Varianz und Standardabweichung
Zwei Klassen schreiben denselben Test und haben dieselbe Durchschnittsnote. Trotzdem sieht es ganz unterschiedlich aus: In der einen Klasse liegen fast alle Noten nah am Durchschnitt, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schlechte. Wie stark Werte um ihren Mittelwert streuen, messen die Varianz und die Standardabweichung.
Die Idee: mittlere quadratische Abweichung
Für jeden Wert $x_i$ bestimmst Du, wie weit er vom Mittelwert $\bar{x}$ entfernt ist: die Abweichung $x_i - \bar{x}$. Einfach den Durchschnitt dieser Abweichungen zu nehmen funktioniert nicht – positive und negative Abweichungen heben sich immer genau auf, ihre Summe ist stets 0. Deshalb werden die Abweichungen quadriert: Dann ist jede Abweichung positiv, und große Abweichungen zählen besonders stark.
Merke
Die Varianz $s^2$ ist der Mittelwert der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert. Die Standardabweichung $s$ ist die Wurzel aus der Varianz. Sie hat wieder dieselbe Einheit wie die Daten (cm, €, Punkte …) und lässt sich deshalb gut deuten: Sie gibt an, wie weit die Werte „typischerweise“ vom Mittelwert entfernt liegen.
Schritt für Schritt berechnen
- Mittelwert $\bar{x}$ berechnen: alle Werte addieren und durch die Anzahl $n$ teilen.
- Für jeden Wert die Abweichung $x_i - \bar{x}$ bestimmen (Kontrolle: Die Summe ist 0).
- Jede Abweichung quadrieren und alle Quadrate addieren.
- Die Summe durch $n$ teilen – das ist die Varianz $s^2$. Die Wurzel daraus ist die Standardabweichung $s$.
Beispiel: zwei Gruppen mit gleichem Mittelwert
Noten von fünf Schülerinnen und Schülern der Gruppe A: 2; 3; 3; 4; 3. Mittelwert $\bar{x}_A = \frac{15}{5} = 3$.
| Wert $x_i$ | 2 | 3 | 3 | 4 | 3 | $\sum = 15$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Abweichung $x_i - \bar{x}$ | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | $\sum = 0$ |
| Quadrat $(x_i - \bar{x})^2$ | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | $\sum = 2$ |
$s_A^2 = \frac{2}{5} = 0{,}4$ und $s_A = \sqrt{0{,}4} \approx 0{,}63$.
Gruppe B: 1; 5; 3; 1; 5. Auch hier ist $\bar{x}_B = 3$.
| Wert $x_i$ | 1 | 5 | 3 | 1 | 5 | $\sum = 15$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Abweichung $x_i - \bar{x}$ | -2 | 2 | 0 | -2 | 2 | $\sum = 0$ |
| Quadrat $(x_i - \bar{x})^2$ | 4 | 4 | 0 | 4 | 4 | $\sum = 16$ |
$s_B^2 = \frac{16}{5} = 3{,}2$ und $s_B = \sqrt{3{,}2} \approx 1{,}79$.
Deutung: Beide Gruppen haben im Mittel eine 3. In Gruppe A weichen die Noten aber nur um etwa 0,63 Noten vom Mittel ab, in Gruppe B um etwa 1,79 Noten – die Leistungen in Gruppe B sind viel unterschiedlicher.
Stichprobe: durch $n$ oder durch $n - 1$?
Beschreibst Du nur die vorliegenden Daten selbst (eine Klasse, eine Messreihe), teilst Du durch $n$. Sind die Daten aber eine Stichprobe und Du möchtest damit die Streuung einer viel größeren Gesamtheit schätzen (alle Schülerinnen und Schüler eines Jahrgangs, die gesamte Produktion einer Maschine), teilt man durch $n - 1$:
Der Grund: Die Werte einer Stichprobe liegen im Schnitt etwas näher an ihrem eigenen Mittelwert als am (unbekannten) Mittelwert der Gesamtheit. Teilen durch $n - 1$ gleicht das aus. Für Gruppe B: $s_{n-1}^2 = \frac{16}{4} = 4$, also $s_{n-1} = 2$. Bei großen Stichproben ist der Unterschied winzig.
Achtung beim Taschenrechner
Viele Taschenrechner zeigen beide Werte an, oft als $\sigma_n$ (bzw. $\sigma x$) und $\sigma_{n-1}$ (bzw. $s x$). Schau nach, welche Variante in Deiner Aufgabe gemeint ist. In der Schule wird – wenn nichts anderes gesagt ist – meist durch $n$ geteilt. Der Statistik-Rechner zeigt Dir beide Werte.
Schneller rechnen: der Verschiebungssatz
Statt jede Abweichung einzeln zu quadrieren, kannst Du auch den Mittelwert der Quadrate nehmen und davon das Quadrat des Mittelwerts abziehen:
Beispiel (Gruppe B)
$\overline{x^2} = \frac{1 + 25 + 9 + 1 + 25}{5} = \frac{61}{5} = 12{,}2$ und $s^2 = 12{,}2 - 3^2 = 3{,}2$ – dasselbe Ergebnis wie oben.
Das ist praktisch, wenn der Mittelwert eine krumme Zahl ist. Rechne dann aber mit möglichst exakten Werten, sonst können Rundungsfehler das Ergebnis deutlich verfälschen.
Varianz einer Zufallsgröße
Bei einem Zufallsexperiment kennst Du statt Daten die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße $X$. Dann wird jede quadrierte Abweichung vom Erwartungswert $\mu = E(X)$ mit ihrer Wahrscheinlichkeit gewichtet:
Beispiel: Glücksspiel
Bei einem Spiel verlierst Du mit Wahrscheinlichkeit 0,5 einen Euro, mit 0,3 bekommst Du nichts und mit 0,2 gewinnst Du 4 €. Für den Gewinn $X$ (in €) gilt:
$\mu = (-1) \cdot 0{,}5 + 0 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}3$
$E(X^2) = 1 \cdot 0{,}5 + 0 \cdot 0{,}3 + 16 \cdot 0{,}2 = 3{,}7$
$\operatorname{Var}(X) = 3{,}7 - 0{,}3^2 = 3{,}61$ und $\sigma = \sqrt{3{,}61} = 1{,}9$.
Im Mittel gewinnst Du also 30 Cent pro Spiel, die einzelnen Ergebnisse schwanken aber um etwa 1,90 € darum herum.
Beispiel: ein Würfel
Augenzahl $X$, jeder Wert mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$: $\mu = 3{,}5$, $E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$, also $\operatorname{Var}(X) = \frac{91}{6} - 3{,}5^2 = \frac{35}{12} \approx 2{,}92$ und $\sigma \approx 1{,}71$.
Für die Binomialverteilung $B(n;\ p)$ gibt es eine einfache Formel: $\operatorname{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)$ und $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$. Damit arbeiten die Sigma-Regeln und die Normalverteilung. Für eigene Wahrscheinlichkeitsverteilungen rechnet der Erwartungswert-Rechner Varianz und Standardabweichung exakt mit Brüchen.
Was sagt die Standardabweichung aus?
- Vergleich: Bei gleicher Einheit streut die Datenreihe mit der größeren Standardabweichung stärker.
- Faustregel: Bei vielen „glockenförmig“ verteilten Daten liegen etwa zwei Drittel der Werte im Bereich $\bar{x} \pm s$ und fast alle (etwa 95 %) im Bereich $\bar{x} \pm 2s$.
- Andere Streumaße: Die Spannweite (größter minus kleinster Wert) hängt nur von zwei Werten ab. Der Quartilsabstand aus dem Boxplot beschreibt die mittlere Hälfte der Daten und ist robust gegen Ausreißer. Die Standardabweichung nutzt alle Werte – reagiert dafür aber stark auf Ausreißer, weil Abweichungen quadriert werden.
- Varianz = 0 heißt: Alle Werte sind gleich.
Typische Fehler
- Abweichungen nicht quadriert: Die Summe der Abweichungen ist immer 0 – das ist kein Streumaß.
- Wurzel vergessen: Die Varianz hat die Einheit zum Quadrat (cm², €²). Erst die Standardabweichung ist wieder in der Einheit der Daten.
- Falscher Nenner: $n$ oder $n - 1$? Lies genau, ob Daten beschrieben oder eine Gesamtheit geschätzt werden soll.
- Zu früh gerundet: Rechne mit dem exakten Mittelwert weiter, besonders beim Verschiebungssatz.
- Bei Zufallsgrößen ohne Gewichte: Die quadrierten Abweichungen müssen mit den Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden – nicht einfach durch die Anzahl der Werte geteilt.
Weitere Lage- und Streumaße findest Du unter Mittelwert, Median, Modus und Spannweite. Wie zwei Merkmale gemeinsam variieren (Kovarianz, Korrelation), erklärt die Seite Regression und Korrelation.
Online üben
Gib mehrere Ergebnisse mit Semikolon getrennt ein, zum Beispiel 5,2; 2,28 für $s^2$ und $s$. Standardabweichungen auf zwei Nachkommastellen runden; Varianzen auch als Bruch, z. B. 26/5.
Stufe 3: Zufallsgrößen und Binomialverteilung
-
Aufgabe 1
\(x_i\text{: } -3;\ -1;\ 5;\ 7,\ \ P(X = x_i)\text{: } 0{,}2;\ 0{,}4;\ 0{,}2;\ 0{,}2:\quad E(X),\ \sigma\)\(E(X) = 1{,}4;\ \ E(X^2) = 17;\ \ \operatorname{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 15{,}04;\ \ \sigma \approx 3{,}88\)
-
Aufgabe 2
\(X \sim B(100;\ 0{,}2):\quad \operatorname{Var}(X) = ?,\ \ \sigma = ?\)\(\operatorname{Var}(X) = 100 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 16;\ \ \sigma = 4\)
-
Aufgabe 3
\(x_i\text{: } -2;\ 1;\ 6,\ \ P(X = x_i)\text{: } 0{,}2;\ 0{,}05;\ 0{,}75:\quad E(X),\ \operatorname{Var}(X)\)\(E(X) = 4{,}15;\ \ E(X^2) = 27{,}85;\ \ \operatorname{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 10{,}6275\)
-
Aufgabe 4
\(X \sim B(120;\ 0{,}5):\quad \operatorname{Var}(X) = ?,\ \ \sigma = ?\)\(\operatorname{Var}(X) = 120 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 30;\ \ \sigma \approx 5{,}48\)
-
Aufgabe 5
\(x_i\text{: } 1;\ 2,\ \ P(X = x_i)\text{: } 0{,}6;\ 0{,}4:\quad E(X),\ \sigma\)\(E(X) = 1{,}4;\ \ E(X^2) = 2{,}2;\ \ \operatorname{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 0{,}24;\ \ \sigma \approx 0{,}49\)
-
Aufgabe 6
\(X \sim B(100;\ 0{,}7):\quad \operatorname{Var}(X) = ?,\ \ \sigma = ?\)\(\operatorname{Var}(X) = 100 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}3 = 21;\ \ \sigma \approx 4{,}58\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Varianz und Standardabweichung
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–13.
Weiterlesen: Empirische Varianz, Varianz (Stochastik) bei Wikipedia