Kombinatorik
Wie viele vierstellige PINs gibt es? Auf wie viele Arten können 5 Freunde nebeneinander sitzen? Wie viele Lottotipps sind möglich? Die Kombinatorik ist die Kunst des geschickten Zählens.
🧒 Einstieg für die Grundschule mit Anzieh-Spiel und Baumdiagramm: Kombinatorik für Kinder
Das Zählprinzip
Merke
Besteht eine Auswahl aus mehreren Schritten, multiplizierst Du die Anzahlen der Möglichkeiten der einzelnen Schritte.
Beispiel
Du hast 3 T-Shirts, 2 Hosen und 4 Paar Schuhe. Daraus kannst Du $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$ verschiedene Outfits zusammenstellen.
Anordnungen und Fakultät
Auf wie viele Arten können sich 5 Freunde nebeneinander setzen? Für den ersten Platz gibt es 5 Möglichkeiten, für den zweiten noch 4, dann 3, 2 und 1:
Merke
$n!$ (gesprochen „n Fakultät“) ist das Produkt der Zahlen von 1 bis $n$. Es gibt $n!$ Möglichkeiten, $n$ verschiedene Dinge anzuordnen. Außerdem gilt $0! = 1$.
Die Fakultät wächst rasend schnell: $10! = 3{.}628{.}800$ und $20!$ hat schon 19 Stellen.
Das Urnenmodell – vier Fälle
Viele Aufgaben kannst Du Dir als Ziehen von $k$ Kugeln aus einer Urne mit $n$ verschiedenen Kugeln vorstellen. Entscheidend sind zwei Fragen: Kommt es auf die Reihenfolge an? und Wird zurückgelegt?
| mit Zurücklegen | ohne Zurücklegen | |
|---|---|---|
| mit Reihenfolge | $n^k$ | $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ |
| ohne Reihenfolge | $\dbinom{n+k-1}{k}$ | $\dbinom{n}{k}$ |
Mit Reihenfolge, mit Zurücklegen: PIN
Jede der 4 Stellen kann eine der 10 Ziffern sein: $10^4 = 10{.}000$ PINs.
Mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen: Siegertreppchen
8 Läufer, Plätze 1 bis 3: $8 \cdot 7 \cdot 6 = \frac{8!}{5!} = 336$ Möglichkeiten.
Ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen: Lotto
Beim Lotto „6 aus 49“ ist egal, in welcher Reihenfolge die Zahlen gezogen werden. Wir teilen deshalb die geordneten Möglichkeiten durch die $6!$ Reihenfolgen:
Die Chance auf sechs Richtige ist also 1 zu knapp 14 Millionen.
Ohne Reihenfolge, mit Zurücklegen: Eisbecher
3 Kugeln Eis aus 5 Sorten, Sorten dürfen sich wiederholen, die Reihenfolge im Becher ist egal: $\binom{5+3-1}{3} = \binom{7}{3} = 35$ Becher.
Der Binomialkoeffizient
Merke
Er gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, $k$ Dinge aus $n$ auszuwählen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Tipp: schnell rechnen
Kürze vorher: $\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$. Außerdem gilt $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ – also $\binom{10}{7} = \binom{10}{3}$. Und immer: $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$, $\binom{n}{1} = n$.
Die Binomialkoeffizienten findest Du auch im Pascalschen Dreieck – jede Zahl ist die Summe der beiden darüber:
Typischer Fehler
Bei einer Mannschaftsaufstellung „Kapitän und Stellvertreter“ ist die Reihenfolge wichtig ($25 \cdot 24 = 600$), bei „zwei Klassensprecher gleichberechtigt“ nicht ($\binom{25}{2} = 300$). Lies genau!
Online üben
Stufe 1: Anordnungen und Zurücklegen
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Aufgabe 1
Auf wie viele Arten kann man 8 Kinder in einer Reihe aufstellen?\(8! = 40{.}320\)
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Aufgabe 2
Auf wie viele Arten kann man 6 Läufer auf die Bahnen verteilen?\(6! = 720\)
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Aufgabe 3
Wie viele Möglichkeiten gibt es für eine Folge von 5 Münzwürfen (Kopf oder Zahl)?\(2^{5} = 32\)
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Aufgabe 4
Auf wie viele Arten kann man 8 Buchstaben-Karten in eine Reihe legen?\(8! = 40{.}320\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Online üben: Binomialkoeffizienten
Stufe 1: n bis 6
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Aufgabe 1
\(\text{„}6\text{ über }2\text{“}\)\(\text{„}6\text{ über }2\text{“} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\)
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Aufgabe 2
\(\text{„}6\text{ über }5\text{“}\)\(\text{„}6\text{ über }5\text{“} = \frac{6}{1} = 6\)
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Aufgabe 3
\(\text{„}6\text{ über }4\text{“}\)\(\text{„}6\text{ über }4\text{“} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\)
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Aufgabe 4
\(\text{„}3\text{ über }2\text{“}\)\(\text{„}3\text{ über }2\text{“} = \frac{3}{1} = 3\)
-
Aufgabe 5
\(\text{„}4\text{ über }1\text{“}\)\(\text{„}4\text{ über }1\text{“} = \frac{4}{1} = 4\)
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Aufgabe 6
\(\text{„}4\text{ über }2\text{“}\)\(\text{„}4\text{ über }2\text{“} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Kombinatorik: Wie viele Möglichkeiten?
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–12.
Arbeitsblatt: Binomialkoeffizienten berechnen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–12.
Große Zahlen exakt ausrechnen? Der Kombinatorik-Rechner kann alle vier Fälle des Urnenmodells. Weiter geht es mit der Binomialverteilung, in der der Binomialkoeffizient eine wichtige Rolle spielt.
Weiterlesen: Kombinatorik bei Wikipedia