Eigenwerte und Eigenvektoren
Eine Matrix verändert Vektoren: Sie dreht, streckt und verzerrt sie. Manche Vektoren werden dabei aber nur gestreckt oder gestaucht – ihre Richtung bleibt gleich. Das sind die Eigenvektoren, und der Streckfaktor ist der Eigenwert. Sie verraten, was eine Matrix „eigentlich“ tut, und sind Grundlage für Schwingungsanalyse, Markow-Ketten, Hauptkomponentenanalyse und vieles mehr.
Was ist ein Eigenwert?
Eigenwert und Eigenvektor
Eine Zahl $\lambda$ heißt Eigenwert der quadratischen Matrix $A$, wenn es einen Vektor $\vec v \ne \vec 0$ gibt mit
Jeder solche Vektor $\vec v$ heißt Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$. Der Nullvektor zählt nie als Eigenvektor.
Beispiel: Prüfen, ob ein Vektor ein Eigenvektor ist
$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ und $\vec v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$: $A \cdot \vec v = \begin{pmatrix} 4 + 1 \\ 2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = 5 \cdot \vec v$.
Also ist $\vec v$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $5$. Auch jedes Vielfache wie $\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ ist ein Eigenvektor zu $5$.
Eigenwerte berechnen: das charakteristische Polynom
Aus $A\vec v = \lambda \vec v$ wird mit der Einheitsmatrix $E$ die Gleichung $(A - \lambda E)\,\vec v = \vec 0$. Sie hat genau dann eine Lösung $\vec v \ne \vec 0$, wenn die Matrix $A - \lambda E$ nicht invertierbar ist – also wenn ihre Determinante null ist:
Die linke Seite ist ein Polynom in $\lambda$, das charakteristische Polynom. Seine Nullstellen sind die Eigenwerte. Für eine 2×2-Matrix gilt
Beispiel: Eigenwerte von A = (4 1; 2 3)
Die Eigenwerte sind $\lambda_1 = 2$ und $\lambda_2 = 5$.
Tipp: Kontrolle mit Spur und Determinante
Die Summe aller Eigenwerte ist die Spur (Summe der Diagonaleinträge), ihr Produkt ist die Determinante. Im Beispiel: $2 + 5 = 7 = 4 + 3$ und $2 \cdot 5 = 10 = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 2$ ✓. Bei Dreiecksmatrizen stehen die Eigenwerte direkt auf der Diagonalen.
Eigenvektoren berechnen
Für jeden Eigenwert $\lambda$ löst Du das homogene lineare Gleichungssystem $(A - \lambda E)\,\vec v = \vec 0$, zum Beispiel mit dem Gauß-Verfahren. Weil die Determinante null ist, bleibt immer mindestens eine Variable frei – die Lösungen bilden den Eigenraum.
Beispiel: Eigenvektoren von A = (4 1; 2 3)
$\lambda_1 = 2$: $A - 2E = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Beide Zeilen sagen $2v_1 + v_2 = 0$. Mit $v_1 = 1$ folgt $v_2 = -2$: $\vec v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.
$\lambda_2 = 5$: $A - 5E = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$, also $-v_1 + v_2 = 0$: $\vec v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
Probe: $A \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ ✓
Beispiel: 3×3-Dreiecksmatrix
$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$: Die Determinante von $A - \lambda E$ ist das Produkt der Diagonale, $(2 - \lambda)(3 - \lambda)(1 - \lambda)$. Die Eigenwerte sind $1$, $2$ und $3$ – ohne Rechnung abzulesen.
Diagonalisierbarkeit
Hat eine $n \times n$-Matrix $n$ linear unabhängige Eigenvektoren, ist sie diagonalisierbar. Schreibt man die Eigenvektoren als Spalten in eine Matrix $S$ und die Eigenwerte in die Diagonalmatrix $D$, gilt
Das ist praktisch: Potenzen werden einfach, denn $A^k = S\,D^k\,S^{-1}$ und $D^k$ enthält nur die Potenzen der Eigenwerte.
- Verschiedene Eigenwerte (n Stück) → immer diagonalisierbar.
- Mehrfache Eigenwerte → diagonalisierbar nur, wenn der Eigenraum genauso viele Dimensionen hat, wie der Eigenwert Nullstelle ist. Gegenbeispiel: $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ hat den doppelten Eigenwert 2, aber nur die Eigenvektoren $t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.
- Symmetrische Matrizen ($A = A^T$) haben nur reelle Eigenwerte und sind immer diagonalisierbar.
- Komplexe Eigenwerte: Die Drehmatrix $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ hat $\lambda^2 + 1 = 0$, also $\lambda = \pm i$ (siehe komplexe Zahlen). Kein reeller Vektor behält bei einer Drehung um 90° seine Richtung.
Typische Fehler
- $\lambda$ von allen Einträgen abziehen – es gehört nur auf die Diagonale: $A - \lambda E$.
- Den Nullvektor als Eigenvektor angeben. Eigenvektoren sind nie $\vec 0$.
- Beim Gauß-Verfahren eine „eindeutige Lösung“ erwarten: $(A - \lambda E)\vec v = \vec 0$ hat immer unendlich viele Lösungen. Kommt nur $\vec 0$ heraus, ist $\lambda$ falsch.
- Vorzeichenfehler bei $(a - \lambda)(d - \lambda) - bc$ – mit Spur und Determinante kontrollieren.
- Bei mehrfachen Eigenwerten automatisch „diagonalisierbar“ annehmen.
Online üben
Stufe 1: 2×2: Eigenwerte
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Aufgabe 1
\(A = \begin{pmatrix}7 & -8 \\ 4 & -5\end{pmatrix}\)\(\lambda_1 = -1,\ \lambda_2 = 3\)
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Aufgabe 2
\(A = \begin{pmatrix}-10 & 9 \\ -12 & 11\end{pmatrix}\)\(\lambda_1 = -1,\ \lambda_2 = 2\)
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Aufgabe 3
\(A = \begin{pmatrix}-3 & -6 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)\(\lambda_1 = -3,\ \lambda_2 = 0\)
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Aufgabe 4
\(A = \begin{pmatrix}4 & -1 \\ 6 & -1\end{pmatrix}\)\(\lambda_1 = 1,\ \lambda_2 = 2\)
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Aufgabe 5
\(A = \begin{pmatrix}6 & -4 \\ 0 & 4\end{pmatrix}\)\(\lambda_1 = 4,\ \lambda_2 = 6\)
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Aufgabe 6
\(A = \begin{pmatrix}3 & 12 \\ 0 & -3\end{pmatrix}\)\(\lambda_1 = -3,\ \lambda_2 = 3\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Eigenwerte und Eigenvektoren
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Eigene Matrizen? Der Eigenwert-Rechner berechnet charakteristisches Polynom, Eigenwerte und Eigenvektoren mit Rechenweg. Grundlagen zu Matrizen, Determinanten und Inversen findest Du unter Matrizen und im Matrizenrechner.
Weiterlesen: Eigenwertproblem, Charakteristisches Polynom bei Wikipedia