Bruchungleichungen lösen
Eine Bruchungleichung ist eine Ungleichung mit $x$ im Nenner, etwa $\frac{3}{x - 1} < 2$ oder $\frac{x + 3}{x - 1} \geq 0$. Wie bei den Bruchgleichungen sind manche Zahlen verboten. Neu ist ein Stolperstein beim Malnehmen mit dem Nenner – und den lernst Du hier zu umgehen.
Schritt 1: die Definitionsmenge
Ein Nenner darf nie $0$ werden. Bei $\frac{3}{x - 1}$ ist $x = 1$ verboten: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Verbotene Zahlen gehören nie zur Lösungsmenge – auch nicht bei $\leq$ oder $\geq$.
Warum Du nicht einfach malnehmen darfst
Bei einer Gleichung nimmst Du beide Seiten mit dem Nenner mal. Bei einer Ungleichung geht das schief, denn Du weißt nicht, ob der Nenner positiv oder negativ ist – und bei einer negativen Zahl müsste sich das Zeichen umdrehen.
So nicht!
Das sieht richtig aus, ist aber nur die halbe Wahrheit. Teste $x = 0$: $\frac{3}{0 - 1} = -3$, und $-3 < 2$ stimmt! Die Zahl $0$ ist also eine Lösung, obwohl sie nicht größer als $\frac{5}{2}$ ist. Für alle $x < 1$ ist der Nenner negativ, und genau diese Zahlen sind verloren gegangen.
Es gibt zwei saubere Wege: Du unterscheidest die Fälle „Nenner positiv“ und „Nenner negativ“, oder Du bringst alles auf eine Seite und arbeitest mit einer Vorzeichentabelle.
Methode 1: Fallunterscheidung
Beispiel 1: $\frac{3}{x - 1} < 2$, $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
Fall 1: $x - 1 > 0$, also $x > 1$. Der Nenner ist positiv, das Zeichen bleibt:
Beide Bedingungen zusammen ($x > 1$ und $x > \frac{5}{2}$): $\mathbb{L}_1 = \left]\frac{5}{2};\ \infty\right[$.
Fall 2: $x - 1 < 0$, also $x < 1$. Der Nenner ist negativ, das Zeichen dreht sich um:
Beide Bedingungen zusammen ($x < 1$ und $x < \frac{5}{2}$): $\mathbb{L}_2 = \left]-\infty;\ 1\right[$.
Ergebnis: Die Lösungsmenge ist die Vereinigung der beiden Fälle:
Tipp
In jedem Fall musst Du das Ergebnis mit der Fallbedingung kombinieren. Dafür hilft ein kleiner Zahlenstrahl: Was erfüllt beide Bedingungen? Kommen zwei Nenner vor, brauchst Du schon vier Fälle – dann ist die Vorzeichentabelle bequemer.
Methode 2: auf eine Seite bringen und Vorzeichentabelle
Merke: Bruchungleichung mit Vorzeichentabelle
- Definitionsmenge bestimmen.
- Auf eine Seite bringen: so umformen, dass rechts $0$ steht – ohne mit dem Nenner malzunehmen.
- Auf einen Bruchstrich bringen (Hauptnenner) und Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen.
- Vorzeichentabelle: Kritische Stellen sind die Nullstellen von Zähler und Nenner. An den Nennernullstellen ist der Bruch nicht definiert (n. d.).
- Ablesen: Bereiche mit dem passenden Vorzeichen; bei $\leq$ und $\geq$ kommen die Nullstellen des Zählers dazu.
Beispiel 1 noch einmal: $\frac{3}{x - 1} < 2$
| $x$ | $x < 1$ | $1$ | $1 < x < \frac{5}{2}$ | $\frac{5}{2}$ | $x > \frac{5}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $5 - 2x$ | + | + | + | 0 | − |
| $x - 1$ Nenner | − | 0 | + | + | + |
| $\frac{5 - 2x}{x - 1}$ | − | n. d. | + | 0 | − |
Gesucht ist „$-$“: $\mathbb{L} = \left]-\infty;\ 1\right[ \cup \left]\frac{5}{2};\ \infty\right[$ – dasselbe wie mit der Fallunterscheidung.
Beispiel 2: $\frac{x + 3}{x - 1} \geq 0$, $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
Rechts steht schon $0$. Kritische Stellen: $-3$ (Zähler) und $1$ (Nenner).
| $x$ | $x < -3$ | $-3$ | $-3 < x < 1$ | $1$ | $x > 1$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $x + 3$ | − | 0 | + | + | + |
| $x - 1$ Nenner | − | − | − | 0 | + |
| $\frac{x + 3}{x - 1}$ | + | 0 | − | n. d. | + |
Wegen $\geq$ gehört $-3$ dazu, die $1$ aber nicht – dort ist der Bruch gar nicht definiert:
Beispiel 3: $x$ auf beiden Seiten – $\frac{1}{x} > x$, $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$
| $x$ | $x < -1$ | $-1$ | $-1 < x < 0$ | $0$ | $0 < x < 1$ | $1$ | $x > 1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $1 + x$ | − | 0 | + | + | + | + | + |
| $1 - x$ | + | + | + | + | + | 0 | − |
| $x$ Nenner | − | − | − | 0 | + | + | + |
| $\frac{(1 + x)(1 - x)}{x}$ | + | 0 | − | n. d. | + | 0 | − |
Probe: $x = 0{,}5$ ergibt $2 > 0{,}5$ ✓, $x = 2$ ergibt $0{,}5 > 2$ – falsch, also keine Lösung ✓.
Noch ein Trick: mit dem Quadrat des Nenners malnehmen
Ein Quadrat ist für alle erlaubten $x$ positiv. Nimmst Du mit $(x - 1)^2$ mal, bleibt das Zeichen also gleich: Aus $\frac{3}{x - 1} < 2$ wird $3(x - 1) < 2(x - 1)^2$, also $2x^2 - 7x + 5 > 0$ – eine quadratische Ungleichung mit den Nullstellen $1$ und $\frac{5}{2}$. Am Ende die verbotene Zahl $1$ nicht vergessen!
Testzahl-Probe: Stimmt die Ungleichung für diese Zahl?
Typische Fehler
- Mit dem Nenner malnehmen, ohne auf das Vorzeichen zu achten – dann fehlt ein Teil der Lösungen (siehe oben).
- Nennernullstelle in die Lösung aufnehmen: Bei $\frac{x + 3}{x - 1} \geq 0$ gehört $1$ nicht dazu, auch wenn das Zeichen $\geq$ ist.
- Nur den Zähler betrachten: Auch der Nenner wechselt das Vorzeichen und gehört in die Vorzeichentabelle.
- Über Kreuz multiplizieren wie bei Bruchgleichungen – bei Ungleichungen ist das nur erlaubt, wenn beide Nenner sicher positiv sind.
Rechner
Der Ungleichungs-Rechner löst Bruchungleichungen mit Definitionsmenge, Faktorisierung und Vorzeichentabelle, zum Beispiel $\frac{3}{x - 1} < 2$ oder $\frac{x + 1}{x - 2} \leq 3$.
Online üben
Gib die Lösungsmenge als Intervall oder als Ungleichung ein – bei $\left]-\infty;\ 1\right[ \cup \left]\frac{5}{2};\ \infty\right[$ also ]-∞; 1[ ∪ ]5/2; ∞[ oder x < 1 oder x > 5/2. Die Prüfung achtet auch darauf, ob eine Grenze dazugehört – Nullstellen des Nenners gehören nie dazu.
Stufe 1: Bruch mit 0 vergleichen
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Aufgabe 1
\(\frac{x - 6}{x + 5} > 0\)\(L =\)\(L = ]-\infty;\,-5[ \cup ]6;\,\infty[\)
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Aufgabe 2
\(\frac{x - 3}{x + 1} \geq 0\)\(L =\)\(L = ]-\infty;\,-1[ \cup [3;\,\infty[\)
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Aufgabe 3
\(\frac{-x + 5}{x - 6} < 0\)\(L =\)\(L = ]-\infty;\,5[ \cup ]6;\,\infty[\)
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Aufgabe 4
\(\frac{x - 1}{x - 3} > 0\)\(L =\)\(L = ]-\infty;\,1[ \cup ]3;\,\infty[\)
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Aufgabe 5
\(\frac{-x - 2}{x + 1} > 0\)\(L =\)\(L = ]-2;\,-1[\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Bruchungleichungen lösen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–11.
Gleichungen mit $x$ im Nenner löst Du bei den Bruchgleichungen und mit dem Bruchgleichungs-Rechner. Wie Du Brüche mit $x$ kürzt und auf einen Hauptnenner bringst, zeigen die Bruchterme.
Weiterlesen: Ungleichung bei Wikipedia