Muster und Zahlenfolgen
Muster stecken überall: im Zaun, auf dem Pulli, in der Einmaleins-Reihe. Wer ein Muster erkennt, kann vorhersagen, wie es weitergeht. Hier lernst Du, wie Du die Regel hinter einem Muster oder einer Zahlenfolge findest – und wie Du damit sogar Figuren ausrechnest, die noch gar nicht gezeichnet sind.
Formenmuster: Was wiederholt sich?
Bei einem Formenmuster gibt es einen kleinen Teil, der sich immer wieder wiederholt. Diesen Teil nennt man den Kern des Musters. Hast Du den Kern gefunden, weißt Du sofort, was als Nächstes kommt.
Tipp
Fahre mit dem Finger am Muster entlang und sprich mit: „Kreis, Quadrat, Dreieck – Kreis, Quadrat, Dreieck …“. Wenn Du merkst, dass Du wieder von vorne anfängst, hast Du den Kern gefunden.
Zahlenfolgen: die Regel finden
Eine Zahlenfolge ist eine Reihe von Zahlen, die nach einer Regel gebildet wird. Um die Regel zu finden, schaust Du Dir an, wie Du von einer Zahl zur nächsten kommst. Schreibe dazu die Abstände zwischen den Zahlen auf.
| Folge | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Abstand | +3 | +3 | +3 | +3 | +3 |
Der Abstand ist immer 3. Die Regel heißt also „immer plus 3“ und nach 17 kommt 20.
Typische Regeln
| Regel | Beispiel | So erkennst Du sie |
|---|---|---|
| immer plus | $12,\ 19,\ 26,\ 33,\ 40$ | Die Zahlen werden gleichmäßig größer, der Abstand bleibt gleich (+7). |
| immer minus | $90,\ 82,\ 74,\ 66,\ 58$ | Die Zahlen werden gleichmäßig kleiner (−8). |
| immer mal | $3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48$ | Die Abstände werden immer größer – jede Zahl ist das Doppelte der vorigen (·2). |
| immer geteilt | $640,\ 320,\ 160,\ 80,\ 40$ | Jede Zahl ist die Hälfte der vorigen (:2). |
| zwei Regeln im Wechsel | $10,\ 15,\ 13,\ 18,\ 16,\ 21$ | Abwechselnd +5 und −2 – die Folge geht im Zickzack nach oben. |
| wachsende Abstände | $1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 11,\ 16$ | Die Abstände selbst bilden eine Folge: +1, +2, +3, +4, +5. |
| Summe der zwei Zahlen davor | $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13$ | Jede Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger, z. B. $5 + 8 = 13$. |
Die letzte Folge hat sogar einen Namen: Sie heißt Fibonacci-Folge und taucht erstaunlich oft in der Natur auf, zum Beispiel bei der Anordnung von Sonnenblumenkernen.
Merke
So findest Du die Regel einer Zahlenfolge:
- Schreibe die Abstände zwischen den Nachbarzahlen auf.
- Sind alle Abstände gleich, ist die Regel „plus“ oder „minus“.
- Werden die Abstände immer größer, probiere „mal“ – oder schau, ob die Abstände selbst ein Muster haben.
- Mach die Probe: Passt Deine Regel zu allen Zahlen der Folge?
Lücken füllen und Fehler finden
Beispiel: Lücke in der Mitte
$24,\ 36,\ \square,\ 60,\ 72$ – von 24 nach 36 sind es +12, von 60 nach 72 auch. Also ist die Lücke $36 + 12 = 48$. Probe: $48 + 12 = 60$ ✓
Beispiel: Welche Zahl passt nicht?
$7,\ 11,\ 15,\ 20,\ 23,\ 27$ – die Abstände sind +4, +4, +5, +3, +4. Bei der 20 stimmt es nicht: Richtig wäre $15 + 4 = 19$. Die 20 passt nicht.
Plättchenmuster: Figuren, die wachsen
Bei Plättchenmustern wird jede Figur ein Stück größer. Zähle, wie viele Plättchen jede Figur hat – dann bekommst Du wieder eine Zahlenfolge.
Die Anzahlen sind $3,\ 5,\ 7,\ 9$ – jede Figur bekommt 2 Plättchen mehr: eins oben am Turm und eins rechts am Boden. Wie viele Plättchen hat Figur 10? Du musst nicht alle Figuren zeichnen. Schau genau hin: Figur 4 hat einen Turm aus 5 Plättchen und rechts daneben 4 weitere. Figur 10 hat also einen Turm aus 11 Plättchen und 10 weitere, zusammen 21 Plättchen.
Für Profis
Figur $n$ hat $2 \cdot n + 1$ Plättchen. Mit so einer Formel kannst Du jede Figur ausrechnen, auch Figur 100: $2 \cdot 100 + 1 = 201$. Solche Formeln lernst Du später bei den Termen genauer kennen.
Quadratzahlen und Dreieckszahlen
Manche Muster wachsen immer schneller. Legst Du Plättchen zu Quadraten, bekommst Du die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25 … ($n \cdot n$). Legst Du sie als Treppe, entstehen die Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10, 15 … – jede neue Stufe ist eins länger als die vorige.
Typische Fehler
- Nur zwei Zahlen ansehen: Von 2 nach 4 kann „+2“ oder „·2“ sein. Erst die dritte Zahl verrät es: Bei 2, 4, 6 ist es +2, bei 2, 4, 8 ist es ·2.
- Keine Probe: Prüfe Deine Regel an allen Zahlen – sonst übersiehst Du, dass sich zwei Regeln abwechseln.
- Figuren falsch zählen: Zähle Plättchen in Reihen oder Spalten und rechne, statt einzeln zu zählen.
Online üben: Zahlenfolgen
Schreibe die fehlenden Zahlen mit Semikolon getrennt in der richtigen Reihenfolge, z. B. 17; 20 – große Zahlen ohne Leerzeichen, z. B. 3000; 30000. Steht „falsch:“ vor der Folge, gibst Du nur die Zahl ein, die nicht passt.
Stufe 1: plus und minus bis 100
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Aufgabe 1
\(99,\ 89,\ 79,\ 69,\ \square,\ \square\)\(99,\ 89,\ 79,\ 69,\ \mathbf{59},\ \mathbf{49}\quad (-10)\)
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Aufgabe 2
\(16,\ 26,\ 36,\ 46,\ \square,\ \square\)\(16,\ 26,\ 36,\ 46,\ \mathbf{56},\ \mathbf{66}\quad (+10)\)
-
Aufgabe 3
\(2,\ 9,\ 16,\ 23,\ \square,\ \square\)\(2,\ 9,\ 16,\ 23,\ \mathbf{30},\ \mathbf{37}\quad (+7)\)
-
Aufgabe 4
\(2,\ 5,\ 8,\ 11,\ \square,\ \square\)\(2,\ 5,\ 8,\ 11,\ \mathbf{14},\ \mathbf{17}\quad (+3)\)
-
Aufgabe 5
\(13,\ 16,\ 19,\ 22,\ \square,\ \square\)\(13,\ 16,\ 19,\ 22,\ \mathbf{25},\ \mathbf{28}\quad (+3)\)
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Aufgabe 6
\(9,\ 11,\ 13,\ 15,\ \square,\ \square\)\(9,\ 11,\ 13,\ 15,\ \mathbf{17},\ \mathbf{19}\quad (+2)\)
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Aufgabe 7
\(8,\ 17,\ 26,\ 35,\ \square,\ \square\)\(8,\ 17,\ 26,\ 35,\ \mathbf{44},\ \mathbf{53}\quad (+9)\)
-
Aufgabe 8
\(13,\ 22,\ 31,\ 40,\ \square,\ \square\)\(13,\ 22,\ 31,\ 40,\ \mathbf{49},\ \mathbf{58}\quad (+9)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Zahlenfolgen fortsetzen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 1–5.
Online üben: Plättchenmuster
Wie viele Plättchen hat die nächste Figur – und wie viele eine Figur, die noch weiter hinten kommt?
Stufe 1: wachsen um 1 oder 2
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Aufgabe 1
Wie viele Plättchen hat Figur 4, wie viele Figur 6?
Figur 4: 10 Plättchen, Figur 6: 2 · 7 = 14 Plättchen. Jede Figur bekommt 2 Plättchen mehr. -
Aufgabe 2
Wie viele Plättchen hat Figur 4, wie viele Figur 10?
Figur 4: 9 Plättchen, Figur 10: 2 · 10 + 1 = 21 Plättchen. Jede Figur bekommt 2 Plättchen mehr. -
Aufgabe 3
Wie viele Plättchen hat Figur 5, wie viele Figur 6?
Figur 5: 12 Plättchen, Figur 6: 2 · 7 = 14 Plättchen. Jede Figur bekommt 2 Plättchen mehr. -
Aufgabe 4
Wie viele Plättchen hat Figur 4, wie viele Figur 10?
Figur 4: 6 Plättchen, Figur 10: 10 + 2 = 12 Plättchen. Jede Figur bekommt 1 Plättchen mehr.
Schreibe beide Zahlen mit Semikolon getrennt, z. B. 9; 21. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Plättchenmuster weiterlegen
Eine volle DIN-A4-Seite Plättchenmuster mit Kästchen zum Weiterzeichnen und Lösungsblatt – bei jedem Klick neue Muster. Klasse 1–5.
Viele Zahlenfolgen kennst Du schon aus dem Einmaleins: Die Dreierreihe ist die Folge „immer plus 3“. Wie man Zahlenfolgen in der Oberstufe mit Formeln beschreibt, erfährst Du bei den Folgen und Reihen.
Weiterlesen: Folge (Mathematik) bei Wikipedia