Ungleichungs-Rechner
Gib eine Ungleichung ein – linear, quadratisch, mit höheren Potenzen oder mit $x$ im Nenner. Der Rechner bringt alles auf eine Seite, zerlegt in Faktoren, stellt die Vorzeichentabelle auf und gibt die Lösungsmenge in Intervallschreibweise an, dazu den Zahlenstrahl und den Graphen.
So rechnet der Rechner
- Definitionsmenge: Steht $x$ in einem Nenner, sind die Nullstellen des Nenners verboten. Sie gehören nie zur Lösungsmenge.
- Auf eine Seite bringen: Aus $L \lessgtr R$ wird $L - R \lessgtr 0$. Brüche werden auf einen Bruchstrich gebracht – so steht links ein einziger Term $h(x)$, der mit $0$ verglichen wird. Mit dem Nenner wird nicht malgenommen, denn sein Vorzeichen ist unbekannt.
- Faktorisieren: Zähler und Nenner werden in Faktoren zerlegt. Ihre Nullstellen sind die kritischen Stellen – nur dort kann $h(x)$ das Vorzeichen wechseln.
- Vorzeichentabelle: Zwischen den kritischen Stellen hat jeder Faktor ein festes Vorzeichen. Aus den Vorzeichen der Faktoren ergibt sich das Vorzeichen von $h(x)$.
- Ablesen: Gesucht sind die Bereiche mit dem passenden Vorzeichen. Bei $\leq$ und $\geq$ kommen die Nullstellen des Zählers dazu – Nennernullstellen nie.
Faktorisieren und exakte Nullstellen berechnet das Computeralgebrasystem Maxima. Lassen sich Nullstellen nicht exakt angeben (etwa bei manchen Gleichungen dritten Grades), rechnet der Rechner mit gerundeten Werten und kennzeichnet sie mit $\approx$. Zur Kontrolle prüft er das Ergebnis an vielen Testzahlen.
Intervallschreibweise kurz erklärt
| Ungleichung | Intervall | Bedeutung |
|---|---|---|
| $-1 < x < 3$ | $\left]-1;\ 3\right[$ | beide Grenzen gehören nicht dazu |
| $-1 \leq x \leq 3$ | $\left[-1;\ 3\right]$ | beide Grenzen gehören dazu |
| $x \geq 2$ | $\left[2;\ \infty\right[$ | bei $\infty$ steht immer eine offene Klammer |
| $x < 2$ oder $x > 3$ | $\left]-\infty;\ 2\right[ \cup \left]3;\ \infty\right[$ | „∪“ heißt „vereinigt mit“ |
Statt nach außen gedrehter eckiger Klammern sind auch runde Klammern üblich: $(-1;\ 3)$ bedeutet dasselbe wie $\left]-1;\ 3\right[$.
Ausführlich erklärt mit Beispielen und Übungen: lineare Ungleichungen, quadratische Ungleichungen und Bruchungleichungen. Ungleichungen mit Betrag findest Du bei den Betragsungleichungen, Gleichungen mit $x$ im Nenner löst der Bruchgleichungs-Rechner.