Rechner für komplexe Zahlen
Gib komplexe Zahlen in der Form $a + bi$ ein, zum Beispiel 3+4i, -2i oder 1/2 - 3/4i. Der Rechner rechnet exakt mit Brüchen, zeigt jeden Schritt und zeichnet das Ergebnis in die Gaußsche Zahlenebene.
Ergebnis
Betrag und Winkel von $z = 4 - 3i$:
Konjugiert: $\overline{z} = 4 + 3i$ (Spiegelung an der reellen Achse, Winkel $36{,}87^\circ$).
Hauptwert im Bereich $-180^\circ < \varphi \le 180^\circ$: $\varphi = -36{,}87^\circ$.
Rechenweg
Betrag (Länge des Pfeils)
Mit dem Satz des Pythagoras: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
\[|z| = \sqrt{4^2 + \left(-3\right)^2} = \sqrt{25} = 5\]Winkel (Argument)
Die Zahl liegt im 4. Quadranten (Realteil positiv, Imaginärteil negativ). Der Taschenrechner liefert einen negativen Winkel – addiere $360^\circ$.
\[\arctan\left(\frac{-3}{4}\right) \approx -36{,}87^\circ\]\[\varphi = -36{,}87^\circ + 360^\circ \approx 323{,}13^\circ\]\[\varphi = 323{,}13^\circ \;\hat=\; \approx 5{,}6397\ \text{(Bogenmaß)}\]Polarform und Exponentialform aufschreiben
Mit $r = |z|$ und dem Winkel $\varphi$ gilt $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = r\,e^{i\varphi}$ (Eulersche Formel).
\[z = 5 \cdot \left(\cos(323{,}13^\circ) + i \cdot \sin(323{,}13^\circ)\right)\]\[z = 5 \cdot e^{\,i \cdot 5{,}6397}\]
In der Gaußschen Zahlenebene
So rechnet der Rechner
| Rechenart | Regel |
|---|---|
| Addieren, Subtrahieren | Realteile und Imaginärteile getrennt: $(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)\,i$ |
| Multiplizieren | ausmultiplizieren und $i^2 = -1$: $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)\,i$ |
| Dividieren | mit dem Konjugierten des Nenners erweitern, Nenner $c^2 + d^2$ |
| Polarform | $r = \sqrt{a^2 + b^2}$, Winkel mit $\arctan\frac{b}{a}$ und Quadrantenkorrektur, $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = r\,e^{i\varphi}$ |
| Potenz | Formel von Moivre: $z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$ |
| n-te Wurzeln | $n$ Lösungen mit Betrag $\sqrt[n]{r}$ und Winkeln $\frac{\varphi + k \cdot 360^\circ}{n}$ |
Die Grundlagen mit Beispielen und Übungen stehen unter Komplexe Zahlen. Für reelle quadratische Gleichungen gibt es den abc-Formel-Rechner.