Marktgleichgewicht
Auf einem Markt treffen Käufer und Verkäufer aufeinander. Je billiger eine Ware ist, desto mehr wird nachgefragt – je teurer, desto mehr wird angeboten. Wo sich beide Wünsche treffen, liegt das Marktgleichgewicht. Mathematisch ist das der Schnittpunkt zweier Funktionen; die Vorteile von Käufern und Verkäufern sind Flächen, die man mit Integralen berechnet.
Nachfrage- und Angebotsfunktion
Merke
- Nachfragefunktion $p_N(x)$: Höchster Preis, zu dem Käufer die Menge $x$ abnehmen. Sie fällt.
- Angebotsfunktion $p_A(x)$: Niedrigster Preis, zu dem Anbieter die Menge $x$ liefern. Sie steigt.
- Höchstpreis $p_N(0)$, Sättigungsmenge: Nullstelle von $p_N$, Mindestangebotspreis $p_A(0)$.
- Marktgleichgewicht: $p_N(x_G) = p_A(x_G)$, Gleichgewichtspreis $p_G = p_N(x_G)$.
In der Volkswirtschaft trägt man – anders als sonst in der Mathematik üblich – die Menge waagerecht und den Preis senkrecht ein. So passt es auch zu den Preisfunktionen $p(x)$.
Beispiel: Fahrradhelme auf einem regionalen Markt
$p_N(x) = 60 - 0{,}4x$ und $p_A(x) = 12 + 0{,}2x$ ($x$ in Hundert Stück, $p$ in €).
Gleichsetzen: $60 - 0{,}4x = 12 + 0{,}2x \Rightarrow 48 = 0{,}6x \Rightarrow x_G = 80$, $p_G = 12 + 0{,}2 \cdot 80 = 28$. Im Gleichgewicht werden 8.000 Helme zu je 28 € verkauft.
Höchstpreis: $p_N(0) = 60$ €, Sättigungsmenge: $60 - 0{,}4x = 0 \Rightarrow x = 150$, Mindestangebotspreis: $p_A(0) = 12$ €.
Waagerecht: Menge (in Hundert Stück), senkrecht: Preis in €. Blau getönt: Konsumentenrente, orange getönt: Produzentenrente.
Konsumenten- und Produzentenrente
Im Gleichgewicht zahlen alle denselben Preis $p_G$ – auch die Käufer, die eigentlich mehr gezahlt hätten. Diese Ersparnis aller Käufer heißt Konsumentenrente. Ebenso hätten viele Anbieter auch billiger verkauft; ihr Zusatzerlös ist die Produzentenrente.
Merke
Bei Geraden sind die Flächen Dreiecke: $KR = \frac{1}{2} \cdot x_G \cdot (p_N(0) - p_G)$, $PR = \frac{1}{2} \cdot x_G \cdot (p_G - p_A(0))$.
Fortsetzung des Beispiels
$KR = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot (60 - 28) = 1.280$ und $PR = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot (28 - 12) = 640$ (in Hundert Euro). Zusammen ergeben sie die Gesamtwohlfahrt von 1.920.
Beispiel mit quadratischer Nachfrage
$p_N(x) = 90 - 0{,}1x^2$ und $p_A(x) = 10 + 2x$. Gleichsetzen und ordnen: $0{,}1x^2 + 2x - 80 = 0 \;|\; \cdot 10 \Rightarrow x^2 + 20x - 800 = 0$. Mit der pq-Formel: $x = -10 \pm \sqrt{100 + 800} = -10 \pm 30$, also $x_G = 20$ und $p_G = 50$.
Ebenso $PR = 1.000 - \int_0^{20} (10 + 2x)\,dx = 1.000 - 600 = 400$. Wie man Flächen mit Integralen berechnet, steht unter Integralrechnung.
Preiselastizität der Nachfrage
Wie stark reagieren Käufer auf eine Preisänderung? Die Preiselastizität $\varepsilon$ gibt näherungsweise an, um wie viel Prozent sich die nachgefragte Menge ändert, wenn der Preis um 1 % steigt. Mit der Nachfragefunktion $p_N$ und ihrer Ableitung gilt an der Stelle $x$:
- $|\varepsilon| > 1$: elastisch – die Menge reagiert stärker als der Preis (z. B. bei leicht ersetzbaren Waren).
- $|\varepsilon| < 1$: unelastisch – die Menge reagiert schwächer (z. B. bei lebenswichtigen Gütern).
- $|\varepsilon| = 1$: proportional elastisch; hier ist der Erlös $p \cdot x$ maximal.
Im Helm-Beispiel im Gleichgewicht: $\varepsilon(80) = \frac{28}{80 \cdot (-0{,}4)} = -0{,}875$ – die Nachfrage ist dort unelastisch. Das Vorzeichen ist negativ, weil die Menge bei steigendem Preis sinkt.
Staatliche Eingriffe: Höchst- und Mindestpreise
Legt der Staat einen Höchstpreis unter $p_G$ fest (z. B. Mietpreisbremse), wollen mehr Käufer kaufen, als angeboten wird: Es entsteht ein Nachfrageüberhang. Ein Mindestpreis über $p_G$ (z. B. Garantiepreise in der Landwirtschaft) führt umgekehrt zu einem Angebotsüberschuss. Die Mengen liest man ab, indem man den festgelegten Preis in beide Funktionen einsetzt bzw. sie nach $x$ auflöst.
Beispiel: Höchstpreis 20 € für Fahrradhelme
Nachgefragt: $60 - 0{,}4x = 20 \Rightarrow x = 100$. Angeboten: $12 + 0{,}2x = 20 \Rightarrow x = 40$. Es fehlen also 60 (Hundert Stück) – ein Nachfrageüberhang von 6.000 Helmen.
Typische Fehler
- Die Achsen vertauschen: Menge waagerecht, Preis senkrecht.
- Bei der Konsumentenrente das Integral über die Nachfragefunktion allein angeben – der bezahlte Betrag $p_G \cdot x_G$ muss abgezogen werden.
- Bei der Elastizität die Ableitung vergessen oder $x$ und $p$ vertauschen.
Online üben
Mehrere Werte trennst Du mit Semikolon, z. B. 80; 28.
Stufe 1: Gleichgewicht (linear)
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Aufgabe 1
\(p_N(x) = 430 - 1{,}5x,\) \(p_A(x) = 5 + 0{,}2x:\) Gleichgewicht\(x_G; p_G\)\(430 - 1{,}5x\) \(= 5 + 0{,}2x\) \(\Rightarrow x_G = 250,\) \(p_G = 55\)
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Aufgabe 2
\(p_N(x) = 72 - 0{,}5x,\) \(p_A(x) = 32 + 0{,}3x:\) Gleichgewicht\(x_G; p_G\)\(72 - 0{,}5x\) \(= 32 + 0{,}3x\) \(\Rightarrow x_G = 50,\) \(p_G = 47\)
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Aufgabe 3
\(p_N(x) = 171 - 0{,}5x,\) \(p_A(x) = 27 + 0{,}1x:\) Gleichgewicht\(x_G; p_G\)\(171 - 0{,}5x\) \(= 27 + 0{,}1x\) \(\Rightarrow x_G = 240,\) \(p_G = 51\)
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Aufgabe 4
\(p_N(x) = 753 - 2x:\) Höchstpreis und Sättigungsmenge\(p_{\max}; x_S\)\(p_N(0) = 753,\) \(x_S = \frac{753}{2} = 376{,}5\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Marktgleichgewicht und Renten
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.
Eigene Funktionen untersuchst Du mit dem Marktgleichgewicht-Rechner. Preis-Absatz-Funktionen im Monopol und Gewinnmaximierung findest Du unter Kosten, Erlös und Gewinn.
Weiterlesen: Marktgleichgewicht, Konsumentenrente, Preiselastizität der Nachfrage bei Wikipedia