Kombinatorik in der Grundschule
Wie viele verschiedene Outfits kannst Du aus Deinen Lieblingssachen anziehen? Wie viele Eisbecher gibt es mit zwei Kugeln? Solche Fragen beantwortet die Kombinatorik – die Mathematik vom geschickten Zählen. Das Wichtigste dabei: systematisch vorgehen, damit Du keine Möglichkeit vergisst und keine doppelt zählst.
Wie viele Kombinationen gibt es?
Lina hat 3 T-Shirts (rot, blau, grün) und 2 Hosen (schwarz, grau). Wie viele verschiedene Kombinationen aus einem T-Shirt und einer Hose kann sie anziehen?
Wenn Du einfach drauflos probierst, verlierst Du schnell den Überblick. Besser: Nimm ein T-Shirt nach dem anderen und probiere dazu alle Hosen.
| Hose schwarz | Hose grau | |
|---|---|---|
| T-Shirt rot | rot + schwarz | rot + grau |
| T-Shirt blau | blau + schwarz | blau + grau |
| T-Shirt grün | grün + schwarz | grün + grau |
Jedes Feld der Tabelle ist eine Kombination: 3 Zeilen mit je 2 Feldern, also $3 \cdot 2 = 6$ Kombinationen.
Das Baumdiagramm
Dasselbe kannst Du auch als Baumdiagramm zeichnen. Vom Startpunkt geht für jedes T-Shirt ein Ast ab. An jedem T-Shirt-Ast wachsen dann so viele Zweige, wie es Hosen gibt. Jeder Weg vom Start bis zum Ende ist eine Kombination.
Merke: Malnehmen spart Zählen
Passt zu jedem Ding der ersten Sorte jedes Ding der zweiten Sorte, nimmst Du die Anzahlen mal: Anzahl der ersten Sorte · Anzahl der zweiten Sorte. Bei drei Sorten nimmst Du alle drei Anzahlen mal.
Drei Dinge kombinieren
Beispiel: Mütze, Schal und Handschuhe
Ben hat 2 Mützen, 3 Schals und 2 Paar Handschuhe. Zu jeder der $2 \cdot 3 = 6$ Kombinationen aus Mütze und Schal passen beide Handschuhpaare. Also gibt es $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ Kombinationen.
Reihenfolgen: Wer sitzt wo?
Anna, Ben und Cem setzen sich nebeneinander auf drei Stühle. Wie viele verschiedene Sitzordnungen gibt es?
Für den ersten Stuhl gibt es 3 Möglichkeiten. Ist er besetzt, bleiben für den zweiten Stuhl nur noch 2 Kinder übrig, und das letzte Kind bekommt den dritten Stuhl:
| Anna zuerst | Ben zuerst | Cem zuerst |
|---|---|---|
| Anna – Ben – Cem | Ben – Anna – Cem | Cem – Anna – Ben |
| Anna – Cem – Ben | Ben – Cem – Anna | Cem – Ben – Anna |
Bei 4 Kindern sind es schon $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ Sitzordnungen, bei 5 Kindern $120$. Die Zahl wächst sehr schnell!
Beispiel: Zahlen mit Ziffernkarten legen
Mit den Karten 2, 5 und 8 legst Du zweistellige Zahlen. Für die Zehnerstelle hast Du 3 Karten, für die Einerstelle bleiben 2: $3 \cdot 2 = 6$ Zahlen – nämlich 25, 28, 52, 58, 82 und 85.
Wenn die Reihenfolge egal ist
Vier Kinder – Anna, Ben, Cem und Dana – begrüßen sich. Jedes Kind gibt jedem anderen genau einmal die Hand. Wie oft werden Hände geschüttelt?
Gehe der Reihe nach vor: Anna schüttelt 3 Hände (Ben, Cem, Dana). Ben hat Anna schon begrüßt und schüttelt noch 2 neue Hände (Cem, Dana). Cem begrüßt nur noch Dana. Dana hat dann schon alle begrüßt.
Warum nicht 4 · 3?
Jedes der 4 Kinder gibt 3 anderen die Hand – das wären $4 \cdot 3 = 12$. Aber dabei zählst Du jeden Handschlag doppelt: „Anna gibt Ben die Hand“ und „Ben gibt Anna die Hand“ ist derselbe Handschlag. Darum: $12 : 2 = 6$.
Genauso ist es beim Eisbecher mit zwei verschiedenen Kugeln: Erdbeere und Schoko im Becher ist dasselbe wie Schoko und Erdbeere. Bei 4 Sorten gibt es $4 \cdot 3 : 2 = 6$ Becher. Steckt das Eis dagegen übereinander in der Waffel, kommt es auf die Reihenfolge an (oben Erdbeere oder oben Schoko) – dann sind es $4 \cdot 3 = 12$.
Wenn sich etwas wiederholen darf
Beispiel: Ziffern dürfen doppelt vorkommen
Wie viele zweistellige Zahlen kannst Du nur mit den Ziffern 1, 2 und 3 schreiben, wenn eine Ziffer auch zweimal vorkommen darf? Für die Zehnerstelle gibt es 3 Möglichkeiten und für die Einerstelle wieder 3: $3 \cdot 3 = 9$ Zahlen (11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33).
Überblick: Welche Rechnung passt?
| Frage | Beispiel | Rechnung |
|---|---|---|
| Dinge verschiedener Sorten kombinieren | 3 T-Shirts, 2 Hosen | $3 \cdot 2 = 6$ |
| alle in eine Reihenfolge bringen | 4 Kinder auf 4 Stühle | $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ |
| Plätze vergeben, Reihenfolge wichtig | Platz 1 und 2 bei 5 Läufern | $5 \cdot 4 = 20$ |
| Paare bilden, Reihenfolge egal | 5 Kinder geben sich die Hand | $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ oder $5 \cdot 4 : 2 = 10$ |
| Wiederholung erlaubt | zweistellige Zahlen aus 1, 2, 3 | $3 \cdot 3 = 9$ |
Typische Fehler
- Durcheinander probieren: Dann fehlen Möglichkeiten oder eine kommt doppelt vor. Gehe immer nach einer festen Ordnung vor – Tabelle, Baumdiagramm oder geordnete Liste.
- Plus statt mal: 3 T-Shirts und 2 Hosen sind nicht $3 + 2 = 5$ Kombinationen, sondern $3 \cdot 2 = 6$.
- Doppelt gezählt: Ist die Reihenfolge egal (Händeschütteln, Eisbecher), darfst Du jedes Paar nur einmal zählen.
Online üben
Gib die Anzahl der Möglichkeiten als Zahl ein. Ein Baumdiagramm oder eine Tabelle auf einem Zettel hilft beim Zählen.
Stufe 2: drei Dinge und Reihenfolgen
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Aufgabe 1
5 Kinder im Wettlauf. Wie viele Möglichkeiten für Platz 1 und 2?\(5 \cdot 4 = 20\) Möglichkeiten
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Aufgabe 2
3 Kinder, 3 Stühle in einer Reihe. Wie viele Sitzordnungen?\(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) Sitzordnungen
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Aufgabe 3
2 Mützen, 3 Schals, 4 Jacken. Wie viele Kombinationen?\(2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\) Kombinationen
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Aufgabe 4
3 Mützen, 3 Schals, 4 Jacken. Wie viele Kombinationen?\(3 \cdot 3 \cdot 4 = 36\) Kombinationen
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Aufgabe 5
Lege zweistellige Zahlen mit den Karten 1, 2, 3, 4. Wie viele?\(4 \cdot 3 = 12\text{ Zahlen}\)
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Aufgabe 6
Lege dreistellige Zahlen mit den Karten 1, 2, 9. Wie viele?\(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\text{ Zahlen}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Kombinatorik – Möglichkeiten zählen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 2–5.
Ab Klasse 10 geht es weiter mit dem Urnenmodell, der Fakultät und dem Binomialkoeffizienten. Baumdiagramme brauchst Du auch, wenn Du Wahrscheinlichkeiten berechnest.
Weiterlesen: Kombinatorik bei Wikipedia