Symmetrie und Abbildungen
Viele Dinge um uns herum sind symmetrisch: ein Schmetterling, ein Verkehrsschild, ein Windrad. Auf dieser Seite lernst Du drei Arten von Symmetrie kennen und wie Du Figuren selbst spiegelst, verschiebst und drehst – mit Kästchen und Geodreieck.
Die ersten Schritte zur Achsensymmetrie aus der Grundschule findest Du bei Ebene Figuren. Hier geht es ab Klasse 5 weiter.
Drei Arten von Symmetrie
| Symmetrie | Was heißt das? | Beispiele |
|---|---|---|
| Achsensymmetrie | Faltest Du die Figur an einer Linie (der Symmetrieachse), liegen beide Hälften genau aufeinander. | Rechteck, Drachen, gleichschenkliges Dreieck, Buchstaben A, M, T |
| Punktsymmetrie | Drehst Du die Figur um 180° um einen Punkt (das Symmetriezentrum), sieht sie genauso aus wie vorher. | Parallelogramm, Rechteck, Kreis, Buchstaben N, S, Z |
| Drehsymmetrie | Die Figur sieht schon nach einer Drehung um weniger als 360° wieder gleich aus. | gleichseitiges Dreieck (120°), Quadrat (90°), regelmäßiges Sechseck (60°), Windrad |
Merke
Punktsymmetrie ist ein Sonderfall der Drehsymmetrie: der Drehwinkel ist 180°. Ein Quadrat ist gleich dreifach symmetrisch: Es hat 4 Symmetrieachsen, ist punktsymmetrisch und drehsymmetrisch mit 90°.
Beispiel: Buchstaben untersuchen
- H und X haben zwei Symmetrieachsen und sind außerdem punktsymmetrisch.
- S, N und Z haben keine Symmetrieachse, sind aber punktsymmetrisch: Stell sie auf den Kopf – sie sehen gleich aus.
- A, T und U sind nur achsensymmetrisch (senkrechte Achse).
An einer Achse spiegeln
So spiegelst Du eine Figur an einer Achse
- Nimm Dir einen Eckpunkt vor, zum Beispiel A.
- Gehe von A aus senkrecht zur Achse g und zähle die Kästchen (oder miss mit dem Geodreieck).
- Gehe auf der anderen Seite der Achse genauso weit weiter. Dort liegt der Bildpunkt A'.
- Mach das für alle Eckpunkte und verbinde die Bildpunkte in derselben Reihenfolge.
- Die Verbindungsstrecke von einem Punkt zu seinem Bildpunkt steht senkrecht auf der Achse, und die Achse halbiert sie.
- Punkte, die auf der Achse liegen, bleiben, wo sie sind (Fixpunkte).
- Die Bildfigur ist genauso groß und hat dieselben Winkel – sie ist aber „umgeklappt“: Laufen A, B, C in der Figur gegen den Uhrzeigersinn, laufen A', B', C' im Uhrzeigersinn.
Tipp: Geodreieck
Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf die Achse g und schiebe es, bis die Kante durch den Punkt geht. Dann liest Du den Abstand zur Achse ab und trägst ihn auf der anderen Seite ab. Bei schrägen Achsen geht es nur so – Kästchen zählen klappt dann nicht mehr.
Verschieben
Bei einer Verschiebung wandert jeder Punkt der Figur in dieselbe Richtung und genauso weit. Das gibt der Verschiebungspfeil an. Im Kästchenraster liest Du ihn so: „6 nach rechts, 2 nach oben“. Diesen Weg gehst Du von jedem Eckpunkt aus.
Merke
Bei einer Verschiebung sind alle Verbindungsstrecken $\overline{AA'}$, $\overline{BB'}$, $\overline{CC'}$ parallel und gleich lang. Die Bildfigur ist nicht gedreht und nicht umgeklappt.
Im Koordinatensystem ist das besonders einfach: Bei „6 nach rechts, 2 nach oben“ zählst Du zur x-Koordinate 6 und zur y-Koordinate 2 dazu. Aus $A(1 \mid 1)$ wird $A'(7 \mid 3)$.
Am Punkt spiegeln (Drehung um 180°)
So spiegelst Du an einem Punkt Z
- Zeichne eine Linie vom Eckpunkt A durch Z hindurch.
- Zähle, wie weit A von Z entfernt ist (zum Beispiel 5 nach links und 2 nach unten).
- Gehe von Z aus genauso weit in die Gegenrichtung (5 nach rechts und 2 nach oben). Dort liegt A'.
Z ist immer genau die Mitte zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt.
Um einen Punkt drehen
Für eine Drehung brauchst Du drei Angaben: das Drehzentrum Z, den Drehwinkel und die Drehrichtung. In der Mathematik dreht man normalerweise gegen den Uhrzeigersinn – das nennt man auch „mathematisch positiv“.
Beispiel: Drehung um 90° im Kästchenraster
Der Punkt A liegt 2 Kästchen rechts von Z. Drehst Du um 90° gegen den Uhrzeigersinn, zeigt dieser Weg danach nach oben: A' liegt 2 Kästchen über Z. So „dreht“ sich jeder Weg von Z zu einem Eckpunkt mit: rechts wird oben, oben wird links, links wird unten, unten wird rechts.
Tipp: Transparentpapier
Pause die Figur und den Punkt Z auf Transparentpapier ab, halte den Stift auf Z fest und drehe das Papier. So siehst Du sofort, wo die Bildfigur liegen muss – praktisch zur Kontrolle.
Was bleibt gleich, was ändert sich?
| Abbildung | Längen und Winkel | Umlaufsinn | Fixpunkte |
|---|---|---|---|
| Achsenspiegelung | bleiben gleich | kehrt sich um | alle Punkte auf der Achse |
| Verschiebung | bleiben gleich | bleibt | keine |
| Punktspiegelung | bleiben gleich | bleibt | nur das Zentrum Z |
| Drehung | bleiben gleich | bleibt | nur das Drehzentrum Z |
Weil sich bei allen vier Abbildungen weder Längen noch Winkel ändern, sind Figur und Bildfigur immer deckungsgleich (kongruent). Mehr dazu erfährst Du bei Kongruenz und Ähnlichkeit.
Typische Fehler
- Beim Spiegeln nicht senkrecht zur Achse gegangen, sondern schräg – besonders bei schrägen Achsen.
- Nur die Figur „abgemalt“ und daneben gesetzt: Das ist eine Verschiebung, keine Spiegelung.
- Beim Drehen die Richtung verwechselt: gegen den Uhrzeigersinn heißt nach links herum.
- Die Bildpunkte nicht beschriftet oder in falscher Reihenfolge verbunden.
Online üben: Bildpunkte bestimmen
Bestimme die Koordinaten des Bildpunkts P'. Zeichnen kannst Du auf dem Arbeitsblatt.
Stufe 3: Drehung und schräge Achse
-
Aufgabe 1
Drehe P um Z um 90° gegen den Uhrzeigersinn. Gib die Koordinaten von P' an.
Der Bildpunkt ist \(P'(7 \mid 5)\) -
Aufgabe 2
Drehe P um Z um 90° im Uhrzeigersinn. Gib die Koordinaten von P' an.
Der Bildpunkt ist \(P'(1 \mid 6)\) -
Aufgabe 3
Drehe P um Z um 90° gegen den Uhrzeigersinn. Gib die Koordinaten von P' an.
Der Bildpunkt ist \(P'(10 \mid 7)\) -
Aufgabe 4
Drehe P um Z um 90° gegen den Uhrzeigersinn. Gib die Koordinaten von P' an.
Der Bildpunkt ist \(P'(5 \mid 4)\) -
Aufgabe 5
Spiegle P am Punkt Z. Gib die Koordinaten von P' an.
Der Bildpunkt ist \(P'(9 \mid 5)\) -
Aufgabe 6
Drehe P um Z um 90° gegen den Uhrzeigersinn. Gib die Koordinaten von P' an.
Der Bildpunkt ist \(P'(7 \mid 4)\)
Punkte schreibst Du so: (3|5) oder 3; 5 – zuerst x, dann y, negative Zahlen mit Minus. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Spiegeln, Verschieben, Drehen
Eine volle DIN-A4-Seite mit Figuren im Kästchenraster zum Spiegeln, Verschieben und Drehen – das Lösungsblatt zeigt die Bildfiguren, bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 5–7.
Weiterlesen: Symmetrie (Geometrie) bei Wikipedia