Tilgung und Tilgungsplan
Wer einen Kredit aufnimmt, zahlt ihn in Raten zurück. Jede Rate besteht aus zwei Teilen: den Zinsen für die noch offene Schuld und der Tilgung, die die Schuld verringert. Ein Tilgungsplan zeigt Rate für Rate, wie sich beides entwickelt.
Die Beispiele sind vereinfacht: fester Zinssatz, keine Gebühren und keine Sondertilgungen. Sie erklären die Mathematik und ersetzen kein Kreditangebot.
Die Grundregel
Merke
Für jede Periode (Jahr oder Monat) gilt:
Dabei ist $i = \frac{p}{100}$ der Zinssatz pro Periode. Die Zinsen werden immer nur auf die noch offene Schuld berechnet.
Ratentilgung: gleiche Tilgung, sinkende Raten
Bei der Ratentilgung wird jedes Jahr derselbe Betrag $T = \frac{S}{n}$ getilgt. Da die Restschuld jedes Jahr um denselben Betrag abnimmt, fallen auch die Zinsen – die Raten werden von Jahr zu Jahr kleiner.
Beispiel: 100.000 €, 4 % Zinsen, 5 Jahre
Tilgung pro Jahr: $T = \frac{100.000\,\text{€}}{5} = 20.000\,\text{€}$. Zinsen im ersten Jahr: $100.000\,\text{€} \cdot 0{,}04 = 4.000\,\text{€}$.
| Jahr | Restschuld am Anfang | Zinsen | Tilgung | Rate | Restschuld am Ende |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 100.000,00 € | 4.000,00 € | 20.000,00 € | 24.000,00 € | 80.000,00 € |
| 2 | 80.000,00 € | 3.200,00 € | 20.000,00 € | 23.200,00 € | 60.000,00 € |
| 3 | 60.000,00 € | 2.400,00 € | 20.000,00 € | 22.400,00 € | 40.000,00 € |
| 4 | 40.000,00 € | 1.600,00 € | 20.000,00 € | 21.600,00 € | 20.000,00 € |
| 5 | 20.000,00 € | 800,00 € | 20.000,00 € | 20.800,00 € | 0,00 € |
| Summe | 12.000,00 € | 100.000,00 € | 112.000,00 € |
Insgesamt zahlst Du 12.000,00 € Zinsen. Die erste Rate ist mit 24.000,00 € die höchste.
Tipp: Zinsen der Ratentilgung ohne Tabelle
Die Zinsen sinken jedes Jahr um denselben Betrag $T \cdot i$. Ihre Summe ist deshalb $S \cdot i \cdot \frac{n + 1}{2}$, hier $100.000 \cdot 0{,}04 \cdot \frac{6}{2} = 12.000\,\text{€}$.
Annuitätendarlehen: gleiche Raten
Beim Annuitätendarlehen bleibt die Rate – die Annuität $A$ – immer gleich. Anfangs geht der größte Teil davon für Zinsen drauf. Mit jeder Zahlung schrumpft die Restschuld, es fallen weniger Zinsen an – und weil die Rate gleich bleibt, fließt Jahr für Jahr ein größerer Teil in die Tilgung.
Merke: Annuitätenformel
$S$: Darlehensbetrag, $n$: Anzahl der Raten. Der Bruch heißt Annuitätenfaktor.
Beispiel: 100.000 €, 4 % Zinsen, 5 Jahre
$A = 100.000 \cdot \frac{1{,}04^5 \cdot 0{,}04}{1{,}04^5 - 1} \approx 22.462{,}71\,\text{€}$ pro Jahr.
| Jahr | Restschuld am Anfang | Zinsen | Tilgung | Rate | Restschuld am Ende |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 100.000,00 € | 4.000,00 € | 18.462,71 € | 22.462,71 € | 81.537,29 € |
| 2 | 81.537,29 € | 3.261,49 € | 19.201,22 € | 22.462,71 € | 62.336,07 € |
| 3 | 62.336,07 € | 2.493,44 € | 19.969,27 € | 22.462,71 € | 42.366,80 € |
| 4 | 42.366,80 € | 1.694,67 € | 20.768,04 € | 22.462,71 € | 21.598,76 € |
| 5 | 21.598,76 € | 863,95 € | 21.598,76 € | 22.462,71 € | 0,00 € |
| Summe | 12.313,55 € | 100.000,00 € | 112.313,55 € |
Die Annuität wird wie bei einer Bank auf Cent gerundet, ebenso die Zinsen jedes Jahres. Die kleinen Rundungsdifferenzen werden mit der letzten Rate ausgeglichen – in diesem Beispiel geht es zufällig genau auf. Bei 20 Jahren Laufzeit (siehe unten) ist die letzte Rate zum Beispiel 7.358,00 € statt 7.358,18 €.
Woher kommt die Formel? Die Bank verlangt, dass die verzinsten Raten am Ende genau der verzinsten Schuld entsprechen: $S \cdot q^n = A \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$. Auf der rechten Seite steht der Rentenendwert aus der Rentenrechnung. Nach $A$ aufgelöst ergibt sich die Annuitätenformel.
Beide Verfahren im Vergleich
Die Diagramme zeigen ein Darlehen über 100.000 € zu 4 % mit 20 Jahren Laufzeit. Links die Annuität von 7.358,18 € pro Jahr, rechts die Ratentilgung mit 5.000 € Tilgung pro Jahr.
Annuitätendarlehen
TilgungZinsen
Ratentilgung
TilgungZinsen
| Annuitätendarlehen | Ratentilgung | |
|---|---|---|
| Rate | immer gleich | sinkt jedes Jahr |
| Tilgung | steigt | immer gleich |
| Belastung am Anfang | niedriger | höher |
| Zinsen insgesamt (Beispiel 20 Jahre) | 47.163,42 € | 42.000,00 € |
| typisch für | Baufinanzierung, Ratenkredit | Firmenkredite, Förderdarlehen |
Bei der Ratentilgung zahlst Du insgesamt weniger Zinsen, weil am Anfang schneller getilgt wird. Dafür sind die ersten Raten deutlich höher.
Baufinanzierung: Rate aus Zins und anfänglicher Tilgung
Bei Immobilienkrediten wird oft keine Laufzeit vereinbart, sondern eine anfängliche Tilgung $t$ in Prozent. Die Jahresrate ist dann $A = S \cdot \frac{p + t}{100}$, die Monatsrate ein Zwölftel davon.
Beispiel: 300.000 €, 3,5 % Zinsen, 2 % anfängliche Tilgung, monatliche Raten
Monatsrate: $A = 300.000\,\text{€} \cdot \frac{3{,}5 + 2}{100} : 12 = 1.375\,\text{€}$. Im ersten Monat sind davon $300.000\,\text{€} \cdot \frac{0{,}035}{12} = 875\,\text{€}$ Zinsen und 500 € Tilgung.
Nach 10 Jahren (120 Raten) beträgt die Restschuld noch 228.283,70 € – nach einem Drittel der Zeit ist also erst etwa ein Viertel getilgt. Bleibt der Zins gleich, ist der Kredit nach 348 Raten abbezahlt, das sind etwa 29 Jahre.
Die Restschuld nach $k$ Raten kannst Du auch direkt berechnen (ohne Rundung je Monat):
Und mit dem Logarithmus erhältst Du aus $R_n = 0$ die Laufzeit:
Typische Fehler
- Die Zinsen jedes Jahr vom ursprünglichen Darlehensbetrag berechnen – richtig ist die aktuelle Restschuld.
- Rate und Tilgung verwechseln: Die Tilgung ist nur der Teil der Rate, der nach Abzug der Zinsen übrig bleibt.
- Anfängliche Tilgung mit der Laufzeit verwechseln: 2 % Tilgung heißt nicht 50 Jahre – durch die sinkenden Zinsen geht es deutlich schneller.
- Ist die Rate kleiner als die Zinsen, wächst die Schuld – der Kredit wird nie zurückgezahlt.
- Bei Monatsraten den Jahreszins statt $\frac{p}{12}$ % pro Monat einsetzen.
Online üben
Für diese Aufgaben brauchst Du einen Taschenrechner. Runde Geldbeträge auf Cent.
Stufe 2: Restschuld, anfängliche Tilgung, Zinssumme
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Aufgabe 1
\(\text{Ratentilgung: } S = 180.000\,\text{€},\ p = 2{,}75\,\%,\ n = 22:\ \text{Zinsen insgesamt}\)\(Z =\)€\(Z = 180.000 \cdot 0{,}0275 \cdot \frac{23}{2} = 56.925{,}00\,\text{€}\)
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Aufgabe 2
\(S = 400.000\,\text{€},\ p = 2{,}25\,\%,\ A = 23.300\,\text{€}:\ \text{Restschuld nach 12 Jahren}\)\(R_{12} =\)€\(R_{12} = 400.000 \cdot 1{,}0225^{12} - 23.300 \cdot \frac{1{,}0225^{12} - 1}{1{,}0225 - 1} \approx 205.488{,}23\,\text{€}\)
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Aufgabe 3
\(\text{Ratentilgung: } S = 60.000\,\text{€},\ p = 6\,\%,\ n = 8:\ \text{Zinsen insgesamt}\)\(Z =\)€\(Z = 60.000 \cdot 0{,}06 \cdot \frac{9}{2} = 16.200{,}00\,\text{€}\)
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Aufgabe 4
\(S = 15.000\,\text{€},\ p = 6\,\%,\ A = 2.500\,\text{€}:\ \text{Restschuld nach 6 Jahren}\)\(R_{6} =\)€\(R_{6} = 15.000 \cdot 1{,}06^{6} - 2.500 \cdot \frac{1{,}06^{6} - 1}{1{,}06 - 1} \approx 3.839{,}49\,\text{€}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Tilgung – Annuitätendarlehen und Ratentilgung
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–13.
Mit dem Tilgungsplan-Rechner erstellst Du den vollständigen Plan für Deine eigenen Zahlen – jährlich oder monatlich, mit Restschuld nach der Zinsbindung.
Weiterlesen: Annuitätendarlehen, Tilgungsplan bei Wikipedia