Wurzelterme vereinfachen
Ein Wurzelterm enthält eine oder mehrere Wurzeln, etwa $3\sqrt{8} - \sqrt{18}$ oder $\frac{4}{3 - \sqrt{5}}$. Vereinfachen heißt: die Wurzeln so klein wie möglich machen, gleiche Wurzeln zusammenfassen und am Ende keine Wurzel im Nenner stehen lassen.
Die Grundlagen – Quadratwurzel, Wurzelgesetze, Quadratzahlen – findest Du bei Wurzeln und Wurzelgesetzen.
Teilweise Wurzelziehen
Zerlege den Radikanden in eine möglichst große Quadratzahl und einen Rest. Aus der Quadratzahl ziehst Du die Wurzel, der Rest bleibt unter der Wurzel.
Mit Variablen
Für Variablen gilt dasselbe: Jedes Paar gleicher Faktoren darf vor die Wurzel. Damit die Wurzel definiert ist und $\sqrt{a^2} = a$ gilt, setzen wir hier voraus, dass die Variablen nicht negativ sind.
Achtung bei negativen Zahlen
Ohne die Voraussetzung $a \geq 0$ gilt nur $\sqrt{a^2} = |a|$. Für $a = -3$ ist $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ und nicht $-3$.
Wurzeln zusammenfassen
Gleiche Wurzeln behandelst Du wie gleiche Variablen: $2\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$, so wie $2a + 4a = 6a$. Verschiedene Wurzeln lassen sich nicht zusammenfassen – $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ bleibt stehen. Oft musst Du vorher teilweise die Wurzel ziehen, damit gleiche Wurzeln sichtbar werden:
Ausmultiplizieren
Beim Ausmultiplizieren helfen das Distributivgesetz und die Regel $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Auch die binomischen Formeln gelten:
Die letzte Zeile ist besonders nützlich: Bei der 3. binomischen Formel verschwinden die Wurzeln. Genau das braucht man im nächsten Abschnitt.
Nenner rational machen
Ein Ergebnis wie $\frac{6}{\sqrt{3}}$ schreibt man üblicherweise ohne Wurzel im Nenner. Man sagt: Der Nenner wird rational gemacht. Dazu erweitert man den Bruch geschickt.
Merke
- Eine Wurzel im Nenner: mit dieser Wurzel erweitern, denn $\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b$.
- Summe oder Differenz mit Wurzel: mit dem Term erweitern, bei dem das Vorzeichen in der Mitte umgedreht ist. Im Nenner entsteht die 3. binomische Formel: $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$.
Beispiele
Schritt für Schritt: Nenner rational machen
- Erweitern: Im Nenner steht eine einzelne Wurzel. Erweitere mit $\sqrt{3}$ – denn $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$.\[\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\]
- Nenner ausrechnen: Im Nenner bleibt eine rationale Zahl übrig.\[\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\]
- Zähler ausmultiplizieren: Multipliziere aus und vereinfache die Wurzel.\[6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}\]
- Kürzen und Ergebnis: Kürze, wenn alle Zahlen im Zähler und der Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Ein Minus im Nenner wird vor den Bruch bzw. in den Zähler gezogen.\[\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\]
- Erweitern: Im Nenner steht eine Summe mit Wurzel. Erweitere mit dem Term, bei dem das Vorzeichen in der Mitte umgedreht ist: $3 + \sqrt{5}$. Dann entsteht im Nenner die 3. binomische Formel $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ – und die Wurzeln verschwinden.\[\frac{4}{3 - \sqrt{5}} = \frac{4 \cdot \left(3 + \sqrt{5}\right)}{\left(3 - \sqrt{5}\right) \cdot \left(3 + \sqrt{5}\right)}\]
- Nenner ausrechnen: Im Nenner bleibt eine rationale Zahl übrig.\[\left(3 - \sqrt{5}\right)\left(3 + \sqrt{5}\right) = 3^{2} - \left(\sqrt{5}\right)^{2} = 9 - 5 = 4\]
- Zähler ausmultiplizieren: Multipliziere jeden Summanden mit jedem und vereinfache die Wurzeln ($\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$).\[4 \cdot \left(3 + \sqrt{5}\right) = 12 + 4\sqrt{5}\]
- Kürzen und Ergebnis: Kürze, wenn alle Zahlen im Zähler und der Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Ein Minus im Nenner wird vor den Bruch bzw. in den Zähler gezogen.\[\frac{12 + 4\sqrt{5}}{4} = 3 + \sqrt{5}\]
- Erweitern: Im Nenner steht eine einzelne Wurzel. Erweitere mit $\sqrt{5}$ – denn $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$.\[\frac{10}{2\sqrt{5}} = \frac{10 \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}\]
- Nenner ausrechnen: Im Nenner bleibt eine rationale Zahl übrig.\[2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 10\]
- Zähler ausmultiplizieren: Multipliziere aus und vereinfache die Wurzel.\[10 \cdot \sqrt{5} = 10\sqrt{5}\]
- Kürzen und Ergebnis: Kürze, wenn alle Zahlen im Zähler und der Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Ein Minus im Nenner wird vor den Bruch bzw. in den Zähler gezogen.\[\frac{10\sqrt{5}}{10} = \sqrt{5}\]
- Erweitern: Im Nenner steht eine Summe mit Wurzel. Erweitere mit dem Term, bei dem das Vorzeichen in der Mitte umgedreht ist: $\sqrt{5} + \sqrt{3}$. Dann entsteht im Nenner die 3. binomische Formel $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ – und die Wurzeln verschwinden.\[\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \left(\sqrt{5} + \sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5} - \sqrt{3}\right) \cdot \left(\sqrt{5} + \sqrt{3}\right)}\]
- Nenner ausrechnen: Im Nenner bleibt eine rationale Zahl übrig.\[\left(\sqrt{5} - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5} + \sqrt{3}\right) = \left(\sqrt{5}\right)^{2} - \left(\sqrt{3}\right)^{2} = 5 - 3 = 2\]
- Zähler ausmultiplizieren: Multipliziere jeden Summanden mit jedem und vereinfache die Wurzeln ($\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$).\[1 \cdot \left(\sqrt{5} + \sqrt{3}\right) = \sqrt{5} + \sqrt{3}\]
- Kürzen und Ergebnis: Kürze, wenn alle Zahlen im Zähler und der Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Ein Minus im Nenner wird vor den Bruch bzw. in den Zähler gezogen.\[\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}\]
- Erweitern: Im Nenner steht eine Summe mit Wurzel. Erweitere mit dem Term, bei dem das Vorzeichen in der Mitte umgedreht ist: $\sqrt{2} - 1$. Dann entsteht im Nenner die 3. binomische Formel $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ – und die Wurzeln verschwinden.\[\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{2} - 1\right)}{\left(\sqrt{2} + 1\right) \cdot \left(\sqrt{2} - 1\right)}\]
- Nenner ausrechnen: Im Nenner bleibt eine rationale Zahl übrig.\[\left(\sqrt{2} + 1\right)\left(\sqrt{2} - 1\right) = \left(\sqrt{2}\right)^{2} - 1^{2} = 2 - 1 = 1\]
- Zähler ausmultiplizieren: Multipliziere jeden Summanden mit jedem und vereinfache die Wurzeln ($\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$).\[\sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{2} - 1\right) = 2 - \sqrt{2}\]
- Kürzen und Ergebnis: Kürze, wenn alle Zahlen im Zähler und der Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Ein Minus im Nenner wird vor den Bruch bzw. in den Zähler gezogen.\[\frac{2 - \sqrt{2}}{1} = 2 - \sqrt{2}\]
- Erweitern: Im Nenner steht eine Summe mit Wurzel. Erweitere mit dem Term, bei dem das Vorzeichen in der Mitte umgedreht ist: $3 + \sqrt{2}$. Dann entsteht im Nenner die 3. binomische Formel $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ – und die Wurzeln verschwinden.\[\frac{3 + \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}} = \frac{\left(3 + \sqrt{2}\right) \cdot \left(3 + \sqrt{2}\right)}{\left(3 - \sqrt{2}\right) \cdot \left(3 + \sqrt{2}\right)}\]
- Nenner ausrechnen: Im Nenner bleibt eine rationale Zahl übrig.\[\left(3 - \sqrt{2}\right)\left(3 + \sqrt{2}\right) = 3^{2} - \left(\sqrt{2}\right)^{2} = 9 - 2 = 7\]
- Zähler ausmultiplizieren: Multipliziere jeden Summanden mit jedem und vereinfache die Wurzeln ($\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$).\[\left(3 + \sqrt{2}\right) \cdot \left(3 + \sqrt{2}\right) = 11 + 6\sqrt{2}\]
- Kürzen und Ergebnis: Kürze, wenn alle Zahlen im Zähler und der Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Ein Minus im Nenner wird vor den Bruch bzw. in den Zähler gezogen.\[\frac{11 + 6\sqrt{2}}{7}\]
Eigene Brüche rechnet der Wurzelrechner im Modus „Nenner rational machen“ Schritt für Schritt.
Tipp: Probe mit dem Taschenrechner
Ob Du richtig umgeformt hast, siehst Du am Näherungswert: $\frac{4}{3 - \sqrt{5}} \approx 5{,}236$ und $3 + \sqrt{5} \approx 5{,}236$. Stimmen beide Werte überein, ist die Umformung richtig.
Online üben
Gib die vereinfachte Form ein – Wurzeln als sqrt(…), z. B. 3+sqrt(5) oder 2x*sqrt(3x).
Stufe 2: zusammenfassen und ausmultiplizieren
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Aufgabe 1
\(\left(\sqrt{7} + \sqrt{2}\right)^{2}\)\(\left(\sqrt{7} + \sqrt{2}\right)^{2} = 9 + 2\sqrt{14}\)
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Aufgabe 2
\(\sqrt{6}\left(\sqrt{24} + 1\right)\)\(\sqrt{6}\left(\sqrt{24} + 1\right) = 12 + \sqrt{6}\)
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Aufgabe 3
\(\left(\sqrt{2} - \sqrt{7}\right)^{2}\)\(\left(\sqrt{2} - \sqrt{7}\right)^{2} = 9 - 2\sqrt{14}\)
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Aufgabe 4
\(\left(\sqrt{2} + 6\right)\left(\sqrt{2} - 3\right)\)\(\left(\sqrt{2} + 6\right)\left(\sqrt{2} - 3\right) = -16 + 3\sqrt{2}\)
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Aufgabe 5
\(\sqrt{24} - \sqrt{54}\)\(\sqrt{24} - \sqrt{54} = -\sqrt{6}\)
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Aufgabe 6
\(3\sqrt{28} - \sqrt{7}\)\(3\sqrt{28} - \sqrt{7} = 5\sqrt{7}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Wurzelterme vereinfachen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–10.
Weiter geht es mit Wurzelgleichungen. Wurzeln als Potenzen mit Bruch im Exponenten erklärt die Seite Potenzen und Potenzgesetze.
Weiterlesen: Wurzel (Mathematik) bei Wikipedia