Investitionsrechnung
Eine neue Maschine kostet heute Geld und bringt in den nächsten Jahren Überschüsse. Ob sich das lohnt, hängt davon ab, was das Geld sonst bringen würde – dem Kalkulationszins. Die Investitionsrechnung vergleicht deshalb Zahlungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten anfallen, indem sie alle auf heute umrechnet (abzinst).
Rechenbeispiele mit festem Zinssatz und ohne Steuern – sie erklären die Mathematik und sind keine Finanzberatung.
Zahlungsreihe und Abzinsen
Eine Investition wird durch ihre Zahlungsreihe beschrieben: $z_0$ ist die Zahlung heute (die Anschaffung, negativ), $z_1, z_2, \ldots, z_n$ sind die Überschüsse (Einzahlungen minus laufende Auszahlungen) am Ende der Jahre 1 bis $n$. Ein Restwert beim Verkauf am Ende zählt zum letzten Jahr dazu.
Eine Zahlung nach $t$ Jahren ist heute weniger wert: Man müsste heute nur $\frac{z_t}{q^t}$ zum Zinsfaktor $q = 1 + \frac{p}{100}$ anlegen, um nach $t$ Jahren $z_t$ zu haben. Das ist ihr Barwert – das Gegenstück zum Zinseszins.
Kapitalwertmethode
Merke
Ist der Kapitalwert $C_0 > 0$, verzinst sich die Investition besser als zum Kalkulationszins – sie lohnt sich. Bei $C_0 < 0$ wäre die Anlage zum Kalkulationszins besser. Von mehreren Investitionen ist die mit dem größten Kapitalwert am vorteilhaftesten.
Beispiel: Röstmaschine für 40.000 €
Eine kleine Kaffeerösterei rechnet mit Überschüssen von 12.000 €, 14.000 €, 15.000 € und 9.000 € in den nächsten vier Jahren (im letzten Jahr inklusive Verkaufserlös der Maschine). Kalkulationszins 7 %, also $q = 1{,}07$:
| Jahr t | Zahlung | Abzinsungsfaktor 1/1,07ᵗ | Barwert | kumuliert |
|---|---|---|---|---|
| 0 | −40.000,00 € | 1 | −40.000,00 € | −40.000,00 € |
| 1 | 12.000,00 € | 0,934579 | 11.214,95 € | −28.785,05 € |
| 2 | 14.000,00 € | 0,873439 | 12.228,14 € | −16.556,90 € |
| 3 | 15.000,00 € | 0,816298 | 12.244,47 € | −4.312,44 € |
| 4 | 9.000,00 € | 0,762895 | 6.866,06 € | 2.553,62 € |
Der Kapitalwert beträgt $C_0 \approx 2.553{,}62\,\text{€}$. Er ist positiv: Die Maschine bringt über die vier Jahre umgerechnet auf heute 2.553,62 € mehr, als wenn die 40.000 € zu 7 % angelegt worden wären.
Annuitätenmethode
Statt eines einzigen Betrags heute kann man den Kapitalwert auch als gleich hohen Überschuss pro Jahr ausdrücken. Dazu multipliziert man ihn mit dem Wiedergewinnungsfaktor – derselben Formel wie bei der Annuität eines Kredits (Tilgung):
Im Beispiel: $a = 2.553{,}62 \cdot \frac{1{,}07^4 \cdot 0{,}07}{1{,}07^4 - 1} \approx 753{,}90\,\text{€}$ pro Jahr. Die Annuitätenmethode ist praktisch, wenn Investitionen mit unterschiedlicher Laufzeit verglichen werden.
Interner Zinsfuß
Je höher der Kalkulationszins, desto kleiner der Kapitalwert. Der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert genau null wird, heißt interner Zinsfuß – er ist die „Rendite“ der Investition. Liegt er über dem Kalkulationszins, lohnt sich die Investition.
Kapitalwert der Röstmaschine (senkrecht, in €) in Abhängigkeit vom Kalkulationszins (waagerecht, in %).
Die Gleichung $C_0(i) = 0$ ist bei mehr als zwei Jahren meist nicht von Hand lösbar. Man probiert und interpoliert linear (Regula falsi):
Beispiel: interner Zinsfuß der Röstmaschine
Bei 9 % ist $C_0 \approx 751{,}27\,\text{€}$, bei 10 % ist $C_0 \approx -103{,}82\,\text{€}$. Der Vorzeichenwechsel zeigt: Die Nullstelle liegt dazwischen. Gerade durch beide Punkte:
Genauer gerechnet ist der interne Zinsfuß 9,88 % – also mehr als der Kalkulationszins von 7 %, passend zum positiven Kapitalwert.
Tipp: Bei zwei Jahren hilft die pq-Formel
Mit $x = \frac{1}{1 + i}$ wird $z_0 + z_1 x + z_2 x^2 = 0$ zu einer quadratischen Gleichung. Die positive Lösung $x$ liefert $i = \frac{1}{x} - 1$ (pq-Formel).
Achtung: mehrere Vorzeichenwechsel
Wechselt die Zahlungsreihe mehrmals das Vorzeichen (z. B. hohe Abrisskosten am Ende), kann es mehrere interne Zinsfüße geben – oder keinen. Dann ist der Kapitalwert die verlässliche Entscheidungsgrundlage. Beispiel: $-100;\ 230;\ -132$ hat die internen Zinsfüße 10 % und 20 %.
Amortisationsdauer
Wie lange dauert es, bis die Anschaffung wieder hereingeholt ist? Man summiert die Zahlungen Jahr für Jahr auf, bis die Summe nicht mehr negativ ist, und interpoliert innerhalb des Jahres.
- Statisch (Zahlungen einfach addieren): Im Beispiel nach etwa 2,93 Jahren.
- Dynamisch (Barwerte addieren, Spalte „kumuliert“): nach etwa 3,63 Jahren – später, weil spätere Zahlungen weniger wert sind.
Bei gleich hohen Rückflüssen $R$ gilt statisch $t = \frac{I}{R}$ und dynamisch $n = -\frac{\ln\left(1 - \frac{I \cdot i}{R}\right)}{\ln q}$ (mit $i = \frac{p}{100}$ und der Anschaffung $I$).
Statische Verfahren: Kosten- und Gewinnvergleich
Für eine schnelle Entscheidung zwischen zwei Anlagen rechnet man oft mit den durchschnittlichen Kosten eines Jahres:
Beispiel: zwei Abfüllanlagen
Anlage A kostet 60.000 € (6 Jahre, kein Restwert, 2.500 € sonstige Fixkosten, 1,10 € pro Flasche), Anlage B kostet 95.000 € (8 Jahre, Restwert 5.000 €, 1.800 € Fixkosten, 0,80 € pro Flasche). Kalkulatorischer Zins 6 %, 20.000 Flaschen pro Jahr:
$K_A \approx 36.300{,}00\,\text{€}$, $K_B \approx 32.050{,}00\,\text{€}$ pro Jahr. Die kritische Menge, bei der beide gleich teuer sind, liegt bei etwa 5833 Flaschen: Darunter ist die billigere Anlage A günstiger, darüber lohnt sich B mit den niedrigeren Stückkosten.
Bei einem Verkaufspreis von 2,40 € pro Flasche ergibt der Gewinnvergleich 11.700,00 € (A) und 15.950,00 € (B) pro Jahr.
Statische Verfahren sind einfach, beachten aber nicht, wann Zahlungen anfallen. Für langfristige Entscheidungen sind Kapitalwert und interner Zinsfuß besser geeignet.
Online üben
Runde Geldbeträge auf Cent, Zinssätze und Jahre auf zwei Nachkommastellen.
Stufe 1: Kapitalwert
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Aufgabe 1
Zahlungen \(-36.000;\) \(10.900;\) \(8.400;\) \(8.900;\) \(9.000\,\text{€},\) \(p = 1{,}5\,\%:\) Kapitalwert\(C_0 =\)€\(C_0 = -36.000 + \frac{10.900}{1{,}015} + \frac{8.400}{1{,}015^{2}} + \frac{8.900}{1{,}015^{3}} + \frac{9.000}{1{,}015^{4}}\) \(\approx -116{,}65\,\text{€}\)
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Aufgabe 2
Zahlungen \(-13.000;\) \(6.600;\) \(4.700;\) \(5.200\,\text{€},\) \(p = 5\,\%:\) Kapitalwert\(C_0 =\)€\(C_0 = -13.000 + \frac{6.600}{1{,}05} + \frac{4.700}{1{,}05^{2}} + \frac{5.200}{1{,}05^{3}}\) \(\approx 2.040{,}71\,\text{€}\)
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Aufgabe 3
Zahlungen \(-97.000;\) \(50.500;\) \(36.200;\) \(45.800\,\text{€},\) \(p = 7\,\%:\) Kapitalwert\(C_0 =\)€\(C_0 = -97.000 + \frac{50.500}{1{,}07} + \frac{36.200}{1{,}07^{2}} + \frac{45.800}{1{,}07^{3}}\) \(\approx 19.201{,}19\,\text{€}\)
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Aufgabe 4
Zahlungen \(-120.000;\) \(37.800;\) \(40.800;\) \(31.300;\) \(37.100\,\text{€},\) \(p = 8\,\%:\) Kapitalwert\(C_0 =\)€\(C_0 = -120.000 + \frac{37.800}{1{,}08} + \frac{40.800}{1{,}08^{2}} + \frac{31.300}{1{,}08^{3}} + \frac{37.100}{1{,}08^{4}}\) \(\approx 2.095{,}98\,\text{€}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Investitionsrechnung – Kapitalwert und interner Zinsfuß
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.
Eigene Zahlungsreihen bewertest Du mit dem Investitionsrechner. Kosten- und Gewinnfunktionen eines Produkts untersucht der Gewinn-Rechner.
Weiterlesen: Kapitalwertmethode, Interne-Zinsfuß-Methode, Annuitätenmethode bei Wikipedia