Prismen und Zylinder: Netze und Schrägbilder
Ein Prisma hat zwei gleiche, parallele Vielecke als Grund- und Deckfläche; dazwischen liegen Rechtecke als Seitenflächen. Ein Zylinder ist das Gleiche mit zwei Kreisen – sein Mantel ist eine gebogene Fläche. Hier lernst Du, wie Du ihre Netze und Schrägbilder zeichnest und wie Du Oberfläche und Volumen berechnest. Würfel, Pyramide und Kegel findest Du unter Körper.
Netze von Prismen und Zylindern
Schneidest Du einen Körper an einigen Kanten auf und klappst ihn flach auseinander, entsteht sein Netz. Bei einem geraden Prisma bilden die Seitenflächen einen Streifen aus Rechtecken – den Mantel. Grund- und Deckfläche hängen oben und unten an einem der Rechtecke.
Netz des Zylinders
Der Mantel eines Zylinders ist abgerollt ein Rechteck. Seine eine Seite ist die Höhe $h$, die andere so lang wie der Umfang des Grundkreises: $u = 2\pi r$. Die beiden Kreise berühren das Rechteck an seinen langen Seiten.
Wie Du prüfst, ob ein Netz zu einem Würfel gehört, und welche Netze Pyramide und Kegel haben, zeigt die Seite Körpernetze und Ansichten.
Oberfläche und Volumen
Prisma (Grundfläche G, Umfang der Grundfläche u, Höhe h)
Mantel: $M = u \cdot h$ Oberfläche: $O = 2 \cdot G + M$ Volumen: $V = G \cdot h$
Zylinder (Radius r, Höhe h)
Mantel: $M = 2\pi r \cdot h$ Oberfläche: $O = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r\,(r + h)$ Volumen: $V = \pi r^2 \cdot h$
Die Höhe $h$ ist beim Prisma immer der Abstand von Grund- und Deckfläche – liegt das Prisma auf einer Seitenfläche, ist das die Länge, nicht die Höhe über dem Tisch.
Beispiel 1: Dreiecksprisma
Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 cm und 8 cm, die Hypotenuse ist 10 cm lang. Das Prisma ist 5 cm hoch.
$G = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\ \text{cm}^2$, $u = 6 + 8 + 10 = 24$ cm, $M = 24 \cdot 5 = 120\ \text{cm}^2$
$O = 2 \cdot 24 + 120 = 168\ \text{cm}^2$ und $V = 24 \cdot 5 = 120\ \text{cm}^3$.
Beispiel 2: Sechseckprisma
Ein regelmäßiges Sechseck mit der Seite $a = 2$ cm besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken: $G = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39\ \text{cm}^2$. Bei $h = 5$ cm ist $M = 6 \cdot 2 \cdot 5 = 60\ \text{cm}^2$.
$O \approx 2 \cdot 10{,}39 + 60 = 80{,}78\ \text{cm}^2$ und $V \approx 10{,}39 \cdot 5 \approx 51{,}96\ \text{cm}^3$.
Beispiel 3: Zylinder
Eine Dose hat den Radius $r = 3$ cm und die Höhe $h = 8$ cm. Der Mantel ist abgerollt ein Rechteck von $2\pi \cdot 3 \approx 18{,}85$ cm mal 8 cm.
$M = 2\pi \cdot 3 \cdot 8 = 48\pi \approx 150{,}80\ \text{cm}^2$, $O = 2\pi \cdot 9 + 48\pi = 66\pi \approx 207{,}35\ \text{cm}^2$
$V = \pi \cdot 9 \cdot 8 = 72\pi \approx 226{,}19\ \text{cm}^3 \approx 0{,}23$ Liter.
Weitere Körper und andere gesuchte Größen (zum Beispiel die Höhe aus dem Volumen) rechnet der Körperrechner mit Rechenweg.
Schrägbilder zeichnen
Ein Schrägbild zeigt einen Körper räumlich auf dem Papier. In der Schule zeichnest Du es meist in der Kavalierperspektive:
Regeln für das Schrägbild
- Die Vorderfläche zeichnest Du in wahrer Größe.
- Die Tiefenkanten (nach hinten) zeichnest Du schräg unter $45^\circ$ nach rechts oben.
- Die Tiefenkanten werden verkürzt, meist auf die Hälfte: Verkürzungsfaktor $q = \frac{1}{2}$.
- Verdeckte Kanten zeichnest Du gestrichelt.
Karopapier-Regel
Auf Karopapier (Kästchen 5 mm) geht es ohne Geodreieck: Für jeden Zentimeter Tiefe gehst Du ein Kästchen schräg – also über die Diagonale eines Kästchens. Das ist ein Winkel von $45^\circ$, und jede Diagonale ist etwa 0,71 cm lang. Der Verkürzungsfaktor ist dann ungefähr $0{,}71$ statt $\frac{1}{2}$ – auch das ist ein richtiges Schrägbild. Wichtig ist nur, dass Du innerhalb einer Zeichnung bei einer Regel bleibst.
Schritt für Schritt: Quader
Ein Quader ist 4 cm breit, 2 cm hoch und 3 cm tief.
- Zeichne die Vorderfläche als Rechteck: 4 cm breit, 2 cm hoch.
- Zeichne von jeder Ecke eine Tiefenkante unter $45^\circ$. Ihre Länge im Bild: $3 \text{ cm} \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ cm.
- Verbinde die Enden der Tiefenkanten zur Rückfläche – ein Rechteck, genauso groß wie die Vorderfläche.
- Die Kanten, die hinter dem Körper liegen (hier die drei an der unteren linken hinteren Ecke), zeichnest Du gestrichelt.
Probier es aus
Wähle einen Körper, ändere seine Maße, den Winkel und die Verkürzung. Das Bild zeigt sofort, welche Kanten sichtbar sind.
Tiefenkanten im Bild: 3 cm · 1/2 = 1,5 cm unter 45°.
Prismen und Zylinder im Schrägbild
Für ein Prisma zeichnest Du immer zuerst die Grundfläche als Vorderfläche und ziehst dann die Tiefenkanten. Bei einem liegenden Zylinder ist die Vorderfläche ein Kreis in wahrer Größe; den hinteren Kreis verschiebst Du um die verkürzte Tiefe und verbindest beide Kreise mit zwei Tangenten.
Einen stehenden Zylinder zeichnet man meist mit Ellipsen für Grund- und Deckfläche. Das ist schwieriger von Hand – leg ihn lieber auf die Seite, wenn die Aufgabe es erlaubt.
Typische Fehler
- Die Tiefenkanten in voller Länge zeichnen, obwohl $q = \frac{1}{2}$ verlangt ist.
- Die Vorderfläche verzerren: Sie bleibt in wahrer Größe, mit echten rechten Winkeln.
- Im Schrägbild Längen der Tiefenkanten nachmessen und für die Rechnung verwenden – sie sind verkürzt.
- Beim Zylindernetz die Rechteckseite gleich dem Durchmesser statt dem Umfang $2\pi r$ wählen.
- Bei der Oberfläche des Prismas eine der beiden Grundflächen vergessen: $O = 2G + M$.
Online üben
Oberfläche, Volumen und Mantel von Prismen und Zylindern, dazu Fragen zum Schrägbild – mit neuen Zahlen bei jedem Klick.
Stufe 1: Prismen: Mantel, Oberfläche, Volumen
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Aufgabe 1
Dreiecksprisma, Grundfläche rechtwinklig mit \(a = 6\,\text{cm},\) \(b = 8\,\text{cm},\) \(c = 10\,\text{cm},\) \(\text{Höhe } h = 7\,\text{cm}:\) Volumen?\(V =\)cm³\(V = G \cdot h = \frac{6 \cdot 8}{2} \cdot 7 = 168\,\text{cm}^3\)
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Aufgabe 2
Dreiecksprisma, Grundfläche rechtwinklig mit \(a = 6\,\text{cm},\) \(b = 8\,\text{cm},\) \(c = 10\,\text{cm},\) \(\text{Höhe } h = 6\,\text{cm}:\) Oberfläche?\(O =\)cm²\(O = 2 \cdot \frac{a \cdot b}{2} + (a + b + c) \cdot h\) \(= 48 + 144\) \(= 192\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 3
\(\text{Quader } 9\,\text{cm} \times 5\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}:\) Fläche des Netzes (Oberfläche)?\(O =\)cm²\(O = 2 \cdot (45 + 18 + 10) = 146\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 4
regelmäßiges Sechseckprisma, Seite \(a = 2\,\text{cm},\) \(\text{Höhe } h = 12\,\text{cm}:\ \text{Mantel?}\)\(M =\)cm²\(M = 6 \cdot a \cdot h = 144\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 5
regelmäßiges Sechseckprisma, Seite \(a = 2\,\text{cm},\) \(\text{Höhe } h = 9\,\text{cm}:\ \text{Mantel?}\)\(M =\)cm²\(M = 6 \cdot a \cdot h = 108\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 6
regelmäßiges Sechseckprisma, Seite \(a = 8\,\text{cm},\) \(\text{Höhe } h = 5\,\text{cm}:\ \text{Mantel?}\)\(M =\)cm²\(M = 6 \cdot a \cdot h = 240\,\text{cm}^2\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Prismen und Zylinder: Netz, Oberfläche, Volumen, Schrägbild
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–9.
Arbeitsblatt: Schrägbilder zeichnen
Zeichenblatt zum Ausdrucken: Schrägbilder von Quadern, Würfeln, Dreiecksprismen, Trapezprismen und liegenden Zylindern auf Karoraster zeichnen – mit Lösungsblatt, auf dem die verdeckten Kanten gestrichelt sind. Klasse 6–8.
Weiter
- Körper – Würfel, Quader, Pyramide, Kegel und Kugel
- Körpernetze und Ansichten – Würfelnetze, Ansichten von vorne, rechts und oben
- Stümpfe und zusammengesetzte Körper
- Körperrechner
Weiterlesen: Prisma (Geometrie), Zylinder (Geometrie), Kavalierperspektive bei Wikipedia