Wahrheitstafel-Rechner
Gib eine aussagenlogische Formel ein – mit den Zeichen ¬ ∧ ∨ → ↔ oder bequem über die Tastatur mit !, &, |, ->, <->. Der Rechner erstellt die Wahrheitstafel mit allen Teilformeln, sagt Dir, ob die Formel eine Tautologie, eine Kontradiktion oder erfüllbar ist, und bildet DNF und KNF. Mit einer zweiten Formel prüft er, ob beide äquivalent sind.
Ergebnis
Die Formel ist erfüllbar, aber keine Tautologie: wahr in 3 von 4 Zeilen.
| $A$ | $B$ | $A \Rightarrow B$ |
|---|---|---|
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | w |
| f | f | w |
Eine Formel heißt Tautologie, wenn sie immer wahr ist, Kontradiktion, wenn sie nie wahr ist, und erfüllbar, wenn sie in mindestens einer Zeile wahr ist.
Rechenweg
Aussagen und Zeilen
In der Formel kommen 2 Aussagen vor (A, B). Die Wahrheitstafel hat deshalb $2^{2} = 4$ Zeilen – eine für jede Belegung. Erste Zeile: alle wahr.
Disjunktive Normalform (DNF)
Für jede Zeile mit Ergebnis w ein „und“-Glied (Minterm), alle mit „oder“ verbunden:
\[(A \land B) \lor (\neg A \land B) \lor (\neg A \land \neg B)\]Konjunktive Normalform (KNF)
Für jede Zeile mit Ergebnis f ein „oder“-Glied (Maxterm), das genau in dieser Zeile falsch ist, alle mit „und“ verbunden:
\[(\neg A \lor B)\]Kürzere gleichwertige Form
Fasst man Minterme zusammen, die sich nur in einer Aussage unterscheiden (Verfahren von Quine und McCluskey), erhält man eine kürzere DNF mit derselben Wahrheitstafel:
\[B \lor \neg A\]
Schreibweisen
| Verknüpfung | Zeichen | eingeben als | wahr, wenn … |
|---|---|---|---|
| Negation (nicht) | $\neg A$ | !A, ~A, not A, nicht A | $A$ falsch ist |
| Konjunktion (und) | $A \land B$ | A & B, A && B, A and B, A und B | beide wahr sind |
| Disjunktion (oder) | $A \lor B$ | A | B, A || B, A or B, A oder B, A v B | mindestens eine wahr ist |
| Implikation (wenn – dann) | $A \Rightarrow B$ | A -> B, A => B | nicht $A$ wahr und $B$ falsch ist |
| Äquivalenz (genau dann, wenn) | $A \Leftrightarrow B$ | A <-> B, A <=> B | beide denselben Wert haben |
| exklusives Oder (entweder – oder) | $A \oplus B$ | A xor B | genau eine wahr ist |
Die Zeichen ¬ ∧ ∨ → ⇒ ↔ ⇔ kannst Du auch direkt einfügen. Eckige und geschweifte Klammern werden wie runde behandelt.
So liest Du die Wahrheitstafel
- Bei $n$ Aussagen hat die Tafel $2^n$ Zeilen – jede mögliche Belegung genau einmal. Die erste Zeile ist „alles wahr“, die letzte „alles falsch“.
- Die Spalten der Teilformeln werden von innen nach außen ausgefüllt; die letzte Spalte ist die ganze Formel.
- Tautologie: in jeder Zeile wahr (z. B. $A \lor \neg A$). Kontradiktion: in keiner Zeile wahr (z. B. $A \land \neg A$). Erfüllbar: in mindestens einer Zeile wahr.
- Zwei Formeln sind äquivalent ($\equiv$), wenn ihre Ergebnisspalten in jeder Zeile übereinstimmen. Gleichwertig: $F \Leftrightarrow G$ ist eine Tautologie.
Normalformen
Aus der Wahrheitstafel lässt sich jede Formel in eine Standardform bringen:
- Disjunktive Normalform (DNF): Für jede Zeile mit Ergebnis w bildest Du ein „und“-Glied, das genau in dieser Zeile wahr ist (z. B. $A \land \neg B$ für $A$ = w, $B$ = f). Diese Glieder verbindest Du mit „oder“.
- Konjunktive Normalform (KNF): Für jede Zeile mit Ergebnis f bildest Du ein „oder“-Glied, das genau in dieser Zeile falsch ist (z. B. $\neg A \lor B$ für $A$ = w, $B$ = f). Diese Glieder verbindest Du mit „und“.
Beispiel: $A \Rightarrow B$
Die Implikation ist nur in der Zeile $A$ = w, $B$ = f falsch. KNF: $\neg A \lor B$. Die DNF besteht aus den drei übrigen Zeilen: $(A \land B) \lor (\neg A \land B) \lor (\neg A \land \neg B)$ – zusammengefasst ebenfalls $\neg A \lor B$.
Wichtige Umformungsregeln wie die Gesetze von De Morgan, Distributivgesetze und Kontraposition sowie den Zusammenhang mit Mengen findest Du auf der Seite Mengen und Logik. Logik-Schaltungen mit 1 und 0 arbeiten genauso – dort heißt die Wahrheitstafel oft Wertetabelle.
Online üben
Wähle bei jeder Aufgabe die passende Antwort aus oder gib eine Zahl ein. Zum Nachprüfen kannst Du jede Formel oben in den Rechner eintippen.
Stufe 1: Wahrheitswert bei gegebener Belegung
-
Aufgabe 1
\(A = \text{f},\ B = \text{w},\ C = \text{f}:\quad (B \Rightarrow C) \lor (A \Rightarrow B)\)\((\text{w} \Rightarrow \text{f}) \lor (\text{f} \Rightarrow \text{w}) = \text{w}\ (\text{wahr})\)
-
Aufgabe 2
\(A = \text{w},\ B = \text{f},\ C = \text{w}:\quad \neg B \lor A \Rightarrow (C \Rightarrow B)\)\(\neg \text{f} \lor \text{w} \Rightarrow (\text{w} \Rightarrow \text{f}) = \text{f}\ (\text{falsch})\)
-
Aufgabe 3
\(A = \text{w},\ B = \text{w}:\quad \neg (B \Rightarrow \neg A \lor A) \Rightarrow (B \Rightarrow A)\)\(\neg (\text{w} \Rightarrow \neg \text{w} \lor \text{w}) \Rightarrow (\text{w} \Rightarrow \text{w}) = \text{w}\ (\text{wahr})\)
-
Aufgabe 4
\(A = \text{f},\ B = \text{f}:\quad (A \land B) \lor (B \land (A \lor \neg A))\)\((\text{f} \land \text{f}) \lor (\text{f} \land (\text{f} \lor \neg \text{f})) = \text{f}\ (\text{falsch})\)
-
Aufgabe 5
\(A = \text{f},\ B = \text{f}:\quad \neg B \land \neg A \Rightarrow A\)\(\neg \text{f} \land \neg \text{f} \Rightarrow \text{f} = \text{f}\ (\text{falsch})\)
-
Aufgabe 6
\(A = \text{f},\ B = \text{w}:\quad A \Leftrightarrow (A \Leftrightarrow B)\)\(\text{f} \Leftrightarrow (\text{f} \Leftrightarrow \text{w}) = \text{w}\ (\text{wahr})\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Wahrheitstafeln und Aussagenlogik
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Weiterlesen: Wahrheitstabelle bei Wikipedia