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Bruchterme

Ein Bruchterm ist ein Bruch, bei dem im Nenner eine Variable steht – zum Beispiel $\frac{3}{x}$, $\frac{x + 1}{x - 2}$ oder $\frac{a^2 - b^2}{a + b}$. Du rechnest mit ihm fast so wie mit gewöhnlichen Brüchen. Neu sind zwei Dinge: Manche Zahlen sind für die Variable verboten, und vor dem Kürzen musst Du Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen.

Die Definitionsmenge

Ein Nenner darf nie 0 werden. Bei $\frac{5}{x - 4}$ ist deshalb $x = 4$ ausgeschlossen. Alle erlaubten Zahlen bilden die Definitionsmenge $\mathbb{D}$.

Merke: Definitionsmenge bestimmen

  1. Schreibe jeden Nenner als Produkt (ausklammern, binomische Formeln).
  2. Setze jeden Faktor gleich 0 – die Lösungen sind die verbotenen Zahlen.
  3. Schreibe $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{\ldots\}$.

Beispiele

\[\frac{2x}{x^2 - 9} = \frac{2x}{(x - 3)(x + 3)} \;\Rightarrow\; \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3;\ 3\} \qquad \frac{1}{x^2 + 5x} = \frac{1}{x(x + 5)} \;\Rightarrow\; \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-5;\ 0\}\]

Bei $\frac{4}{x^2 + 1}$ ist keine Zahl verboten: $x^2 + 1$ ist immer mindestens 1. Dann gilt $\mathbb{D} = \mathbb{R}$.

Bruchterme kürzen

Beim Kürzen teilst Du Zähler und Nenner durch denselben Faktor. Das klappt nur mit Faktoren – also mit Teilen eines Produkts, nie mit einzelnen Summanden. Deshalb kommt vor dem Kürzen immer das Faktorisieren.

Merke: Kürzen in drei Schritten

  1. Zähler faktorisieren – gemeinsamen Faktor ausklammern, binomische Formel erkennen oder über Nullstellen zerlegen.
  2. Nenner faktorisieren – genauso.
  3. Gleiche Faktoren streichen. Die Definitionsmenge des Ausgangsterms bleibt bestehen.

Beispiel 1: ausklammern

\[\frac{6x + 9}{12x} = \frac{3(2x + 3)}{3 \cdot 4x} = \frac{2x + 3}{4x} \qquad (x \neq 0)\]

Beispiel 2: binomische Formeln

\[\frac{x^2 - 16}{x^2 + 8x + 16} = \frac{(x - 4)(x + 4)}{(x + 4)^2} = \frac{x - 4}{x + 4} \qquad (x \neq -4)\]

Im Zähler steckt die 3. binomische Formel, im Nenner die 1. binomische Formel – mehr dazu bei den binomischen Formeln.

Beispiel 3: Vorzeichen umdrehen

Sind zwei Faktoren bis auf das Vorzeichen gleich, klammerst Du $-1$ aus: $3 - x = -(x - 3)$.

\[\frac{x - 3}{3 - x} = \frac{x - 3}{-(x - 3)} = -1 \qquad \frac{x^2 - 2x}{4 - x^2} = \frac{x(x - 2)}{-(x - 2)(x + 2)} = -\frac{x}{x + 2}\]

Typischer Fehler: aus Summen kürzen

$\frac{x + 6}{x}$ lässt sich nicht zu $6$ kürzen, und $\frac{x + 6}{6}$ nicht zu $x$. Das $x$ bzw. die $6$ ist hier ein Summand, kein Faktor. Prüfe mit einer Zahl: Für $x = 2$ ist $\frac{2 + 6}{2} = 4$ – und eben nicht 6.

Kürz-Trainer

Probiere es aus: Zerlege den Bruchterm in Faktoren und tippe dann einen Faktor im Zähler und den passenden Faktor im Nenner an. Bei Zahlen wird durch den größten gemeinsamen Teiler gekürzt.

Kürz-Trainer

Beispiel: \(\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 3x} = \frac{x - 3}{x}\) – Zähler und Nenner werden zuerst in Faktoren zerlegt, dann wird der gemeinsame Faktor gestrichen.

Erweitern und Hauptnenner

Beim Erweitern nimmst Du Zähler und Nenner mit demselben Term mal: $\frac{2}{x} = \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)}$. Das brauchst Du, um Bruchterme auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Der Hauptnenner ist der kleinste gemeinsame Nenner. Du findest ihn so: Zerlege alle Nenner in Faktoren und nimm jeden Faktor so oft, wie er höchstens in einem der Nenner vorkommt.

Beispiel: Hauptnenner

\[\text{Nenner } x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2),\quad 2x - 4 = 2(x - 2) \;\Rightarrow\; \text{HN} = 2(x - 2)(x + 2)\]

Bruchterme addieren und subtrahieren

Merke

  1. Nenner faktorisieren und den Hauptnenner bestimmen.
  2. Jeden Bruch mit den fehlenden Faktoren erweitern.
  3. Zähler auf einen Bruchstrich schreiben – mit Klammern, wenn ein Minus davorsteht.
  4. Zähler zusammenfassen und prüfen, ob sich kürzen lässt.

Beispiel

\[\begin{aligned} \frac{3}{x - 1} - \frac{2}{x + 1} &= \frac{3(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}\\ &= \frac{3x + 3 - (2x - 2)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x + 5}{(x - 1)(x + 1)} \end{aligned}\]

Die Klammer um $2x - 2$ ist wichtig: Das Minus gilt für den ganzen Zähler, deshalb wird aus $-2$ ein $+2$.

Bruchterme multiplizieren und dividieren

Hier gelten die Regeln der Bruchrechnung: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Dividieren heißt: mit dem Kehrwert malnehmen. Multipliziere aber nicht sofort aus – zerlege zuerst in Faktoren und kürze, das spart viel Rechnerei.

Beispiel: multiplizieren

\[\frac{x^2 - 9}{4x} \cdot \frac{2x}{x + 3} = \frac{(x - 3)(x + 3) \cdot 2x}{4x \cdot (x + 3)} = \frac{x - 3}{2}\]

Beispiel: dividieren

\[\frac{5x + 10}{x^2} : \frac{x + 2}{3x} = \frac{5(x + 2)}{x^2} \cdot \frac{3x}{x + 2} = \frac{15}{x}\]

Beim Teilen ist zusätzlich jede Zahl verboten, für die der Zähler des Divisors 0 wird – hier $x = -2$. Durch 0 darf man auch dann nicht teilen.

Doppelbrüche

Steht im Zähler oder Nenner wieder ein Bruch, spricht man von einem Doppelbruch. Zwei Wege führen zum Ziel:

  • Zähler und Nenner jeweils auf einen Bruchstrich bringen und dann mit dem Kehrwert malnehmen, oder
  • Zähler und Nenner mit dem Hauptnenner der kleinen Brüche erweitern – dann verschwinden die inneren Brüche auf einen Schlag.

Beispiel: mit $x$ erweitern

\[\frac{1 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{4}{x^2}} = \frac{\left(1 + \frac{2}{x}\right) \cdot x^2}{\left(1 - \frac{4}{x^2}\right) \cdot x^2} = \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 4} = \frac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x}{x - 2}\]
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Online üben: Definitionsmenge und Kürzen

Bei Stufe 1 gibst Du die verbotenen Zahlen mit ; getrennt ein (oder keine). Bei den anderen Stufen tippst Du den gekürzten Term ein, z. B. (x-4)/(x+4).

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 1: Definitionsmenge bestimmen

  1. Aufgabe 1
    \(\frac{3x}{x + 4}\)
    \(x \neq\)
    \(x \neq -4\)
  2. Aufgabe 2
    \(\frac{6}{5x + 1}\)
    \(x \neq\)
    \(x \neq -\frac{1}{5}\)
  3. Aufgabe 3
    \(\frac{x + 5}{7x^{2}}\)
    \(x \neq\)
    \(x \neq 0\)
  4. Aufgabe 4
    \(\frac{1}{4x^{2}}\)
    \(x \neq\)
    \(x \neq 0\)
  5. Aufgabe 5
    \(\frac{x + 6}{5x - 4}\)
    \(x \neq\)
    \(x \neq \frac{4}{5}\)
  6. Aufgabe 6
    \(\frac{x + 2}{(x - 2)(x + 6)}\)
    \(x \neq\)
    \(x \neq -6,\ x \neq 2\)

Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.

Arbeitsblatt: Bruchterme: Definitionsmenge und Kürzen

Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–9.

Online üben: Rechnen mit Bruchtermen

Gib das zusammengefasste und gekürzte Ergebnis ein, z. B. (x+5)/((x-1)*(x+1)) – ob Du den Nenner ausmultiplizierst, ist egal.

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 1: addieren und subtrahieren

  1. Aufgabe 1
    \(\frac{9}{4x} + \frac{1}{2x}\)
    \(\frac{9}{4x} + \frac{1}{2x} = \frac{11}{4x}\)
  2. Aufgabe 2
    \(\frac{3}{2x} + \frac{2}{3x^{2}}\)
    \(\frac{3}{2x} + \frac{2}{3x^{2}} = \frac{9x + 4}{6x^{2}}\)
  3. Aufgabe 3
    \(\frac{x - 6}{x - 9} - 4\)
    \(\frac{x - 6}{x - 9} - 4 = \frac{-3x + 30}{x - 9}\)
  4. Aufgabe 4
    \(\frac{x + 5}{x - 8} - 2\)
    \(\frac{x + 5}{x - 8} - 2 = \frac{-x + 21}{x - 8}\)
  5. Aufgabe 5
    \(\frac{5}{3x} - \frac{3}{4x^{2}}\)
    \(\frac{5}{3x} - \frac{3}{4x^{2}} = \frac{20x - 9}{12x^{2}}\)
  6. Aufgabe 6
    \(\frac{x - 2}{x + 8} - 2\)
    \(\frac{x - 2}{x + 8} - 2 = \frac{-x - 18}{x + 8}\)

Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.

Arbeitsblatt: Rechnen mit Bruchtermen

Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–9.

Eigene Bruchterme kürzen, addieren oder teilen mit Rechenweg: Bruchterm-Rechner. Gleichungen mit Bruchtermen löst Du bei den Bruchgleichungen. Die Grundlagen zum Faktorisieren findest Du unter Klammern auflösen und ausklammern.

Weiterlesen: Bruchrechnung bei Wikipedia

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