Sigma-Regeln, Prognoseintervall und Konfidenzintervall
Wie viele Treffer sind bei einer Bernoulli-Kette „normal“? Und was verrät eine Umfrage über den wahren Anteil in der ganzen Bevölkerung? Die Sigma-Regeln beantworten beide Fragen ohne lange Tabellen – mit Erwartungswert und Standardabweichung.
Erwartungswert und Standardabweichung
Ist $X$ binomialverteilt mit $n$ Versuchen und der Trefferwahrscheinlichkeit $p$, dann gilt:
Der Erwartungswert $\mu$ ist die Trefferzahl, die man im Mittel erwartet. Die Standardabweichung $\sigma$ misst, wie stark die Trefferzahlen typischerweise um $\mu$ schwanken. Mehr dazu bei der Binomialverteilung.
Die Sigma-Regeln
Die Werte in der Nähe von $\mu$ sind am wahrscheinlichsten. Die Intervalle $[\mu - c\sigma;\ \mu + c\sigma]$ heißen σ-Umgebungen. Für sie gelten – ziemlich unabhängig von $n$ und $p$ – fast immer dieselben Wahrscheinlichkeiten:
| Umgebung | Wahrscheinlichkeit | Sicherheit | Umgebung | |
|---|---|---|---|---|
| $[\mu - \sigma;\ \mu + \sigma]$ | $\approx 68{,}3\,\%$ | $90\,\%$ | $[\mu - 1{,}64\sigma;\ \mu + 1{,}64\sigma]$ | |
| $[\mu - 2\sigma;\ \mu + 2\sigma]$ | $\approx 95{,}4\,\%$ | $95\,\%$ | $[\mu - 1{,}96\sigma;\ \mu + 1{,}96\sigma]$ | |
| $[\mu - 3\sigma;\ \mu + 3\sigma]$ | $\approx 99{,}7\,\%$ | $99\,\%$ | $[\mu - 2{,}58\sigma;\ \mu + 2{,}58\sigma]$ |
Laplace-Bedingung
Die Sigma-Regeln sind Näherungen. Sie sind gut brauchbar, wenn $\sigma > 3$ ist. Bei kleinerem $\sigma$ rechnest Du besser exakt mit der Binomialverteilung.
Beispiel: 100 Münzwürfe
$n = 100$, $p = 0{,}5$: $\mu = 50$, $\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = 5 > 3$. In der 1σ-Umgebung liegen die Trefferzahlen von 45 bis 55, in der 2σ-Umgebung die von 40 bis 60.
Exakt mit der Binomialverteilung: $P(45 \le X \le 55) \approx 72{,}9\,\%$ und $P(40 \le X \le 60) \approx 96{,}5\,\%$. Die Sigma-Regeln versprechen 68,3 % und 95,4 % – bei diskreten Werten mit Grenzen genau auf ganzen Zahlen liegt die echte Wahrscheinlichkeit meist etwas darüber.
Prognoseintervall: von der Gesamtheit auf die Stichprobe
Kennst Du $p$, kannst Du vorhersagen, in welchem Bereich die Trefferzahl einer Stichprobe mit großer Wahrscheinlichkeit liegen wird. Das 95-%-Prognoseintervall ist die 1,96σ-Umgebung:
Beispiel
Ein Viertel aller Schülerinnen und Schüler kommt mit dem Bus ($p = 0{,}25$). Wie viele Busfahrer erwartest Du unter $n = 600$ zufällig Befragten?
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 95 % sind zwischen 130 und 170 der Befragten Busfahrer (exakt: $P(130 \le X \le 170) \approx 94{,}7\,\%$). Für die Trefferzahl rundest Du die Grenzen nach innen auf ganze Zahlen.
Für die relative Häufigkeit $h = \frac{X}{n}$ teilst Du durch $n$:
Im Beispiel: $0{,}25 \pm 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}25 \cdot 0{,}75}{600}} \approx 0{,}25 \pm 0{,}035$, also zwischen 21,5 % und 28,5 %.
Liegt ein beobachtetes Ergebnis außerhalb des Prognoseintervalls, ist das ein Hinweis darauf, dass $p$ vielleicht doch nicht stimmt – genau diese Idee steckt im Hypothesentest.
Konfidenzintervall: von der Stichprobe auf die Gesamtheit
Meist ist es umgekehrt: Du kennst $p$ nicht, sondern nur das Ergebnis einer Stichprobe, zum Beispiel einer Umfrage. Das Konfidenzintervall (Vertrauensintervall) enthält alle Werte von $p$, die zu diesem Ergebnis passen.
Die einfache Näherung setzt die beobachtete relative Häufigkeit $h$ in die Formel ein:
Beispiel
Bei einer Umfrage unter $n = 400$ Jugendlichen sagen $140$, dass sie ein Instrument spielen: $h = \frac{140}{400} = 0{,}35$.
Mit 95 % Sicherheit liegt der Anteil aller Jugendlichen, die ein Instrument spielen, zwischen etwa 30,3 % und 39,7 %.
Genauer: die Ungleichung lösen
Ohne Näherung sucht man alle $p$, für die das beobachtete $h$ im Prognoseintervall liegt: $|h - p| \le 1{,}96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Quadrieren führt auf eine quadratische Ungleichung für $p$. Im Beispiel kommt $[\,0{,}305;\ 0{,}398\,]$ heraus – fast dasselbe. Bei großem $n$ unterscheiden sich beide Verfahren kaum.
Wie groß muss die Stichprobe sein?
Die halbe Länge des 95-%-Konfidenzintervalls ist $1{,}96\sqrt{\frac{h(1-h)}{n}}$. Weil $h(1-h)$ höchstens $0{,}25$ ist, gilt für einen Fehler von höchstens $\varepsilon$:
Deshalb befragen Umfrageinstitute oft gut 1000 Personen: Dann ist das Ergebnis auf etwa ±3 Prozentpunkte genau. Für die halbe Fehlergrenze braucht man die vierfache Stichprobe.
Prognose- oder Konfidenzintervall?
| Prognoseintervall | Konfidenzintervall | |
|---|---|---|
| bekannt | die Wahrscheinlichkeit $p$ | das Stichprobenergebnis $h$ |
| gesucht | Bereich für $X$ bzw. $h$ in der Stichprobe | Bereich für das unbekannte $p$ |
| Richtung | Gesamtheit → Stichprobe | Stichprobe → Gesamtheit |
| Formel (95 %) | $p \pm 1{,}96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ | $h \pm 1{,}96\sqrt{\frac{h(1-h)}{n}}$ (Näherung) |
Typische Fehler
- Die Sigma-Regeln verwenden, obwohl $\sigma \le 3$ ist.
- $\sigma = n \cdot p \cdot (1-p)$ ohne Wurzel rechnen – das ist die Varianz.
- Beim Prognoseintervall für die Trefferzahl nach außen runden: Die Grenzen werden nach innen auf ganze Zahlen gerundet.
- Prognose- und Konfidenzintervall verwechseln: Steht $p$ in der Aufgabe, ist es eine Prognose; steht ein Umfrageergebnis da, ein Konfidenzintervall.
Die Sigma-Regeln gelten auch für die Normalverteilung – dort sogar exakt für die Glockenkurve.
Online üben
Gib zwei Werte mit Semikolon ein, zum Beispiel 60; 6,48 für $\mu$; $\sigma$ oder 0,303; 0,397 für die Intervallgrenzen. Bei Ja-Nein-Fragen tippst Du „ja“ oder „nein“.
Stufe 1: μ, σ und Laplace-Bedingung
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Aufgabe 1
\(n = 80,\ p = 0{,}85:\quad \mu = ?,\ \ \sigma = ?\)\(\mu = 68;\ \ \sigma = \sqrt{10{,}2} \approx 3{,}19\)
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Aufgabe 2
\(n = 750,\ p = 0{,}15:\quad \mu = ?,\ \ \sigma = ?\)\(\mu = 112{,}5;\ \ \sigma = \sqrt{95{,}625} \approx 9{,}78\)
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Aufgabe 3
\(n = 1200,\ p = 0{,}8:\quad \mu = ?,\ \ \sigma = ?\)\(\mu = 960;\ \ \sigma = \sqrt{192} \approx 13{,}86\)
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Aufgabe 4
\(n = 1200,\ p = 0{,}1:\quad \mu = ?,\ \ \sigma = ?\)\(\mu = 120;\ \ \sigma = \sqrt{108} \approx 10{,}39\)
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Aufgabe 5
\(n = 400,\ p = 0{,}5:\quad \mu = ?,\ \ \sigma = ?\)\(\mu = 200;\ \ \sigma = \sqrt{100} = 10\)
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Aufgabe 6
\(n = 25,\) \(p = 0{,}45:\) Laplace-Bedingung \(\sigma > 3\) erfüllt?\(\sigma = \sqrt{6{,}1875} \approx 2{,}49 \leq 3:\ \text{nein}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Sigma-Regeln, Prognose- und Konfidenzintervall
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Weiter mit dem Hypothesentest, dem Hypothesentest mit der Normalverteilung oder rechne Wahrscheinlichkeiten exakt mit dem Binomialverteilung-Rechner.
Weiterlesen: Konfidenzintervall bei Wikipedia