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Kegelstumpf, Pyramidenstumpf und zusammengesetzte Körper

Schneidest Du von einem Kegel oder einer Pyramide parallel zur Grundfläche die Spitze ab, bleibt ein Stumpf übrig – wie ein Eimer, ein Blumentopf oder ein Lampenschirm. Hier lernst Du die Formeln für Volumen und Oberfläche und wie Du Körper berechnest, die aus mehreren Teilen bestehen oder ausgehöhlt sind. Die Grundkörper wiederholt die Seite Körper.

Kegelstumpf

Ein Kegelstumpf hat zwei parallele Kreisflächen: die große Grundfläche mit Radius $R$ und die kleine Deckfläche mit Radius $r$. Ihr Abstand ist die Höhe $h$. Die schräge Seitenlinie heißt Mantellinie $s$.

Formeln für den Kegelstumpf

\[V = \frac{\pi \cdot h}{3}\left(R^2 + R \cdot r + r^2\right)\]

\[s = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}, \qquad M = \pi \cdot s \cdot (R + r), \qquad O = \pi R^2 + \pi r^2 + M\]

Woher kommt die Volumenformel? Der Stumpf ist ein großer Kegel, von dem ein kleiner Kegel abgeschnitten wurde. Die Höhe $H$ des großen Kegels bekommst Du mit dem Strahlensatz: $\frac{H}{R} = \frac{H - h}{r}$, also $H = \frac{h \cdot R}{R - r}$. Rechnest Du $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi r^2 (H - h)$ aus und vereinfachst, entsteht genau die Formel oben. Die Mantellinie liefert der Satz des Pythagoras im Achsenschnitt: Die Katheten sind $h$ und $R - r$.

Beispiel: Eimer mit R = 15 cm, r = 10 cm, h = 12 cm

Volumen: $V = \frac{\pi \cdot 12}{3} \cdot (225 + 150 + 100) = 4 \cdot 475\,\pi = 1900\,\pi \approx 5969\,\text{cm}^3$, also knapp 6 Liter.
Mantellinie: $s = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13\,\text{cm}$.
Mantel: $M = \pi \cdot 13 \cdot 25 = 325\,\pi \approx 1021{,}0\,\text{cm}^2$.
Ein Eimer hat keinen Deckel: Blech $= M + \pi r^2 = 325\,\pi + 100\,\pi = 425\,\pi \approx 1335{,}2\,\text{cm}^2$ (Boden ist hier der kleine Kreis).

Pyramidenstumpf

Ein Pyramidenstumpf hat eine Grundfläche $G$ und eine kleinere, dazu ähnliche Deckfläche $D$. Für jede Grundfläche gilt:

\[V = \frac{h}{3}\left(G + \sqrt{G \cdot D} + D\right)\]

Beim quadratischen Pyramidenstumpf mit Grundkante $a$ und Deckkante $b$ ist $G = a^2$, $D = b^2$ und $\sqrt{G \cdot D} = a \cdot b$. Die Seitenflächen sind vier gleiche Trapeze mit der Höhe $h_s$:

Formeln für den quadratischen Pyramidenstumpf

\[V = \frac{h}{3}\left(a^2 + a \cdot b + b^2\right), \qquad h_s = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2}\]

\[M = 4 \cdot \frac{a + b}{2} \cdot h_s = 2\,(a + b)\,h_s, \qquad O = a^2 + b^2 + M\]

Beispiel: a = 10 cm, b = 4 cm, h = 4 cm

$V = \frac{4}{3} \cdot (100 + 40 + 16) = \frac{4}{3} \cdot 156 = 208\,\text{cm}^3$
$h_s = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\,\text{cm}$ (die halbe Differenz der Kanten ist 3 cm)
$M = 2 \cdot (10 + 4) \cdot 5 = 140\,\text{cm}^2$, $O = 100 + 16 + 140 = 256\,\text{cm}^2$

Selbst rechnen: Der Stumpf-Rechner berechnet Volumen, Mantellinie, Mantel und Oberfläche von Kegelstumpf und Pyramidenstumpf – exakt mit π und Wurzeln und mit Rechenweg. Für Kegel, Pyramide, Zylinder und Kugel nimm den Körperrechner.

Zusammengesetzte und ausgehöhlte Körper

Viele Gegenstände bestehen aus mehreren Grundkörpern: Ein Bleistift ist ein Zylinder mit Kegelspitze, ein Haus ein Quader mit Dachprisma oder Dachpyramide, eine Eistüte ein Kegel mit Halbkugel. Andere sind ausgehöhlt: ein Rohr, ein Werkstück mit Bohrung, ein Blumentopf.

So gehst Du vor

Zerlegen: Welche Grundkörper stecken darin? Skizze machen und Maße eintragen.
Fehlende Maße bestimmen – oft mit Pythagoras oder weil Teile gleich groß sind.
Volumen: zusammengesetzt – addieren; ausgehöhlt – Hohlraum abziehen.
Oberfläche: nur die Flächen zählen, die außen sichtbar sind. Klebeflächen zwischen den Teilen fallen weg, bei Bohrungen kommt die Innenwand dazu.

Beispiel 1: Bleistift – Zylinder r = 0,4 cm, h = 15 cm, Kegelspitze h = 1,5 cm

\[V = \pi \cdot 0{,}4^2 \cdot 15 + \frac{1}{3}\pi \cdot 0{,}4^2 \cdot 1{,}5 = 2{,}4\,\pi + 0{,}08\,\pi = 2{,}48\,\pi \approx 7{,}79\,\text{cm}^3\]

Beispiel 2: Quader 8 cm × 6 cm × 5 cm mit Bohrung (r = 1 cm) durch die Höhe

Quader: $V_Q = 8 \cdot 6 \cdot 5 = 240\,\text{cm}^3$
Bohrung (Zylinder): $V_Z = \pi \cdot 1^2 \cdot 5 = 5\pi \approx 15{,}71\,\text{cm}^3$
Werkstück: $V = 240 - 5\pi \approx 224{,}29\,\text{cm}^3$
Oberfläche: Quaderoberfläche $2\,(48 + 40 + 30) = 236$, minus die beiden Kreislöcher $2\pi$, plus die Innenwand $2\pi \cdot 1 \cdot 5 = 10\pi$: $O = 236 + 8\pi \approx 261{,}13\,\text{cm}^2$.

Kurz: Kreisring und Kreisbogen

Der Querschnitt eines Rohres ist ein Kreisring mit $A = \pi\,(R^2 - r^2)$ – mal der Länge ergibt das Volumen des Rohres: $V = \pi\,(R^2 - r^2) \cdot h$. Rollst Du den Mantel eines Kegelstumpfs ab, entsteht ein Stück eines Kreisrings, dessen Bögen so lang sind wie die Umfänge $2\pi R$ und $2\pi r$. Kreisbogen, Kreisausschnitt und Kreisring erklärt die Seite Kreis ausführlich.

Typische Fehler

Beim Kegelstumpf die Höhe $h$ und die Mantellinie $s$ verwechseln: $h$ steht senkrecht, $s$ ist schräg und immer länger.
Durchmesser statt Radius einsetzen.
Beim Pyramidenstumpf $h_s$ mit $(a - b)$ statt mit $\frac{a - b}{2}$ ausrechnen.
Bei zusammengesetzten Körpern die Klebeflächen mitzählen.
Zu früh runden – rechne mit π bis zum Schluss.

Online üben

Stufe 1: Volumen von Stümpfen. Stufe 2: Mantellinie, Mantel und Oberfläche. Stufe 3: zusammengesetzte und ausgehöhlte Körper. Runde Ergebnisse mit π auf zwei Nachkommastellen.

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 2: Mantellinie, Mantel und Oberfläche

Aufgabe 1
$\text{Kegelstumpf: } R = 32\text{ cm},\ r = 8\text{ cm},\ h = 7\text{ cm}.\ \text{Mantellinie } s = ?$

$s =$cm

$s = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25\text{ cm}$
Aufgabe 2
$\text{Kegelstumpf: } R = 32\text{ cm},\ r = 8\text{ cm},\ s = 25\text{ cm}.\ \text{Mantel } M = ?$

$M \approx$cm²

$M = \pi \cdot 25 \cdot (32 + 8) = 1000\pi \approx 3141{,}59\text{ cm}^2$
Aufgabe 3
$\text{Pyramidenstumpf (quadratisch): } a = 12\text{ cm},\ b = 4\text{ cm},\ h = 3\text{ cm}.\ O = ?$

$O =$cm²

$h_s = 5,\ O = 144 + 16 + 160 = 320\text{ cm}^2$
Aufgabe 4
$\text{Pyramidenstumpf (quadratisch): } a = 49\text{ cm},\ b = 7\text{ cm},\ h = 20\text{ cm}.\ O = ?$

$O =$cm²

$h_s = 29,\ O = 2401 + 49 + 3248 = 5698\text{ cm}^2$
Aufgabe 5
$\text{Kegelstumpf: } R = 9\text{ cm},\ r = 3\text{ cm},\ h = 8\text{ cm}.\ \text{Oberfläche } O = ?$

$O \approx$cm²

$s = 10,\ O = \pi \cdot (81 + 9 + 10 \cdot 12) = 210\pi \approx 659{,}73\text{ cm}^2$
Aufgabe 6
$\text{Pyramidenstumpf (quadratisch): } a = 24\text{ cm},\ b = 6\text{ cm},\ h_s = 15\text{ cm}.\ M = ?$

$M =$cm²

$M = 4 \cdot \frac{24 + 6}{2} \cdot 15 = 900\text{ cm}^2$

Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.

Arbeitsblatt: Kegelstumpf, Pyramidenstumpf und zusammengesetzte Körper

Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–10.

Weiterlesen: Kegelstumpf, Pyramidenstumpf bei Wikipedia

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