Eigenwert-Rechner
Gib eine quadratische 2×2- oder 3×3-Matrix ein – jede Zeile in eine eigene Zeile oder durch Semikolon getrennt, die Einträge durch Leerzeichen. Der Rechner stellt das charakteristische Polynom auf, bestimmt die Eigenwerte, berechnet zu jedem Eigenwert die Eigenvektoren und prüft, ob die Matrix diagonalisierbar ist.
Ergebnis
Eigenwerte der Matrix $A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$:
Kontrolle: Die Summe der Eigenwerte (mit Vielfachheit) ist die Spur $\operatorname{sp}(A) = 4$, ihr Produkt die Determinante $\det(A) = 3$.
Rechenweg
Charakteristisches Polynom aufstellen
Ziehe λ von der Hauptdiagonale ab und berechne die Determinante:
\[p(\lambda) = \det(A - \lambda E) = \det\begin{pmatrix}2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda\end{pmatrix} = (2 - \lambda)(2 - \lambda) - 1 \cdot 1\]\[p(\lambda) = \lambda^{2} - 4\,\lambda + 3\]Eigenwerte: Nullstellen von p(λ)
Setze p(λ) = 0. Bei 2×2-Matrizen hilft die pq-Formel. Faktorisiert:
\[p(\lambda) = \left(\lambda - 3\right)\,\left(\lambda - 1\right) = 0\]\[\lambda_{1} = 1,\qquad \lambda_{2} = 3\]Eigenvektoren zu $\lambda = 1$
Löse das homogene Gleichungssystem (A − λE)·v = 0 mit dem Gauß-Verfahren. Eine Variable ist frei wählbar – jedes Vielfache (≠ 0) des Ergebnisses ist auch ein Eigenvektor.
\[(A - E)\,\vec v = \vec 0\]\[\text{Zeilenstufenform: }\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\]\[\vec v_{1} = \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}\]Eigenvektoren zu $\lambda = 3$
Löse das homogene Gleichungssystem (A − λE)·v = 0 mit dem Gauß-Verfahren. Eine Variable ist frei wählbar – jedes Vielfache (≠ 0) des Ergebnisses ist auch ein Eigenvektor.
\[(A - 3\,E)\,\vec v = \vec 0\]\[\text{Zeilenstufenform: }\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\]\[\vec v_{2} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\]Diagonalisierbar
Es gibt 2 linear unabhängige Eigenvektoren. Schreibe sie als Spalten in eine Matrix S – dann ist S⁻¹·A·S die Diagonalmatrix D mit den Eigenwerten:
\[S = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix},\qquad D = S^{-1} A\, S = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\]
So rechnet der Rechner
| Schritt | Was passiert |
|---|---|
| Charakteristisches Polynom | $\det(A - \lambda E)$ wird ausgerechnet und so weit wie möglich faktorisiert. |
| Eigenwerte | Die Nullstellen des Polynoms – exakt, auch mit Wurzeln. Komplexe Eigenwerte werden angegeben; reelle Eigenvektoren gibt es dazu nicht. |
| Eigenvektoren | Für jeden Eigenwert wird $(A - \lambda E)\,\vec v = \vec 0$ in Zeilenstufenform gebracht und eine Basis des Eigenraums abgelesen. |
| Diagonalisierbarkeit | Gibt es genug linear unabhängige Eigenvektoren, folgen $S$ (Eigenvektoren als Spalten) und $D$ (Eigenwerte) mit $A = S\,D\,S^{-1}$. |
| Kontrolle | Summe der Eigenwerte = Spur, Produkt = Determinante. |
Die Erklärung mit Beispielen und Übungen steht unter Eigenwerte und Eigenvektoren. Produkte, Inverse und Determinanten berechnet der Matrizenrechner, Gleichungssysteme der LGS-Rechner.
Weiterlesen: Eigenwertproblem bei Wikipedia