Probe-Klassenarbeit Bogenmaß, Einheitskreis und Wachstum
Klasse 10 · Grad- und Bogenmaß, Sinus und Kosinus am Einheitskreis, trigonometrische Gleichungen sowie exponentielles Wachstum und Zerfall.
- 14 Aufgaben
- 26 Punkte
- 45 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Grad- und Bogenmaß (je 1 P.)
Rechne um: Bogenmaß = Grad · π : 180°, Grad = Bogenmaß · 180° : π. Gib das Bogenmaß als Vielfaches von π an.
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\(-285^\circ \text{ in rad}\)Lösung: \(-285^\circ \text{ in rad} = -\frac{19\pi}{12}\)
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\(3{,}5 \text{ rad in Grad}\)°Lösung: \(3{,}5 \text{ rad in Grad} = \approx 200{,}54^\circ\)
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\(40^\circ \text{ in rad}\)Lösung: \(40^\circ \text{ in rad} = \frac{2\pi}{9}\)
Aufgabe 2: Werte am Einheitskreis (je 1 P.)
Gib die exakten Werte an (z. B. 1/2, √3/2, −1). Nutze den Einheitskreis: Vorzeichen aus dem Quadranten, Betrag aus dem 1. Quadranten.
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\(\cos\left(\frac{8\pi}{3}\right)\)Lösung: \(\cos\left(\frac{8\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\)
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\(\sin\left(45^\circ\right)\)Lösung: \(\sin\left(45^\circ\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
-
\(\cos\left(450^\circ\right)\)Lösung: \(\cos\left(450^\circ\right) = 0\)
Aufgabe 3: Trigonometrische Gleichungen (je 3 P.)
Gib alle Lösungen im angegebenen Intervall an. Gerundete Lösungen auf zwei Nachkommastellen.
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\(\cos x = -3,\ x \in [0;\, 2\pi)\)Lösung: \(\text{keine Lösung}\)
-
\(\sin x = -0{,}4,\ x \in [0^\circ;\, 360^\circ)\)Lösung: \(x_1 \approx 203{,}58^\circ,\; x_2 \approx 336{,}42^\circ\)
Aufgabe 4: Wachstum berechnen (je 2 P.)
Berechne die gesuchten Werte. Linear: B(t) = B(0) + d · t. Exponentiell: B(t) = B(0) · qᵗ mit q = 1 + p/100. Runde auf zwei Nachkommastellen.
-
\(q = 1{,}25:\ \text{Zunahme um wie viel Prozent?}\)%Lösung: \(25\,\%\)
-
\(B(t) = 1200 \cdot 0{,}75^t.\ \text{Berechne } B(3).\)Lösung: \(B(3) = 506{,}25\)
Aufgabe 5: Wachstumsmodell aufstellen (je 2 P.)
Stelle die Funktionsgleichung B(t) auf. Linear: d = Änderung pro Schritt. Exponentiell: q aus dem Quotienten zweier Werte.
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\(\text{Start } 500,\ \text{Zunahme } 3\,\% \text{ pro Jahr}\)Lösung: \(B(t) = 500 \cdot 1{,}03^t\)
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\(\text{Verdopplungszeit } 6\text{ min, Start } 20\)Lösung: \(B(t) = 20 \cdot 2^{\frac{t}{6}}\)
Aufgabe 6: Verdopplungs- und Halbwertszeit (je 3 P.)
Verdopplungszeit T = ln 2 : ln q, Halbwertszeit T = ln 0,5 : ln q. Beschränkt: B(t) = S − (S − B(0)) · qᵗ. Runde auf zwei Nachkommastellen.
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\(S = 500,\ B(0) = 125,\ \text{Abstand } {-}25\,\% \text{ je Jahr:}\ B(t) = 312{,}5?\)Lösung: \(t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}75} \approx 2{,}41\)
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\(B(t) = 100 \cdot 0{,}85^t:\ \text{Wann ist } B(t) = 10?\)Lösung: \(t = \frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}85} \approx 14{,}17\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.
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