Gemeinsame Tangenten an zwei Kreise
Eine Gerade, die zwei Kreise zugleich berührt, heißt gemeinsame Tangente. Läuft sie an beiden Kreisen auf derselben Seite vorbei, ist sie eine äußere Tangente – denk an einen Riemen um zwei Räder. Kreuzt sie zwischen den Kreisen hindurch, ist sie eine innere Tangente – wie ein über Kreuz gelegter Riemen. Wie eine Tangente an einen Kreis entsteht, zeigt die Seite Satz des Thales und Tangenten.
Wie viele gemeinsame Tangenten gibt es?
Das hängt nur davon ab, wie weit die Mittelpunkte auseinander liegen. Nenne den Abstand der Mittelpunkte $d = |M_1M_2|$ und die Radien $r_1$ und $r_2$.
| Lage der Kreise | Bedingung | gemeinsame Tangenten |
|---|---|---|
| getrennt, keiner im anderen | $d > r_1 + r_2$ | 4 (zwei äußere, zwei innere) |
| berühren sich von außen | $d = r_1 + r_2$ | 3 (zwei äußere und eine im Berührpunkt) |
| schneiden sich in zwei Punkten | $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ | 2 (nur äußere) |
| berühren sich von innen | $d = |r_1 - r_2| > 0$ | 1 (im Berührpunkt) |
| ein Kreis liegt im anderen | $d < |r_1 - r_2|$ | keine |
Merkhilfe
Innere Tangenten brauchen eine „Lücke“ zwischen den Kreisen, durch die sie hindurchpassen. Sobald sich die Kreise berühren oder schneiden, gibt es diese Lücke nicht mehr. Für äußere Tangenten darf nur kein Kreis vollständig im anderen stecken.
Äußere Tangenten konstruieren
Der Trick: Du schrumpfst den kleinen Kreis zu einem Punkt. Dafür verkleinerst Du beide Radien um $r_2$. Aus dem großen Kreis wird ein Hilfskreis mit Radius $r_1 - r_2$, aus dem kleinen nur noch der Punkt $M_2$. Von $M_2$ aus legst Du mit dem Thaleskreis die Tangenten an den Hilfskreis – und schiebst sie danach um $r_2$ parallel nach außen.
- Gegeben: Kreis k₁ um M₁ mit Radius r₁ und Kreis k₂ um M₂ mit Radius r₂.
- Zeichne um M₁ einen Hilfskreis mit dem Radius r₁ − r₂.
- Verbinde M₁ und M₂ und zeichne den Thaleskreis über M₁M₂ (Mittelpunkt H = Mitte von M₁M₂).
- Der Thaleskreis schneidet den Hilfskreis in H₁ und H₂. Dort ist der Winkel M₁H₁M₂ ein rechter Winkel – M₂H₁ und M₂H₂ sind Tangenten an den Hilfskreis.
- Verlängere M₁H₁ und M₁H₂ bis zum Kreis k₁: Das sind die Berührpunkte A₁ und A₂ auf k₁.
- Trage von M₂ aus den Radius r₂ parallel zu M₁A₁ bzw. M₁A₂ ab: Das sind die Berührpunkte B₁ und B₂ auf k₂.
- Die Geraden A₁B₁ und A₂B₂ sind die äußeren Tangenten. Sie sind parallel zu M₂H₁ bzw. M₂H₂.
Innere Tangenten konstruieren
Für die inneren Tangenten vergrößerst Du den großen Kreis um $r_2$: Der Hilfskreis um $M_1$ hat den Radius $r_1 + r_2$. Der Rest läuft genauso – nur liegen die Berührpunkte auf $k_2$ jetzt auf der anderen Seite.
- Gegeben: Kreis k₁ um M₁ mit Radius r₁ und Kreis k₂ um M₂ mit Radius r₂.
- Zeichne um M₁ einen Hilfskreis mit dem Radius r₁ + r₂.
- Verbinde M₁ und M₂ und zeichne den Thaleskreis über M₁M₂ (Mittelpunkt H = Mitte von M₁M₂).
- Der Thaleskreis schneidet den Hilfskreis in H₁ und H₂. Dort ist der Winkel M₁H₁M₂ ein rechter Winkel – M₂H₁ und M₂H₂ sind Tangenten an den Hilfskreis.
- Verlängere M₁H₁ und M₁H₂ bis zum Kreis k₁: Das sind die Berührpunkte A₁ und A₂ auf k₁.
- Trage von M₂ aus den Radius r₂ in der Gegenrichtung ab (parallel zu M₁A₁ bzw. M₁A₂): Das sind die Berührpunkte B₁ und B₂ auf k₂.
- Die Geraden A₁B₁ und A₂B₂ sind die inneren Tangenten. Sie sind parallel zu M₂H₁ bzw. M₂H₂ und kreuzen sich zwischen den Kreisen.
Konstruktion kurz
- Hilfskreis um $M_1$ mit $r_1 - r_2$ (äußere) bzw. $r_1 + r_2$ (innere).
- Thaleskreis über $M_1M_2$; er schneidet den Hilfskreis in $H_1$ und $H_2$.
- Strahlen $M_1H_1$ und $M_1H_2$ bis $k_1$ verlängern: Berührpunkte $A_1$, $A_2$.
- Parallel dazu von $M_2$ aus $r_2$ abtragen (bei inneren Tangenten in Gegenrichtung): Berührpunkte $B_1$, $B_2$.
- $A_1B_1$ und $A_2B_2$ verbinden.
Ähnlichkeitspunkte
Die beiden äußeren Tangenten schneiden sich auf der Geraden $M_1M_2$ – im äußeren Ähnlichkeitspunkt $Z_a$. Die inneren kreuzen sich zwischen den Kreisen im inneren Ähnlichkeitspunkt $Z_i$. Nach dem Strahlensatz verhalten sich ihre Abstände zu den Mittelpunkten wie die Radien:
Lage der Ähnlichkeitspunkte
$\dfrac{|Z_aM_1|}{|Z_aM_2|} = \dfrac{|Z_iM_1|}{|Z_iM_2|} = \dfrac{r_1}{r_2}$
In Koordinaten: $Z_a = \dfrac{r_2 \cdot M_1 - r_1 \cdot M_2}{r_2 - r_1}$ (nur bei $r_1 \ne r_2$) und $Z_i = \dfrac{r_2 \cdot M_1 + r_1 \cdot M_2}{r_1 + r_2}$.
Sind beide Kreise gleich groß, gibt es keinen äußeren Ähnlichkeitspunkt: Die äußeren Tangenten sind dann parallel zu $M_1M_2$.
Damit ist die Aufgabe auf etwas Bekanntes zurückgeführt: Tangenten von einem Punkt außerhalb an einen Kreis.
Länge des Tangentenabschnitts
Das Stück einer gemeinsamen Tangente zwischen den beiden Berührpunkten berechnest Du mit dem Satz des Pythagoras. Verschiebe dazu den Abschnitt parallel, bis er in $M_2$ beginnt – es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $d$:
Tangentenabschnitte
äußere Tangente: $t_a = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}$ innere Tangente: $t_i = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}$
Beispiel: Riemenantrieb
Zwei Riemenscheiben haben die Radien 9 cm und 4 cm, ihre Achsen sind 26 cm voneinander entfernt. Ein offener Riemen läuft auf äußeren Tangenten. Ein gerades Riemenstück ist
$t_a = \sqrt{26^2 - (9 - 4)^2} = \sqrt{676 - 25} = \sqrt{651} \approx 25{,}5$ cm.
Bei einem gekreuzten Riemen (innere Tangenten): $t_i = \sqrt{26^2 - 13^2} = \sqrt{507} \approx 22{,}5$ cm.
Rechnung in Koordinaten
Gegeben sind $k_1$ um $M_1(0 \mid 0)$ mit $r_1 = 3$ und $k_2$ um $M_2(8 \mid 0)$ mit $r_2 = 1$ (die Kreise aus dem Bild oben). Es ist $d = 8 > r_1 + r_2 = 4$, also gibt es vier gemeinsame Tangenten.
1. Ähnlichkeitspunkte
$Z_a = \dfrac{1 \cdot (0 \mid 0) - 3 \cdot (8 \mid 0)}{1 - 3} = (12 \mid 0)$ und $Z_i = \dfrac{1 \cdot (0 \mid 0) + 3 \cdot (8 \mid 0)}{3 + 1} = (6 \mid 0)$.
Probe mit dem Verhältnis: $|Z_aM_1| : |Z_aM_2| = 12 : 4 = 3 : 1$ und $|Z_iM_1| : |Z_iM_2| = 6 : 2 = 3 : 1$ ✓
2. Äußere Tangenten durch $Z_a(12 \mid 0)$
Ansatz: $y = m \cdot (x - 12)$. Eine Tangente hat mit dem Kreis $x^2 + y^2 = 9$ genau einen gemeinsamen Punkt. Einsetzen:
$x^2 + m^2 (x - 12)^2 = 9 \quad\Leftrightarrow\quad (1 + m^2)\,x^2 - 24 m^2\,x + 144 m^2 - 9 = 0$
Genau eine Lösung heißt: Diskriminante gleich null.
$(24m^2)^2 - 4(1 + m^2)(144m^2 - 9) = 36 - 540\,m^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad m^2 = \frac{1}{15},\ m = \pm\frac{1}{\sqrt{15}} \approx \pm 0{,}258$
$t_{1,2}:\ y = \pm\frac{1}{\sqrt{15}}(x - 12)$, also $y \approx -0{,}258x + 3{,}098$ und $y \approx 0{,}258x - 3{,}098$.
Berührpunkte auf $k_1$: $x = \frac{24m^2}{2(1 + m^2)} = \frac{12 \cdot \frac{1}{15}}{\frac{16}{15}} = 0{,}75$, also $B(0{,}75 \mid \pm 2{,}905)$.
3. Innere Tangenten durch $Z_i(6 \mid 0)$
Ansatz $y = m \cdot (x - 6)$, eingesetzt: $(1 + m^2)\,x^2 - 12 m^2\,x + 36 m^2 - 9 = 0$.
Diskriminante: $144m^4 - 4(1 + m^2)(36m^2 - 9) = 36 - 108\,m^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad m = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} \approx \pm 0{,}577$
$t_{3,4}:\ y = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 6)$, also $y \approx -0{,}577x + 3{,}464$ und $y \approx 0{,}577x - 3{,}464$. Die Steigung entspricht einem Winkel von $30^\circ$ zur x-Achse.
Berührpunkte auf $k_1$: $x = \frac{6m^2}{1 + m^2} = 1{,}5$, also $B(1{,}5 \mid \pm 2{,}598)$.
Probe
Jede Tangente muss von $M_2$ den Abstand $r_2 = 1$ haben. Für $t_3$ in der Form $x + \sqrt{3}\,y - 6 = 0$: $\frac{|8 + 0 - 6|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{2}{2} = 1$ ✓
Mit eigenen Zahlen – auch wenn die Mittelpunkte nicht auf einer Achse liegen – rechnet der Rechner für gemeinsame Tangenten alle Tangenten mit Rechenweg, Berührpunkten und Skizze.
Dieses Beispiel im Rechner öffnen
Typische Fehler
- Beim Hilfskreis für die inneren Tangenten $r_1 - r_2$ statt $r_1 + r_2$ nehmen.
- Die Berührpunkte auf $k_2$ auf der falschen Seite abtragen: Bei inneren Tangenten zeigt der Radius $M_2B$ in die Gegenrichtung von $M_1A$.
- Vergessen, zuerst die Anzahl zu prüfen – bei sich schneidenden Kreisen gibt es keine inneren Tangenten.
- Den Ansatz $y = mx + q$ nehmen, wenn eine Tangente senkrecht ist: Dann heißt sie $x = c$.
Online üben
Anzahl der Tangenten, Tangentenabschnitte und Ähnlichkeitspunkte – mit neuen Zahlen bei jedem Klick.
Stufe 1: Länge des Tangentenabschnitts
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Aufgabe 1
\(r_1 = 1\,\text{cm},\) \(r_2 = 10\,\text{cm},\) \(\overline{M_1M_2} = 15\,\text{cm}:\) Länge des äußeren gemeinsamen Tangentenabschnitts?\(t =\)cm\(t = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}\) \(= \sqrt{225 - 81}\) \(= 12\,\text{cm}\)
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Aufgabe 2
\(r_1 = 5\,\text{cm},\) \(r_2 = 7\,\text{cm},\) \(\overline{M_1M_2} = 15\,\text{cm}:\) Länge des inneren gemeinsamen Tangentenabschnitts?\(t =\)cm\(t = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}\) \(= \sqrt{225 - 144}\) \(= 9\,\text{cm}\)
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Aufgabe 3
\(r_1 = 27\,\text{cm},\) \(r_2 = 3\,\text{cm},\) \(\overline{M_1M_2} = 25\,\text{cm}:\) Länge des äußeren gemeinsamen Tangentenabschnitts?\(t =\)cm\(t = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}\) \(= \sqrt{625 - 576}\) \(= 7\,\text{cm}\)
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Aufgabe 4
\(r_1 = 9\,\text{cm},\) \(r_2 = 6\,\text{cm},\) \(\overline{M_1M_2} = 17\,\text{cm}:\) Länge des inneren gemeinsamen Tangentenabschnitts?\(t =\)cm\(t = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}\) \(= \sqrt{289 - 225}\) \(= 8\,\text{cm}\)
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Aufgabe 5
\(r_1 = 6\,\text{cm},\) \(r_2 = 3\,\text{cm},\) \(\overline{M_1M_2} = 15\,\text{cm}:\) Länge des inneren gemeinsamen Tangentenabschnitts?\(t =\)cm\(t = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}\) \(= \sqrt{225 - 81}\) \(= 12\,\text{cm}\)
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Aufgabe 6
\(r_1 = 4\,\text{cm},\) \(r_2 = 13\,\text{cm},\) \(\overline{M_1M_2} = 15\,\text{cm}:\) Länge des äußeren gemeinsamen Tangentenabschnitts?\(t =\)cm\(t = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}\) \(= \sqrt{225 - 81}\) \(= 12\,\text{cm}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Gemeinsame Tangenten zweier Kreise
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–10.
Weiter
- Kreis – Umfang, Fläche und Begriffe am Kreis
- Satz des Thales und Tangenten – Tangente von einem Punkt aus
- p-q-Formel – wenn die Diskriminante nicht null ist
- Kugel – dieselben Fragen im Raum: zwei Kugeln, Tangentialebenen
Weiterlesen: Ähnlichkeitspunkt, Tangente bei Wikipedia