Rechner für Funktionen mehrerer Variablen
Gib eine Funktion mit den Variablen $x$ und $y$ (oder $x$, $y$ und $z$) ein. Der Rechner bildet die partiellen Ableitungen, sucht kritische Punkte und entscheidet mit der Hesse-Matrix, ob dort ein Minimum, ein Maximum oder ein Sattelpunkt liegt. Mit einer Nebenbedingung löst er das Problem mit dem Lagrange-Verfahren. Bei zwei Variablen siehst Du zusätzlich das Höhenlinienbild.
So rechnet der Rechner
| Modus | Was passiert |
|---|---|
| Ableitungen | Alle partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung, Gradient und Hesse-Matrix; der Satz von Schwarz $f_{xy} = f_{yx}$ wird überprüft. Mit Punkt $P$: Funktionswert, Gradient und Tangentialebene in $P$, mit Richtung $\vec{v}$ auch die Richtungsableitung $\operatorname{grad} f(P) \cdot \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$. |
| Extrema | Das Gleichungssystem $\operatorname{grad} f = \vec{0}$ wird exakt gelöst; klappt das nicht (z. B. bei $\sin$ und $\cos$), sucht der Rechner die Lösungen numerisch. Für jeden kritischen Punkt wird die Hesse-Matrix ausgewertet: Bei zwei Variablen über $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$, bei drei Variablen über die Hauptminoren bzw. Eigenwerte. |
| Lagrange | Aus $L = f - \lambda \cdot g$ entsteht das System $\operatorname{grad} f = \lambda \operatorname{grad} g$, $g = 0$. Bei zwei Variablen entscheidet die geränderte Hesse-Matrix zwischen Maximum und Minimum; zusätzlich werden die Funktionswerte aller Lösungspunkte verglichen. |
Grenzen des Rechners
- Ist $D = 0$ (bzw. hat die Hesse-Matrix einen Eigenwert 0), entscheidet das Kriterium nicht. Der Rechner prüft dann die Funktionswerte in der Nähe – das ist ein Hinweis, kein Beweis.
- Bei periodischen Funktionen gibt es unendlich viele kritische Punkte; angezeigt werden die im Bildausschnitt gefundenen.
- Lagrange liefert nur Kandidaten. Ob ein Kandidat wirklich das größte oder kleinste Ergebnis liefert, hängt davon ab, ob die Nebenbedingung eine beschränkte Kurve (z. B. Kreis) beschreibt.
Die Erklärungen mit Beispielen und Übungen findest Du unter Partielle Ableitungen und Gradient sowie Extremwerte bei mehreren Variablen. Für Funktionen mit nur einer Variablen gibt es den Ableitungsrechner und die Kurvendiskussion.
Weiterlesen: Sattelpunkt bei Wikipedia
Passt dazu
ErklärungPartielle Ableitungen und Gradient – Funktionen mehrerer VariablenFunktionen f(x, y) und f(x, y, z) ableiten – partielle Ableitungen, Ableitungen 2. Ordnung und Satz von Schwarz, Gradient, Richtungsableitung, Tangentialebene und Höhenlinien zum Anklicken.ErklärungExtremwerte bei mehreren Variablen – Hesse-Matrix, Sattelpunkt, LagrangeKritische Punkte bestimmen und mit der Hesse-Matrix klassifizieren – Determinanten-Kriterium, Definitheit und Hauptminoren, der Fall D = 0 und Extrema unter Nebenbedingung mit Lagrange-Multiplikator.ÜbungenBrückenkurs Mathe – fit fürs Studium mit Mathe-Check und LernpfadMathe-Check mit 22 Aufgaben und ein Lernpfad in zehn Stationen von Bruchrechnung bis Integral – mit Häkchen für Deinen Fortschritt.ErklärungSummenzeichen und Produktzeichen – Regeln, Indexverschiebung, SummenformelnΣ und Π lesen und umformen – Rechenregeln, Indexverschiebung, Gaußsche Summenformel, geometrische Summe und Teleskopsumme.ErklärungMengen und Aussagenlogik – Schreibweisen, Intervalle, Junktoren, QuantorenMengen und Zahlenbereiche, Intervalle, Schnitt, Vereinigung und Komplement, Wahrheitstafeln, Implikation und Quantoren richtig verneinen.RechnerWahrheitstafel-Rechner – Wahrheitstabelle, Tautologie, DNF und KNFAussagenlogische Formeln mit ¬ ∧ ∨ → ↔ auswerten, Wahrheitstafel mit Teilformeln, Tautologie und Kontradiktion erkennen, DNF und KNF bilden und Äquivalenz prüfen.
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