Gleichungen höheren Grades lösen

Verfahren: Satz vom Nullprodukt

Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Setze jeden Faktor einzeln gleich 0.

Verfahren: Ausklammern

Klammere die höchste gemeinsame Potenz von $x$ aus, dann hilft der Satz vom Nullprodukt. Die Klammer löst Du mit der pq-Formel oder einer binomischen Formel.

Verfahren: Substitution

Ersetze $x^2$ durch $z$ (bzw. $x^3$ durch $z$). Löse die quadratische Gleichung in $z$ und rechne zurück – aus negativen $z$ folgt bei $z = x^2$ keine Lösung.

Verfahren: pq- oder abc-Formel

Eine quadratische Gleichung löst Du mit der pq-Formel (vorher durch den Faktor vor $x^2$ teilen) oder der abc-Formel.

Verfahren: Lösung raten und Polynomdivision

Probiere die Teiler der Zahl ohne $x$ (±1, ±2, …). Hast Du eine Lösung $a$, teilst Du durch $(x - a)$ und löst den Rest – meist eine quadratische Gleichung.

Verfahren: Isolieren und logarithmieren

Bring die Potenz allein auf eine Seite und wende den Logarithmus an (bzw. vergleiche die Hochzahlen, wenn beide Seiten Potenzen derselben Basis sind).

Verfahren: Substitution mit $z = e^{x}$

Weil $e^{2x} = (e^{x})^2$, wird daraus eine quadratische Gleichung in $z$. Am Ende $e^{x} = z$ logarithmieren – nur für $z > 0$.

Verfahren: $e^{x}$ ausklammern

Klammere $e^{x}$ aus. Weil $e^{x}$ nie 0 ist, muss die Klammer 0 sein.

Verfahren: Näherungsweise lösen

Manche Gleichungen wie $e^{x} = x + 2$ lassen sich nicht exakt umformen. Dann hilft ein Graph oder das Newton-Verfahren.

Verfahren: Logarithmusgesetze, dann entlogarithmieren

Fasse mit $\log(a) + \log(b) = \log(a \cdot b)$ zusammen und wende die Umkehrung an. Prüfe am Ende, ob die Logarithmen definiert sind (Argument > 0).

Verfahren: Isolieren und entlogarithmieren

Bring den Logarithmus allein auf eine Seite. Aus $\ln(x) = c$ folgt $x = e^{c}$, aus $\lg(x) = c$ folgt $x = 10^{c}$.