkel (WSW)
- Gegeben: c = 6 cm, α = 45°, β = 65°. Zeichne die Seite c = AB.
- Trage in A den Winkel α = 45° an und zeichne einen Strahl.
- Trage in B den Winkel β = 65° an. Die beiden Strahlen schneiden sich in C.
- Ziehe die Seiten AC und BC nach. Der dritte Winkel ist γ = 180° − α − β = 70°.
Sind statt der beiden anliegenden Winkel zum Beispiel α und γ gegeben, rechnest Du zuerst den fehlenden Winkel mit der Winkelsumme aus: β = 180° − α − γ. Dann geht es weiter wie bei WSW.
Zwei Seiten und ein Gegenwinkel (SsW)
- Gegeben: b = 4 cm, a = 5 cm und α = 60° – der Winkel liegt der längeren Seite a gegenüber. Zeichne in A einen Strahl (dort liegt später c).
- Trage in A den Winkel α an und miss auf dem zweiten Schenkel b = 4 cm ab. So erhältst Du C.
- Zeichne um C einen Kreisbogen mit dem Radius a = 5 cm. Er schneidet den ersten Strahl in genau einem Punkt B.
- Verbinde B mit C. Weil a länger ist als b, gibt es nur dieses eine Dreieck (der zweite Schnittpunkt läge hinter A, nicht auf dem Strahl).
Achtung bei SsW
Eindeutig ist das Dreieck nur, wenn der Winkel der längeren der beiden Seiten gegenüberliegt (großes „S“). Liegt er der kürzeren Seite gegenüber, kann der Kreisbogen den Strahl zweimal schneiden (zwei verschiedene Dreiecke), ihn nur berühren oder gar nicht treffen (kein Dreieck). Rechnen kannst Du solche Fälle mit dem Sinussatz.
Planfigur und Konstruktionsbeschreibung
Vor jeder Dreieckskonstruktion zeichnest Du eine kleine Planfigur: ein ungefähres Dreieck, in dem Du die gegebenen Stücke farbig markierst. So siehst Du sofort, welcher Kongruenzsatz passt und womit Du anfängst.
Beispiel: Konstruktionsbeschreibung zu SWS (c = 6 cm, α = 50°, b = 4 cm)
- Zeichne die Strecke AB mit c = 6 cm.
- Trage in A den Winkel α = 50° an und zeichne einen Strahl.
- Zeichne um A einen Kreisbogen mit dem Radius b = 4 cm. Er schneidet den Strahl in C.
- Verbinde C mit B. Das Dreieck ABC ist fertig.
Zum Schluss kannst Du nachmessen: a ≈ 4,6 cm, β ≈ 41°, γ ≈ 89°. Prüfen kannst Du das mit dem Dreiecksrechner.
Typische Fehler
- Bei der Mittelsenkrechten einen zu kleinen Radius gewählt – dann schneiden sich die Bögen nicht. Der Radius muss größer sein als die halbe Strecke.
- Zwischen zwei Bögen die Zirkelöffnung verstellt, obwohl beide Bögen gleich groß sein müssen.
- Seiten und Ecken vertauscht: Die Seite a liegt der Ecke A gegenüber, sie verbindet B und C.
- Den Winkel an der falschen Ecke oder auf der falschen Seite der Strecke angetragen.
- Zum Schluss nicht nachgemessen – eine kurze Kontrolle findet fast jeden Fehler.
Wie die Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden, Seitenhalbierenden und Höhen in einem Dreieck zusammenwirken, zeigt die Seite Besondere Linien im Dreieck. Winkel messen und antragen erklärt die Seite Winkel.
Online üben: Geht das Dreieck?
Konstruieren übst Du am besten auf Papier mit dem Arbeitsblatt unten. Hier kannst Du online prüfen, ob ein Dreieck überhaupt konstruierbar ist und welcher Kongruenzsatz passt.
Stufe 3: eins, zwei oder keins
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Aufgabe 1
\(b = 5\text{ cm},\ a = 1\text{ cm},\ \alpha = 55^\circ:\ \text{wie viele Dreiecke?}\)\(\text{keins: } a < h = b \cdot \sin\alpha \approx 4{,}1\text{ cm}\)
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Aufgabe 2
\(b = 7\text{ cm},\ a = 7{,}5\text{ cm},\ \alpha = 65^\circ:\ \text{wie viele Dreiecke?}\)\(\text{eins: } a \geq b\text{, der Kreis um C trifft den Strahl nur einmal}\)
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Aufgabe 3
\(\alpha = 65^\circ,\ \beta = 80^\circ,\ \gamma = 35^\circ:\ \text{wie viele Dreiecke?}\)\(\text{unendlich viele (nur die Form liegt fest, nicht die Größe)}\)
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Aufgabe 4
\(b = 4\text{ cm},\ a = 4{,}5\text{ cm},\ \alpha = 65^\circ:\ \text{wie viele Dreiecke?}\)\(\text{eins: } a \geq b\text{, der Kreis um C trifft den Strahl nur einmal}\)
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Aufgabe 5
\(b = 4\text{ cm},\ a = 1{,}5\text{ cm},\ \alpha = 35^\circ:\ \text{wie viele Dreiecke?}\)\(\text{keins: } a < h = b \cdot \sin\alpha \approx 2{,}3\text{ cm}\)
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Aufgabe 6
\(b = 7\text{ cm},\ a = 7{,}5\text{ cm},\ \alpha = 55^\circ:\ \text{wie viele Dreiecke?}\)\(\text{eins: } a \geq b\text{, der Kreis um C trifft den Strahl nur einmal}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Konstruieren mit Zirkel und Lineal
Eine volle DIN-A4-Seite mit Konstruktionsaufgaben in Originalgröße – mit Platz zum Konstruieren und einem Lösungsblatt, das die fertigen Konstruktionen mit allen Zirkelbögen zeigt. Bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 5–8.
Arbeitsblatt: Ist das Dreieck konstruierbar?
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–8.
Weiterlesen: Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei Wikipedia