Startseite Studium & Brückenkurs Rechner für komplexe Zahlen – mit Rechenweg, Polarform, Potenzen und Wurzeln Kl. 13
Rechner für komplexe Zahlen
Gib komplexe Zahlen in der Form $a + bi$ ein, zum Beispiel 3+4i, -2i oder 1/2 - 3/4i. Der Rechner rechnet exakt mit Brüchen, zeigt jeden Schritt und zeichnet das Ergebnis in die Gaußsche Zahlenebene.
Ergebnis
Betrag und Winkel von $z = -3 + 3i$:
\[|z| = 3\sqrt{2} \approx 4{,}2426\]
\[\varphi = 135^\circ \;\hat=\; \frac{3\pi}{4} \approx 2{,}3562\]
\[z = 3\sqrt{2} \cdot \left(\cos(135^\circ) + i \cdot \sin(135^\circ)\right)\]
\[z = 3\sqrt{2} \cdot e^{\,i \cdot \frac{3\pi}{4}}\]
Konjugiert: $\overline{z} = -3 - 3i$ (Spiegelung an der reellen Achse, Winkel $225^\circ$).
Rechenweg
Betrag (Länge des Pfeils)
Mit dem Satz des Pythagoras: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
\[|z| = \sqrt{\left(-3\right)^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}2426\]
Winkel (Argument)
Die Zahl liegt im 2. Quadranten (Realteil negativ, Imaginärteil positiv). Der Taschenrechner liefert einen Winkel im falschen Quadranten – addiere $180^\circ$.
\[\arctan\left(\frac{3}{-3}\right) = -45^\circ\]
\[\varphi = -45^\circ + 180^\circ = 135^\circ\]
\[\varphi = 135^\circ \;\hat=\; \frac{3\pi}{4} \approx 2{,}3562\ \text{(Bogenmaß)}\]
Polarform und Exponentialform aufschreiben
Mit $r = |z|$ und dem Winkel $\varphi$ gilt $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = r\,e^{i\varphi}$ (Eulersche Formel).
\[z = 3\sqrt{2} \cdot \left(\cos(135^\circ) + i \cdot \sin(135^\circ)\right)\]
\[z = 3\sqrt{2} \cdot e^{\,i \cdot \frac{3\pi}{4}}\]
In der Gaußschen Zahlenebene
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So rechnet der Rechner
Rechenart Regel
Addieren, Subtrahieren Realteile und Imaginärteile getrennt: $(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)\,i$ Multiplizieren ausmultiplizieren und $i^2 = -1$: $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)\,i$ Dividieren mit dem Konjugierten des Nenners erweitern, Nenner $c^2 + d^2$ Polarform $r = \sqrt{a^2 + b^2}$, Winkel mit $\arctan\frac{b}{a}$ und Quadrantenkorrektur, $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = r\,e^{i\varphi}$ Potenz Formel von Moivre: $z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$ n-te Wurzeln $n$ Lösungen mit Betrag $\sqrt[n]{r}$ und Winkeln $\frac{\varphi + k \cdot 360^\circ}{n}$
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