Zentrische Streckung
Bei einer zentrischen Streckung wird eine Figur von einem festen Punkt aus vergrößert oder verkleinert – wie ein Bild, das ein Beamer an die Wand wirft. Das Bild hat dieselbe Form wie das Original, nur die Größe (und bei negativem Streckfaktor die Lage) ändert sich.
Merke: Zentrische Streckung
Gegeben sind ein Streckzentrum Z und ein Streckfaktor k ≠ 0. Der Bildpunkt P′ eines Punktes P liegt auf der Geraden durch Z und P, und es gilt
Ist k positiv, liegt P′ auf derselben Seite von Z wie P. Ist k negativ, liegt P′ auf der anderen Seite von Z.
| Streckfaktor | Wirkung |
|---|---|
| $k > 1$ | Vergrößerung, Bild auf derselben Seite von Z |
| $k = 1$ | nichts ändert sich (jeder Punkt bleibt, wo er ist) |
| $0 < k < 1$ | Verkleinerung, Bild auf derselben Seite von Z |
| $-1 < k < 0$ | Verkleinerung, Bild auf der anderen Seite von Z (um 180° gedreht) |
| $k = -1$ | Punktspiegelung an Z – gleich groß, um 180° gedreht |
| $k < -1$ | Vergrößerung, Bild auf der anderen Seite von Z (um 180° gedreht) |
Selbst ausprobieren
Stelle mit dem Schieberegler den Streckfaktor ein und verschiebe das Zentrum Z oder die Ecken des Dreiecks. Achte darauf, was bei negativen Werten passiert.
Ziehe auch das Zentrum Z oder die Ecken des Dreiecks.
Eigenschaften
Merke: Was bei einer Streckung gilt
- Winkel bleiben gleich groß.
- Jede Strecke wird auf eine dazu parallele Strecke abgebildet.
- Längen werden mit $|k|$ multipliziert: $\overline{A'B'} = |k| \cdot \overline{AB}$.
- Flächeninhalte werden mit $k^2$ multipliziert: $F' = k^2 \cdot F$.
- Volumen (bei Körpern) werden mit $|k|^3$ multipliziert.
- Original und Bild sind ähnlich – bei $k = \pm 1$ sogar kongruent.
Beispiel: Flächen wachsen schneller als Längen
Ein Dreieck hat den Umfang 12 cm und den Flächeninhalt 6 cm². Es wird mit $k = -3$ gestreckt.
- Umfang: $12\,\text{cm} \cdot |{-3}| = 36\,\text{cm}$
- Flächeninhalt: $6\,\text{cm}^2 \cdot (-3)^2 = 6\,\text{cm}^2 \cdot 9 = 54\,\text{cm}^2$
Das Minuszeichen ändert nur die Lage, nicht die Größe. Deshalb rechnest Du bei Längen mit $|k|$ und bei Flächen mit $k^2$ – beides ist immer positiv.
Bildpunkt konstruieren
- Zeichne den Strahl von Z durch den Punkt A – bei negativem k die ganze Gerade, also auch über Z hinaus.
- Miss die Strecke $\overline{ZA}$.
- Multipliziere mit $|k|$ und trage das Ergebnis von Z aus ab: bei $k > 0$ in Richtung A, bei $k < 0$ in die Gegenrichtung. Das ist A′.
- Wiederhole das für alle Ecken und verbinde die Bildpunkte.
Tipp
Hast Du A′ schon, geht es bei den anderen Ecken schneller: Zeichne durch A′ die Parallele zu AB. Wo sie den Strahl ZB schneidet, liegt B′.
Mit Koordinaten rechnen
Merke: Bildpunkt berechnen
In Worten: Rechne aus, wie weit P von Z entfernt ist (in x- und y-Richtung), nimm diese Verschiebung k-mal und gehe sie von Z aus.
Beispiel 1: Z(2 | 1), A(4 | 2), k = 3
Von Z nach A: 2 nach rechts, 1 nach oben. Dreimal so weit: 6 nach rechts, 3 nach oben.
Beispiel 2: Z(2 | 1), B(6 | 5), k = −½
Von Z nach B: 4 nach rechts, 4 nach oben. Mit $k = -\frac{1}{2}$ wird daraus 2 nach links und 2 nach unten.
Streckfaktor und Zentrum zurückrechnen
Beispiel: Streckfaktor bestimmen
Z(1 | 2), A(3 | 3) und A′(7 | 5). Von Z nach A sind es $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, von Z nach A′ sind es $\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Also ist $k = 3$.
Ohne Koordinaten: $|k| = \frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}$ oder $|k| = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$. Das Vorzeichen siehst Du an der Lage: Liegt Z zwischen A und A′, ist k negativ.
Beispiel: Zentrum bestimmen
Zeichnerisch: Verbinde A mit A′ und B mit B′. Die beiden Geraden schneiden sich im Streckzentrum Z.
Rechnerisch (für $k \neq 1$): Aus $A' = Z + k(A - Z)$ folgt $Z = \frac{A' - k \cdot A}{1 - k}$. Mit A(2 | 1), A′(5 | 3) und k = 2:
Probe: $(-1 + 2 \cdot 3 \mid -1 + 2 \cdot 2) = (5 \mid 3)$ ✓
Zusammenhang mit den Strahlensätzen
Streckst Du A und B von Z aus, entsteht genau die Figur der Strahlensätze: Die Strecken AB und A′B′ sind parallel, und es gilt
Die V-Figur gehört zu positivem k, die X-Figur zu negativem k. Mit dem Strahlensatz-Rechner kannst Du fehlende Strecken ausrechnen.
Typische Fehler
- Bei negativem k das Bild auf dieselbe Seite gezeichnet – es gehört auf die andere Seite von Z.
- Den Flächeninhalt nur mit k statt mit $k^2$ multipliziert.
- Von A aus statt von Z aus abgetragen: Es gilt $\overline{ZA'} = |k| \cdot \overline{ZA}$, nicht $\overline{AA'} = |k| \cdot \overline{ZA}$.
- Gedacht, $k = \frac{1}{2}$ vergrößert – Werte zwischen 0 und 1 verkleinern.
- Mit Koordinaten $k \cdot P$ gerechnet, obwohl Z nicht im Ursprung liegt. $k \cdot P$ stimmt nur für $Z(0 \mid 0)$.
Online üben
Bildpunkte, Streckfaktoren, Längen und Flächen. Punkte gibst Du so ein: (8|4) oder 8; 4, Dezimalzahlen mit Komma.
Stufe 3: k und Zentrum bestimmen
-
Aufgabe 1
\(P(1 \mid 1),\ P'(-11 \mid -11),\ k = -3:\ Z\)\(Z =\)\(Z(-2 \mid -2)\)
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Aufgabe 2
\(|AB| = 5\text{ cm},\ |A'B'| = 2{,}5\text{ cm}:\ |k|\)\(|k| =\)\(|k| = 2{,}5 : 5 = \frac{1}{2} = 0{,}5\)
-
Aufgabe 3
\(|AB| = 12\text{ cm},\ |A'B'| = 30\text{ cm}:\ |k|\)\(|k| =\)\(|k| = 30 : 12 = \frac{5}{2} = 2{,}5\)
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Aufgabe 4
\(A = 7\text{ cm}^2,\ A' = 15{,}75\text{ cm}^2:\ |k|\)\(|k| =\)\(k^2 = \frac{9}{4}\ \Rightarrow\ |k| = \frac{3}{2}\)
-
Aufgabe 5
\(A = 5\text{ cm}^2,\ A' = 11{,}25\text{ cm}^2:\ |k|\)\(|k| =\)\(k^2 = \frac{9}{4}\ \Rightarrow\ |k| = \frac{3}{2}\)
-
Aufgabe 6
\(P(-4 \mid -10),\ P'(-3 \mid -8),\ k = \frac{3}{4}:\ Z\)\(Z =\)\(Z(0 \mid -2)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Zentrische Streckung zeichnen
Figuren auf Kästchenpapier strecken – mit positivem und negativem Streckfaktor. Das Lösungsblatt zeigt die Bildfiguren. Klasse 8–9.
Arbeitsblatt: Zentrische Streckung berechnen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–9.
Weiterlesen: Zentrische Streckung bei Wikipedia