Quadratische Ungleichungen lösen
In einer quadratischen Ungleichung kommt $x^2$ vor, zum Beispiel $x^2 - 2x - 3 < 0$. Anders als bei linearen Ungleichungen kannst Du nicht einfach nach $x$ umstellen. Der Trick: Du suchst zuerst die Nullstellen und überlegst dann, wo der Term positiv oder negativ ist. Die Lösung ist meistens ein Intervall – oder zwei Bereiche „links und rechts“.
Methode 1: mit der Parabel
Der Term $f(x) = ax^2 + bx + c$ beschreibt eine Parabel. Die Ungleichung $f(x) < 0$ fragt: Wo liegt die Parabel unterhalb der x-Achse? Bei $f(x) > 0$ ist es umgekehrt: Wo liegt sie oberhalb? Dafür brauchst Du nur zwei Dinge – die Nullstellen und die Öffnung.
Merke: quadratische Ungleichung in vier Schritten
- Auf eine Seite bringen: so umformen, dass rechts $0$ steht: $ax^2 + bx + c \lessgtr 0$.
- Nullstellen berechnen: $ax^2 + bx + c = 0$ mit der pq-Formel oder der abc-Formel lösen.
- Öffnung bestimmen: Für $a > 0$ ist die Parabel nach oben geöffnet, für $a < 0$ nach unten.
- Ablesen: Eine nach oben geöffnete Parabel ist zwischen den Nullstellen negativ und außerhalb positiv. Bei $\leq$ und $\geq$ gehören die Nullstellen dazu.
Beispiel 1: $x^2 - 2x - 3 < 0$
Nullstellen mit der pq-Formel ($p = -2$, $q = -3$):
Der Faktor vor $x^2$ ist $1 > 0$, die Parabel ist also nach oben geöffnet. Unterhalb der x-Achse liegt sie nur zwischen den Nullstellen. Die Nullstellen selbst gehören nicht dazu, weil dort $f(x) = 0$ ist und nicht kleiner als $0$:
Probe mit $x = 0$: $0 - 0 - 3 = -3 < 0$ ✓. Probe mit $x = 4$: $16 - 8 - 3 = 5$, nicht kleiner als $0$ – und $4$ liegt ja auch nicht in $\mathbb{L}$ ✓.
Beispiel 2: nach unten geöffnet – $-x^2 + x + 6 \leq 0$
Die Nullstellen von $-x^2 + x + 6$ sind dieselben wie die von $x^2 - x - 6$ (beide Seiten mal $-1$ – bei einer Gleichung ändert das nichts): $x_1 = -2$ und $x_2 = 3$.
Wegen $a = -1 < 0$ ist die Parabel nach unten geöffnet. Unterhalb der x-Achse liegt sie jetzt außerhalb der Nullstellen. Wegen $\leq$ gehören die Nullstellen dazu:
Beispiel 3: erst umformen – $2x^2 + 3 > 5x$
Nullstellen mit der abc-Formel: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4}$, also $x_1 = 1$ und $x_2 = \frac{3}{2}$. Die Parabel ist nach oben geöffnet ($a = 2$), gesucht ist der Bereich oberhalb der x-Achse – also außen:
Alle Fälle auf einen Blick
Für eine nach oben geöffnete Parabel ($a > 0$) hängt das Ergebnis nur davon ab, wie viele Nullstellen es gibt. Das entscheidet die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$.
| $a > 0$ | zwei Nullstellen $x_1 < x_2$ ($D > 0$) | eine Nullstelle $x_0$ ($D = 0$) | keine Nullstelle ($D < 0$) |
|---|---|---|---|
| $f(x) < 0$ | $\left]x_1;\ x_2\right[$ | $\{\,\}$ | $\{\,\}$ |
| $f(x) \leq 0$ | $\left[x_1;\ x_2\right]$ | $\{x_0\}$ | $\{\,\}$ |
| $f(x) > 0$ | $\left]-\infty;\ x_1\right[ \cup \left]x_2;\ \infty\right[$ | $\mathbb{R} \setminus \{x_0\}$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x) \geq 0$ | $\left]-\infty;\ x_1\right] \cup \left[x_2;\ \infty\right[$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ |
Ist $a < 0$, kannst Du die Ungleichung mit $-1$ malnehmen – dann dreht sich das Zeichen um, und Du liest wieder in dieser Tabelle ab.
Beispiel 4: Sonderfälle
- $x^2 + 2x + 5 > 0$: Hier ist $D = 4 - 20 = -16 < 0$. Die Parabel liegt komplett oberhalb der x-Achse, also gilt die Ungleichung für jede Zahl: $\mathbb{L} = \mathbb{R}$. Für $x^2 + 2x + 5 < 0$ gäbe es dagegen keine Lösung: $\mathbb{L} = \{\,\}$.
- $x^2 - 6x + 9 \leq 0$: Das ist $(x - 3)^2 \leq 0$. Ein Quadrat ist nie negativ – es kann nur $0$ sein, und das nur für $x = 3$: $\mathbb{L} = \{3\}$. Bei $(x - 3)^2 > 0$ ist es genau andersherum: $\mathbb{L} = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.
Parabel-Explorer: Lösungsmenge ablesen
Methode 2: die Vorzeichentabelle
Wenn sich der Term in Faktoren zerlegen lässt, geht es auch ohne Parabel. Ein Produkt ist positiv, wenn eine gerade Anzahl von Faktoren negativ ist, und negativ bei einer ungeraden Anzahl. In einer Vorzeichentabelle notierst Du für jeden Faktor, in welchem Bereich er positiv (+) oder negativ (−) ist. Die Grenzen der Bereiche sind die Nullstellen der Faktoren.
Beispiel 1 noch einmal: $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3) < 0$
| $x$ | $x < -1$ | $-1$ | $-1 < x < 3$ | $3$ | $x > 3$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $x + 1$ | − | 0 | + | + | + |
| $x - 3$ | − | − | − | 0 | + |
| $(x + 1)(x - 3)$ | + | 0 | − | 0 | + |
Das Produkt ist nur in der Mitte negativ: $\mathbb{L} = \left]-1;\ 3\right[$ – wie mit der Parabel.
Den Vorzeichenwechsel eines Faktors findest Du so: $x + 1$ ist für $x > -1$ positiv und für $x < -1$ negativ. Wenn Du unsicher bist, setze in jedem Bereich eine Testzahl ein.
Ungleichungen höheren Grades
Bei $x^3$, $x^4$ und höheren Potenzen gibt es keine einfache Parabel mehr – die Vorzeichentabelle funktioniert aber genauso. Du musst den Term nur in Faktoren zerlegen: durch Ausklammern, mit den binomischen Formeln, durch Substitution oder mit einer geratenen Nullstelle und dem Horner-Schema.
Beispiel 5: $x^3 - 4x \geq 0$
$x$ ausklammern und die dritte binomische Formel anwenden: $x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x + 2)(x - 2)$. Die kritischen Stellen sind $-2$, $0$ und $2$.
| $x$ | $x < -2$ | $-2$ | $-2 < x < 0$ | $0$ | $0 < x < 2$ | $2$ | $x > 2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x + 2$ | − | 0 | + | + | + | + | + |
| $x$ | − | − | − | 0 | + | + | + |
| $x - 2$ | − | − | − | − | − | 0 | + |
| $x(x + 2)(x - 2)$ | − | 0 | + | 0 | − | 0 | + |
Gesucht sind die Bereiche mit $+$ und wegen $\geq$ auch die Nullstellen:
Beispiel 6: doppelte Nullstelle – $(x - 1)^2 (x + 2) < 0$
| $x$ | $x < -2$ | $-2$ | $-2 < x < 1$ | $1$ | $x > 1$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $(x - 1)^2$ | + | + | + | 0 | + |
| $x + 2$ | − | 0 | + | + | + |
| $(x - 1)^2(x + 2)$ | − | 0 | + | 0 | + |
Das Quadrat $(x - 1)^2$ ist nie negativ. Bei $x = 1$ wechselt deshalb das Vorzeichen nicht – der Graph berührt dort die x-Achse nur. Ergebnis: $\mathbb{L} = \left]-\infty;\ -2\right[$.
Merke
An einer Nullstelle mit ungerader Vielfachheit (einfach, dreifach, …) wechselt das Vorzeichen. An einer Nullstelle mit gerader Vielfachheit (doppelt, vierfach, …) bleibt es gleich.
Typische Fehler
- Einfach die Wurzel ziehen: Aus $x^2 > 9$ folgt nicht nur $x > 3$. Auch $x = -4$ ist eine Lösung, denn $(-4)^2 = 16 > 9$. Richtig ist: $x < -3$ oder $x > 3$. Und $x^2 < 9$ bedeutet $-3 < x < 3$.
- Durch $x$ teilen: Aus $x^2 > 2x$ wird durch Teilen nicht $x > 2$ – das Vorzeichen von $x$ ist ja unbekannt. Richtig: $x^2 - 2x > 0$, also $x(x - 2) > 0$ und damit $x < 0$ oder $x > 2$.
- „Innen“ und „außen“ vertauschen: Mach im Zweifel die Probe mit einer Zahl aus jedem Bereich.
- Grenzen falsch: Bei $<$ und $>$ gehören die Nullstellen nicht dazu, bei $\leq$ und $\geq$ schon.
Rechner
Der Ungleichungs-Rechner löst quadratische Ungleichungen, Ungleichungen höheren Grades und Bruchungleichungen mit Vorzeichentabelle, Zahlenstrahl und Graph – zum Beispiel $x^2 - 2x - 3 < 0$ oder $x^3 - 4x \geq 0$.
Online üben
Gib die Lösungsmenge ein – als Intervall oder als Ungleichung: Bei $\mathbb{L} = \left]-1;\ 3\right[$ tippst Du ]-1; 3[ oder -1 < x < 3. Mehrere Bereiche verbindest Du mit ∪ oder „oder“, unendlich schreibst Du als ∞ oder oo. Gilt die Ungleichung für alle Zahlen, schreib R, gibt es keine Lösung, schreib leer. Die Prüfung achtet auch darauf, ob die Grenzen dazugehören.
Stufe 1: Normalparabel, ganzzahlige Nullstellen
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Aufgabe 1
\(x^{2} + 2x \geq 0\)\(L =\)\(L = ]-\infty;\,-2] \cup [0;\,\infty[\)
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Aufgabe 2
\(x^{2} - 2x - 24 > 0\)\(L =\)\(L = ]-\infty;\,-4[ \cup ]6;\,\infty[\)
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Aufgabe 3
\(x^{2} > 81\)\(L =\)\(L = ]-\infty;\,-9[ \cup ]9;\,\infty[\)
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Aufgabe 4
\(x^{2} + x - 30 \leq 0\)\(L =\)\(L = [-6;\,5]\)
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Aufgabe 5
\(x^{2} + x - 30 < 0\)\(L =\)\(L = ]-6;\,5[\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Quadratische Ungleichungen lösen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–11.
Arbeitsblatt: Ungleichungen höheren Grades
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–11.
Die Grundlagen stehen bei den linearen Ungleichungen. Steht $x$ im Nenner, geht es bei den Bruchungleichungen weiter, Ungleichungen mit Beträgen findest Du unter Betragsungleichungen. Wie man Nullstellen höheren Grades findet, zeigen die Gleichungen höheren Grades.
Weiterlesen: Ungleichung bei Wikipedia