Rentenrechnung
In der Mathematik ist eine Rente jede Folge von gleich hohen Zahlungen in festen Abständen – egal ob Du monatlich in einen Sparplan einzahlst oder Dir von einem Guthaben jedes Jahr einen festen Betrag auszahlen lässt. Die Rentenrechnung verbindet solche Zahlungen mit dem Zinseszins.
Die Beispiele sind bewusst vereinfacht: fester Zinssatz, keine Steuern, Gebühren oder Inflation. Sie erklären die Mathematik und sind keine Finanzberatung.
Nachschüssig oder vorschüssig?
- nachschüssig: Die Zahlung erfolgt am Ende jeder Periode (z. B. am 31. Dezember). Die erste Zahlung bekommt im ersten Jahr noch keine Zinsen.
- vorschüssig: Die Zahlung erfolgt am Anfang jeder Periode (z. B. am 1. Januar). Jede Zahlung wird eine Periode länger verzinst.
Schritt für Schritt: ein Sparplan
Beispiel: 1.200 € am Ende jedes Jahres, 3 % Zinsen, 3 Jahre
| Jahr | Kapital am Anfang | Einzahlung | Zinsen | Kapital am Ende |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,00 € | 1.200,00 € | 0,00 € | 1.200,00 € |
| 2 | 1.200,00 € | 1.200,00 € | 36,00 € | 2.436,00 € |
| 3 | 2.436,00 € | 1.200,00 € | 73,08 € | 3.709,08 € |
Am Ende sind 3.709,08 € auf dem Konto. Eingezahlt hast Du 3.600 €, der Rest sind Zinsen.
Statt Jahr für Jahr zu rechnen, kannst Du jede Einzahlung einzeln bis zum Ende verzinsen: Die erste Rate liegt 2 Jahre, die zweite 1 Jahr, die letzte gar nicht.
Die Klammer ist eine geometrische Summe (siehe Folgen und Reihen). Für $n$ Raten gilt $1 + q + q^2 + \ldots + q^{n-1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}$ – daraus entsteht die Rentenformel.
Rentenendwert
Merke: Rentenendwert
$r$: Rate pro Periode, $n$: Anzahl der Raten, $q = 1 + \frac{p}{100}$: Zinsfaktor, $R_n$: Kapital direkt nach der letzten Periode.
Beispiel: vorschüssig
Zahlst Du die 1.200 € jeweils am Anfang des Jahres ein, wird jede Rate ein Jahr länger verzinst:
$R_3 = 1.200 \cdot 1{,}03 \cdot \frac{1{,}03^3 - 1}{0{,}03} \approx 3.820{,}35\,\text{€}$
Hast Du am Anfang schon ein Startkapital $K_0$, wird es zusätzlich mit dem Zinseszins verzinst: $K_n = K_0 \cdot q^n + R_n$.
Wie stark wirkt der Zinseszins?
Das Diagramm zeigt einen Sparplan mit 1.200 € pro Jahr zu 5 % (nachschüssig). Nach 30 Jahren hast Du 36.000 € eingezahlt, auf dem Konto sind aber 79.726,62 € – mehr als die Hälfte davon sind Zinsen.
eingezahltZinsen und Zinseszinsen
Sparrate für ein Sparziel
Stellst Du die Formel für den Rentenendwert nach $r$ um, erhältst Du die nötige Rate:
Beispiel
Du möchtest in 15 Jahren 50.000 € haben, der Zinssatz ist 4 %: $r = 50.000 \cdot \frac{0{,}04}{1{,}04^{15} - 1} \approx 2.497{,}06\,\text{€}$ pro Jahr.
Rentenbarwert
Der Barwert beantwortet die Frage: Wie viel Geld müsste man heute anlegen, um daraus alle Raten bezahlen zu können? Man zinst dafür den Rentenendwert um $n$ Jahre ab:
Merke: Rentenbarwert
Beispiel
Eine Zusatzrente von 6.000 € soll 20 Jahre lang am Ende jedes Jahres gezahlt werden, der Zinssatz ist 3 %. Dafür sind heute nötig:
$R_0 = 6.000 \cdot \frac{1{,}03^{20} - 1}{1{,}03^{20} \cdot 0{,}03} \approx 89.264{,}85\,\text{€}$
Das ist deutlich weniger als die ausgezahlten 120.000 €, weil das restliche Geld in der Zwischenzeit Zinsen bringt.
Entnahmeplan: Wie lange reicht das Geld?
Beim Entnahmeplan wird ein Kapital $K_0$ verzinst, und gleichzeitig hebst Du regelmäßig den Betrag $r$ ab. Nach $n$ Jahren ist noch übrig (nachschüssig):
Setzt Du $K_n = 0$ und löst mit dem Logarithmus nach $n$ auf, erhältst Du die Laufzeit:
Beispiel
100.000 € zu 3 %, am Ende jedes Jahres werden 8.000 € entnommen. Die Zinsen im ersten Jahr betragen $K_0 \cdot i = 3.000\,\text{€}$.
$n = \frac{\ln\left(\frac{8.000}{8.000 - 3.000}\right)}{\ln 1{,}03} = \frac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}03} \approx 15{,}9$
Das Geld reicht also für 15 volle Entnahmen. Nach 15 Jahren sind noch 7.005,43 € übrig, im 16. Jahr gibt es eine letzte Teilzahlung von 7.215,59 €.
Soll das Geld genau $n$ Jahre reichen, kannst Du umgekehrt die mögliche Entnahme berechnen: $r = K_0 \cdot q^n \cdot \frac{q - 1}{q^n - 1}$. Bei 100.000 €, 3 % und 20 Jahren sind das 6.721,57 € pro Jahr.
Tipp: die ewige Rente
Hebst Du höchstens die Zinsen ab, also $r \le K_0 \cdot i$, wird das Kapital nie kleiner. Bei 100.000 € und 3 % kannst Du „ewig“ 3.000 € pro Jahr entnehmen. Der Barwert einer ewigen nachschüssigen Rente ist deshalb $R_0 = \frac{r}{i}$.
Monatliche Raten
Bei monatlichen Zahlungen rechnet man meist mit dem Monatszins $i = \frac{p}{12 \cdot 100}$ und zählt die Monate. Ein Sparplan mit 100 € am Ende jedes Monats bei 3 % p. a. über 10 Jahre:
Banken rechnen je nach Vertrag auch anders (z. B. mit unterjährigen einfachen Zinsen und Zinsgutschrift am Jahresende). Die Ergebnisse weichen dann um einige Euro ab.
Alle Formeln auf einen Blick
| nachschüssig | vorschüssig | |
|---|---|---|
| Rentenendwert | $R_n = r \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ | $R_n = r \cdot q \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ |
| Rentenbarwert | $R_0 = r \cdot \frac{q^n - 1}{q^n (q - 1)}$ | $R_0 = r \cdot \frac{q^n - 1}{q^{n-1} (q - 1)}$ |
| Rate aus Endwert | $r = R_n \cdot \frac{q - 1}{q^n - 1}$ | $r = \frac{R_n}{q} \cdot \frac{q - 1}{q^n - 1}$ |
| Kapital nach $n$ Entnahmen | $K_n = K_0 q^n - r \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ | $K_n = K_0 q^n - r q \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ |
Typische Fehler
- Im Nenner steht $q - 1$, also z. B. $0{,}03$ – nicht $3$ und nicht $q$.
- Vorschüssig und nachschüssig verwechselt: Bei vorschüssigen Raten kommt ein zusätzlicher Faktor $q$ dazu.
- Bei Monatsraten den Jahreszins genommen oder $n$ in Jahren statt in Monaten gezählt.
- Startkapital vergessen: Es wird mit $K_0 \cdot q^n$ verzinst und zum Rentenendwert addiert.
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Für diese Aufgaben brauchst Du einen Taschenrechner. Runde Geldbeträge auf Cent.
Stufe 2: Rate, Barwert, Startkapital
-
Aufgabe 1
\(r = 4.400\,\text{€},\ p = 3\,\%,\ n = 23,\ \text{vorsch.: Barwert } R_0\)\(R_0 =\)€\(R_0 = \frac{4.400 \cdot 1{,}03 \cdot \frac{1{,}03^{23} - 1}{1{,}03 - 1}}{1{,}03^{23}} \approx 74.522{,}43\,\text{€}\)
-
Aufgabe 2
\(\text{Ziel } 7.000\,\text{€},\ p = 3{,}75\,\%,\ n = 5,\ \text{vorsch.: Rate } r\)\(r =\)€\(r = \frac{7.000}{1{,}0375 \cdot \frac{1{,}0375^{5} - 1}{1{,}0375 - 1}} \approx 1.251{,}92\,\text{€}\)
-
Aufgabe 3
\(K_0 = 22.000\,\text{€},\ r = 800\,\text{€},\ p = 5\,\%,\ n = 8,\ \text{vorsch.: } K_{8}\)\(K_{8} =\)€\(K_{8} = 22.000 \cdot 1{,}05^{8} + 800 \cdot 1{,}05 \cdot \frac{1{,}05^{8} - 1}{1{,}05 - 1} \approx 40.525{,}27\,\text{€}\)
-
Aufgabe 4
\(\text{Ziel } 68.000\,\text{€},\ p = 1{,}25\,\%,\ n = 3,\ \text{vorsch.: Rate } r\)\(r =\)€\(r = \frac{68.000}{1{,}0125 \cdot \frac{1{,}0125^{3} - 1}{1{,}0125 - 1}} \approx 22.109{,}31\,\text{€}\)
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Weiterlesen: Rentenrechnung bei Wikipedia