Richtungsfeld einer Differentialgleichung
Eine Differentialgleichung der Form $y' = f(x, y)$ verrät in jedem Punkt $(x \mid y)$ die Steigung der Lösungskurve, die durch diesen Punkt geht. Zeichnet man diese Steigungen als kleine Striche in ein Koordinatensystem, entsteht das Richtungsfeld. Lösungskurven „schwimmen“ mit dem Feld – jede schmiegt sich an die Striche an.
Richtungsfeld zum Anklicken
Klicke in das Bild: Durch den angeklickten Punkt wird die Lösungskurve gezeichnet – mit dem genauen Runge-Kutta-Verfahren. Schalte „Euler zum Vergleich“ ein, um zu sehen, wie weit das einfache Euler-Verfahren mit der gewählten Schrittweite danebenliegt.
Die Gerade y = x − 1 ist selbst eine Lösung. Alle anderen Lösungen y = x − 1 + C·e^(−x) nähern sich ihr nach rechts an.
Schreibweise wie im Rechner: x^2, 2x, x*y, sin(x), e^x, sqrt(y), Dezimalzahlen mit Komma. Der Link zum DGL-Rechner übernimmt die Gleichung und den zuletzt gesetzten Startpunkt als Anfangswert.
Ein Richtungsfeld lesen
- Steigung ablesen: Im Punkt $(1 \mid 3)$ hat jede Lösung von $y' = x - y$ die Steigung $1 - 3 = -2$. Du musst die DGL dafür nicht lösen.
- Isoklinen: Linien, auf denen die Steigung gleich ist, also $f(x, y) = c$. Bei $y' = x - y$ sind das die Geraden $y = x - c$. Für $c = 0$ erhältst Du die Punkte mit waagerechten Strichen – dort haben Lösungen ihre Hoch- und Tiefpunkte.
- Gleichgewichtslösungen: Hängt $f$ nur von $y$ ab und ist $f(y^*) = 0$, dann ist $y = y^*$ eine konstante Lösung. Bei $y' = y\,(2 - y)$ sind das $y = 0$ und $y = 2$.
- Eindeutigkeit: Ist $f$ „gutartig“ (stetig differenzierbar), geht durch jeden Punkt genau eine Lösungskurve. Lösungskurven können sich dann nicht schneiden.
Wie die Kurven entstehen: Euler und Runge-Kutta
Aus dem Richtungsfeld lässt sich eine Näherungslösung Schritt für Schritt bauen: Vom Startpunkt $(x_0 \mid y_0)$ aus geht man ein kleines Stück $h$ nach rechts und folgt dabei der Steigung.
Euler-Verfahren
Einfach, aber ungenau: Die Steigung wird nur am Anfang jedes Schritts gemessen. Halbiert man $h$, halbiert sich der Fehler ungefähr (Verfahren 1. Ordnung).
Klassisches Runge-Kutta-Verfahren (RK4)
Vier Steigungen pro Schritt – am Anfang, zweimal in der Mitte und am Ende – werden gewichtet gemittelt. Halbiert man $h$, wird der Fehler etwa 16-mal kleiner (Verfahren 4. Ordnung).
Vergleich: y′ = y mit y(0) = 1 bis x = 1
Die exakte Lösung ist $y = e^x$, also $y(1) = e \approx 2{,}71828$. Mit der Schrittweite $h = 0{,}5$ (zwei Schritte):
| Verfahren | y(0,5) | y(1) | Fehler bei x = 1 |
|---|---|---|---|
| Euler | $1 + 0{,}5 \cdot 1 = 1{,}5$ | $1{,}5 + 0{,}5 \cdot 1{,}5 = 2{,}25$ | $0{,}468$ |
| RK4 | $1{,}648438$ | $2{,}717346$ | $0{,}00094$ |
Für den ersten RK4-Schritt: $k_1 = 1$, $k_2 = 1{,}25$, $k_3 = 1{,}3125$, $k_4 = 1{,}65625$ und damit $y_1 = 1 + \frac{0{,}5}{6} \cdot 7{,}78125 = 1{,}6484375$.
Im Bild oben rechnet die durchgezogene Kurve mit RK4 und sehr kleinen Schritten – sie ist praktisch exakt. Die gestrichelte Euler-Kurve verwendet Deine Schrittweite $h$. Probiere bei $y' = y \cdot (2 - y)$ einmal $h = 1$ und $h = 0{,}1$ aus.
Weiterrechnen
Das Richtungsfeld zeigt das Verhalten der Lösungen, aber keine Formel. Die exakte Lösung mit Rechenweg – etwa über Trennung der Variablen oder Variation der Konstanten – liefert der DGL-Rechner. Wie man Differentialgleichungen aufstellt und löst, erklärt die Seite Differentialgleichungen; Wachstumsmodelle wie $y' = k \cdot y\,(S - y)$ findest Du unter Wachstum und Zerfall. Ein verwandtes Näherungsverfahren für Nullstellen ist das Newton-Verfahren.
Weiterlesen: Richtungsfeld, Klassisches Runge-Kutta-Verfahren bei Wikipedia