Probeprüfung im Stil der Realschul-Abschlussprüfung (Bayern)
Klasse 10 · Aufgabengruppe A ohne Taschenrechner, Aufgabengruppe B mit Sachaufgaben zu Trigonometrie, Funktionen, Körpern und Wachstum – eigene Aufgaben im Format der Abschlussprüfung.
- 21 Aufgaben
- 50 Punkte
- 150 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Gruppe A: Potenzgesetze (2 P.)
Berechne bzw. vereinfache mit den Potenzgesetzen.
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\(x^{9} \cdot x^{4}\)Lösung: \(x^{9} \cdot x^{4} = x^{13}\)
Aufgabe 2: Gruppe A: Binomische Formel (2 P.)
1. (a + b)² = a² + 2ab + b² 2. (a − b)² = a² − 2ab + b² 3. (a + b)(a − b) = a² − b². Bei Stufe 3 rückwärts: Schreibe den Term als Binom.
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\(\left(y + 8\right)^{2}\)Lösung: \(\left(y + 8\right)^{2} = y^{2} + 16y + 64\)
Aufgabe 3: Gruppe A: Gleichungssystem (3 P.)
Löse die Gleichungssysteme mit einem Verfahren Deiner Wahl (Gleichsetzen, Einsetzen oder Addieren). Mach die Probe in beiden Gleichungen. Reicht der Platz nicht, rechne auf einem Extrablatt weiter.
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\(\text{I: }\; -3x + y = -13 \qquad \text{II: }\; -x - y = -3\)\(x; y\)Lösung: \(x = 4,\quad y = -1\)
Aufgabe 4: Gruppe A: Scheitelpunkt (3 P.)
Stufe 1 und 2: Bringe die Funktion mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform und gib den Scheitelpunkt S an. Stufe 3: Wandle die Scheitelpunktform in die allgemeine Form um.
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\(f(x) = x^{2} - 6x + 15\)Lösung: \(f(x) = \left(x - 3\right)^2 + 6,\quad S(3 \mid 6)\)
Aufgabe 5: Gruppe B: Trigonometrie (10 P.)
Eine 3 m lange Leiter lehnt an einer senkrechten Hauswand. Ihr Fuß steht 1,4 m von der Wand entfernt auf ebenem Boden. Leiter, Wand und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Tipp: Die Leiter ist die Hypotenuse. Für den Winkel am Boden hilft der Kosinus: cos α = Ankathete : Hypotenuse.
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3 P.
\(\text{In welcher Höhe berührt die Leiter die Wand? (2 Stellen)}\)mLösung: \(h = \sqrt{3^{2} - 1{,}4^{2}} \approx 2{,}65\,\text{m}\)
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3 P.
\(\text{Wie groß ist der Winkel zwischen Leiter und Boden? (1 Stelle)}\)°Lösung: \(\cos\alpha = \frac{1{,}4}{3} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 62{,}2^\circ\)
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2 P.
\(\text{Sicher steht die Leiter bei 70}^\circ\text{. Wie weit muss ihr Fuß dann von der Wand weg sein? (2 Stellen)}\)mLösung: \(a = 3 \cdot \cos 70^\circ \approx 1{,}03\,\text{m}\)
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2 P.
\(\text{Welche Höhe erreicht die Leiter dann? (2 Stellen)}\)mLösung: \(h = 3 \cdot \sin 70^\circ \approx 2{,}82\,\text{m}\)
Aufgabe 6: Gruppe B: Funktionen (10 P.)
Der Bogen einer Brücke hat die Form einer Parabel mit f(x) = −0,016x² + 10 (x und f(x) in Metern). Die x-Achse liegt auf der Straße, die y-Achse geht durch die höchste Stelle des Bogens. Tipp: Wo der Bogen auf der Straße steht, ist f(x) = 0.
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2 P.
\(\text{Wie hoch ist der Bogen an seiner höchsten Stelle?}\)mLösung: \(S(0 \mid 10) \;\Rightarrow\; 10\,\text{m}\)
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3 P.
\(\text{Wie breit ist der Bogen auf der Straße?}\)mLösung: \(-0{,}016x^2 + 10 = 0 \;\Rightarrow\; x = \pm 25 \;\Rightarrow\; 50\,\text{m}\)
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2 P.
\(\text{Wie hoch ist der Bogen } 12{,}5\text{ m neben der Mitte?}\)mLösung: \(f(12{,}5) = 7{,}5\,\text{m}\)
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3 P.
\(\text{Ein 4 m hoher Lkw fährt genau in der Mitte. Wie breit darf er höchstens sein? (2 Stellen)}\)mLösung: \(f(x) = 4 \;\Rightarrow\; x = \pm\sqrt{\tfrac{6}{0{,}016}} \approx \pm 19{,}36 \;\Rightarrow\; 38{,}73\,\text{m}\)
Aufgabe 7: Gruppe B: Körper (10 P.)
Familie Kaya stellt einen runden Pool (Zylinder) auf: Durchmesser 3 m, Höhe 1 m. Er wird bis 20 cm unter den Rand mit Wasser gefüllt. Eine Pumpe schafft 25 Liter pro Minute. Tipp: 1 m³ = 1000 Liter. Für die Folie brauchst Du den Boden und die Wand, aber keinen Deckel.
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2 P.
\(\text{Wie groß ist die Grundfläche des Pools? (in m}^2\text{, 2 Stellen)}\)m²Lösung: \(G = \pi \cdot 1{,}5^{2} \approx 7{,}07\,\text{m}^2\)
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2 P.
\(\text{Wie viele m}^3\text{ Wasser kommen in den Pool? (2 Stellen)}\)m³Lösung: \(V = G \cdot 0{,}8 \approx 5{,}65\,\text{m}^3\)
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2 P.
\(\text{Wie viele Liter sind das? (ganze Liter)}\)lLösung: \(5{,}6549\,\text{m}^3 \cdot 1000 \approx 5655\,\text{l}\)
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2 P.
\(\text{Wie viele Stunden braucht die Pumpe? (1 Stelle)}\)hLösung: \(\frac{5655}{25} \approx 226{,}2\,\text{min} \approx 3{,}8\,\text{h}\)
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2 P.
\(\text{Wie viel m}^2\text{ Folie braucht man für Boden und Wand? (2 Stellen)}\)m²Lösung: \(G + \pi \cdot 3 \cdot 1 \approx 16{,}49\,\text{m}^2\)
Aufgabe 8: Gruppe B: Wachstum (10 P.)
Ein neues Auto kostet 36.000 €. Sein Wert sinkt jedes Jahr um 20 % des Wertes vom Vorjahr (exponentielle Abnahme). Tipp: Jedes Jahr wird der Wert mit demselben Faktor multipliziert.
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2 P.
\(\text{Mit welchem Faktor wird der Wert jedes Jahr multipliziert?}\)Lösung: \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\)
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2 P.
\(\text{Wie viel ist das Auto nach einem Jahr wert?}\)€Lösung: \(36000 \cdot 0{,}8 = 28800{,}00\,\text{€}\)
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3 P.
\(\text{Wie viel ist es nach 4 Jahren wert? (ganze Euro)}\)€Lösung: \(36000 \cdot 0{,}8^{4} \approx 14746\,\text{€}\)
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3 P.
\(\text{Nach wie vielen ganzen Jahren ist es erstmals weniger als die Hälfte wert?}\)JahreLösung: \(0{,}8^{n} < 0{,}5 \;\Rightarrow\; n > \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}8} \approx 3{,}11 \;\Rightarrow\; n = 4\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.
Andere Probetests
Aufbau der Prüfungen und Sachaufgaben zum Üben: Abschlussprüfung Mathe üben.