Probe-Klausur Beurteilende Statistik
Klasse 12–13 · Sigma-Regeln, Prognose- und Konfidenzintervall, Hypothesentest mit Fehlern 1. und 2. Art.
- 12 Aufgaben
- 36 Punkte
- 90 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
Aufgabe 1: Erwartungswert, Standardabweichung, Laplace-Bedingung (je 3 P.)
X ist binomialverteilt mit n und p. Berechne Erwartungswert μ = n·p und Standardabweichung σ = √(n·p·(1 − p)) (σ auf zwei Nachkommastellen) bzw. prüfe die Laplace-Bedingung σ > 3.
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\(n = 100,\ p = 0{,}5:\quad \mu = ?,\ \ \sigma = ?\)Lösung: \(\mu = 50;\ \ \sigma = \sqrt{25} = 5\)
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\(n = 200,\ p = 0{,}85:\quad \text{Laplace-Bedingung } \sigma > 3 \text{ erfüllt?}\)Lösung: \(\sigma = \sqrt{25{,}5} \approx 5{,}05 > 3:\ \text{ja}\)
Aufgabe 2: Sigma-Umgebung und Prognoseintervall (je 3 P.)
Bestimme die Intervalle mit den Sigma-Regeln (Grenzen auf zwei Nachkommastellen, bei relativen Häufigkeiten auf drei) bzw. die Wahrscheinlichkeit der σ-Umgebung.
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\(n = 1000,\ p = 0{,}8:\quad 95\,\%\text{-Prognoseintervall}\text{ für } X\)Lösung: \([\,775{,}21;\ 824{,}79\,]\quad(\mu = 800,\ \sigma \approx 12{,}65)\)
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\(n = 200,\ p = 0{,}55:\quad 90\,\%\text{-Prognoseintervall}\text{ für } h\)Lösung: \([\,0{,}492;\ 0{,}608\,]\)
Aufgabe 3: Konfidenzintervall (je 4 P.)
Bestimme das Konfidenzintervall für die unbekannte Wahrscheinlichkeit p mit der Näherung h ± c·√(h·(1 − h)/n) (Grenzen auf drei Nachkommastellen).
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\(n = 400,\ k = 112\ (h = 0{,}28):\quad 95\,\%\text{-Konfidenzintervall für } p\)Lösung: \([\,0{,}236;\ 0{,}324\,]\)
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\(n = 200,\ k = 90\ (h = 0{,}45):\quad 95\,\%\text{-Konfidenzintervall für } p\)Lösung: \([\,0{,}381;\ 0{,}519\,]\)
Aufgabe 4: Hypothesen aufstellen (2 P.)
Entscheide, ob ein rechtsseitiger, linksseitiger oder zweiseitiger Test passt, und stelle die Hypothesen H₀ und H₁ auf. Was nachgewiesen werden soll, gehört in H₁. Online tippst Du nur die Testart ein: rechtsseitig, linksseitig oder zweiseitig.
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\(\text{Händler: „Mindestens }80\,\%\text{ der Samen keimen.“ Ein Gärtner zweifelt.}\)Lösung: \(\text{linksseitig: } H_0\!: p \geq 0{,}8,\quad H_1\!: p < 0{,}8\)
Aufgabe 5: Ablehnungsbereich (4 P.)
Bestimme die kritische Zahl mit der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung oder dem Taschenrechner. Rechtsseitig: das kleinste k mit P(X ≥ k) ≤ α. Linksseitig: das größte k mit P(X ≤ k) ≤ α.
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\(n = 150,\ H_0\!: p \leq 0{,}9,\ \alpha = 10\,\%\text{: Ab wie vielen Treffern wird } H_0 \text{ abgelehnt?}\)\(k =\)Lösung: \(P(X \geq 140) \approx 0{,}1060 > 0{,}1,\ P(X \geq 141) \approx 0{,}0600 \leq 0{,}1 \;\Rightarrow\; \overline{A} = \{141;\ 142;\ \ldots;\ 150\}\)
Aufgabe 6: Anwendungsaufgabe (10 P.)
Ein Hersteller behauptet: Höchstens 10 % seiner Bauteile sind fehlerhaft. Ein Kunde prüft 100 zufällig ausgewählte Teile. X ist die Anzahl der fehlerhaften Teile. Getestet wird die Nullhypothese H₀: p ≤ 0,1 auf dem Signifikanzniveau 5 %. Findet der Kunde auffällig viele fehlerhafte Teile, glaubt er dem Hersteller nicht mehr (H₀ wird abgelehnt). Tipp: Rechne mit p = 0,1 und suche das kleinste k, für das P(X ≥ k) höchstens 0,05 ist.
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2 P.
\(\text{Wie viele fehlerhafte Teile erwartet man, wenn der Hersteller recht hat?}\)Lösung: \(E(X) = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}1 = 10\)
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2 P.
\(\text{Berechne die Standardabweichung } \sigma \text{ (2 Stellen).}\)Lösung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{9} \approx 3\)
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4 P.
\(\text{Ab wie vielen fehlerhaften Teilen wird } H_0 \text{ abgelehnt?}\)Lösung: \(P(X \geq 15) \approx 0{,}0726 > 0{,}05,\quad P(X \geq 16) \approx 0{,}0399 \leq 0{,}05 \;\Rightarrow\; \bar{A} = \{16, \dots, 100\}\)
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2 P.
\(\text{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art? (4 Stellen)}\)Lösung: \(\alpha = P(X \geq 16) \approx 0{,}0399\quad\text{(H}_0\text{ wird abgelehnt, obwohl sie stimmt)}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.