Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Gib zwei Funktionen ein. Der Rechner setzt sie gleich, löst die Gleichung – exakt, wo es möglich ist, sonst numerisch –, berechnet die y-Werte und auf Wunsch den Schnittwinkel. Dazu zeichnet er beide Graphen.
Ergebnis
Die Graphen von f und g haben 2 gemeinsame Punkte:
| Punkt | x | y | Schnittwinkel |
|---|---|---|---|
| S1 | 2 | 0 | 18,43° |
| S2 | 3 | 2 | 8,13° |
Rechenweg
Gleichsetzen
In einem Schnittpunkt haben beide Graphen denselben y-Wert. Deshalb setzt Du die Funktionsterme gleich.
\[f(x) = g(x)\]\[x^{2} - 3\,x + 2 = 2\,x - 4\]Alles auf eine Seite bringen
Die Schnittstellen sind die Nullstellen der Differenzfunktion h(x) = f(x) − g(x).
\[h(x) = f(x) - g(x) = x^{2} - 5\,x + 6\]\[x^{2} - 5\,x + 6 = 0\]Gleichung lösen
Die Lösungen sind die Schnittstellen.
\[x_1 = 2,\quad x_2 = 3\]y-Werte berechnen
Setze die Schnittstellen in einen der beiden Funktionsterme ein (beide liefern denselben Wert).
\[g(2) = 0\quad\Rightarrow\quad S_1\left(2 \,\middle|\, 0\right)\]\[g(3) = 2\quad\Rightarrow\quad S_2\left(3 \,\middle|\, 2\right)\]Schnittwinkel
Der Schnittwinkel ist der Winkel zwischen den Tangenten im Schnittpunkt. Aus den Steigungen m bekommst Du die Steigungswinkel α = arctan(m). Der Schnittwinkel ist ihr Unterschied – ist er größer als 90°, nimmst Du 180° minus diesen Wert.
\[f'(2) = 1,\quad g'(2) = 2\]\[\alpha_f = \arctan(1) \approx 45^\circ,\quad \alpha_g = \arctan(2) \approx 63{,}43^\circ\]\[\varphi_1 = \left|\alpha_f - \alpha_g\right| \approx 18{,}43^\circ\]\[f'(3) = 3,\quad g'(3) = 2\]\[\alpha_f = \arctan(3) \approx 71{,}57^\circ,\quad \alpha_g = \arctan(2) \approx 63{,}43^\circ\]\[\varphi_2 = \left|\alpha_f - \alpha_g\right| \approx 8{,}13^\circ\]
Graph
So berechnest Du Schnittpunkte
In einem Schnittpunkt haben beide Graphen dieselbe Stelle $x$ und denselben Funktionswert. Deshalb gehst Du immer gleich vor:
- Gleichsetzen: $f(x) = g(x)$.
- Auf eine Seite bringen: $f(x) - g(x) = 0$. Die Schnittstellen sind die Nullstellen der Differenzfunktion $h(x) = f(x) - g(x)$.
- Lösen – mit dem passenden Verfahren: pq-Formel, Ausklammern, Polynomdivision, Substitution, Logarithmieren (siehe Nullstellen berechnen).
- y-Werte: Setze jede Schnittstelle in $f$ oder $g$ ein – beide liefern dasselbe. Nimm den einfacheren Term.
Beispiel: Parabel und Gerade
$f(x) = x^2 - 3x + 2$ und $g(x) = 2x - 4$.
1. $x^2 - 3x + 2 = 2x - 4$
2. $x^2 - 5x + 6 = 0$
3. pq-Formel: $x_{1,2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - 6} = \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2}$, also $x_1 = 2$ und $x_2 = 3$.
4. $g(2) = 0$ und $g(3) = 2$, also $S_1(2 \mid 0)$ und $S_2(3 \mid 2)$.
Schneiden, berühren oder nichts?
Bei Parabel und Gerade entsteht eine quadratische Gleichung. Ihre Diskriminante entscheidet: zwei Lösungen = zwei Schnittpunkte, eine (doppelte) Lösung = die Gerade berührt die Parabel (sie ist dort eine Tangente), keine Lösung = kein gemeinsamer Punkt.
Wenn sich die Gleichung nicht exakt lösen lässt
Gleichungen wie $e^x = x + 2$ kann man mit Schulmitteln nicht nach $x$ auflösen. Dann bestimmst Du die Schnittstellen näherungsweise: mit dem Taschenrechner (Graph, Schnittpunkt-Funktion), der Intervallhalbierung oder dem Newton-Verfahren, angewendet auf $h(x) = f(x) - g(x)$. Der Rechner oben macht das automatisch und kennzeichnet gerundete Werte mit $\approx$.
Schnittwinkel
Der Schnittwinkel zweier Graphen ist der Winkel zwischen ihren Tangenten im Schnittpunkt. Aus den Steigungen $m_1 = f'(x_S)$ und $m_2 = g'(x_S)$ bekommst Du die Steigungswinkel $\alpha_1 = \arctan(m_1)$ und $\alpha_2 = \arctan(m_2)$. Der Schnittwinkel ist
Gleichwertig ist die Formel $\tan \varphi = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right|$. Ist $m_1 \cdot m_2 = -1$, schneiden sich die Graphen senkrecht ($90^\circ$).
Beispiel
Im Schnittpunkt $S_2(3 \mid 2)$ von oben ist $f'(3) = 2 \cdot 3 - 3 = 3$ und $g'(3) = 2$. Dann ist $\alpha_1 = \arctan(3) \approx 71{,}57^\circ$ und $\alpha_2 = \arctan(2) \approx 63{,}43^\circ$, also $\varphi \approx 8{,}13^\circ$.
Typische Fehler
Darauf achten
- Nur die x-Werte angegeben – ein Schnittpunkt hat immer zwei Koordinaten.
- Durch $x$ geteilt statt ausgeklammert: Bei $x^3 = 4x$ geht so die Lösung $x = 0$ verloren.
- Beim Schnittwinkel den Winkel zur x-Achse angegeben statt den Winkel zwischen den beiden Graphen.
- Taschenrechner im Bogenmaß statt im Gradmaß – dann kommt bei $\arctan$ ein falscher Wert heraus.
Übungsaufgaben
Stufe 1: Parabel und Gerade
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Aufgabe 1
\(f(x) = x^{2} + 8x + 9,\) \(g(x) = x - 1:\) Schnittpunkte\(x^{2} + 7x + 10\) \(= (x + 5)(x + 2)\) \(= 0\) \(\Rightarrow\ S_1(-5 \mid -6),\) \(S_2(-2 \mid -3)\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = x^{2} - 5x - 2,\) \(g(x) = -4x + 4:\) Schnittpunkte\(x^{2} - x - 6\) \(= (x + 2)(x - 3)\) \(= 0\) \(\Rightarrow\ S_1(-2 \mid 12),\) \(S_2(3 \mid -8)\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = 2x^{2} + 3x - 15,\) \(g(x) = -3x + 5:\) Schnittpunkte\(2x^{2} + 6x - 20\) \(= 2(x + 5)(x - 2)\) \(= 0\) \(\Rightarrow\ S_1(-5 \mid 20),\) \(S_2(2 \mid -1)\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = -2x^{2} - x + 27,\) \(g(x) = 3x - 3:\) Schnittpunkte\(-2x^{2} - 4x + 30\) \(= -2(x + 5)(x - 3)\) \(= 0\) \(\Rightarrow\ S_1(-5 \mid -18),\) \(S_2(3 \mid 6)\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = x^{2} - 2x + 4,\) \(g(x) = x + 2:\) Schnittpunkte\(x^{2} - 3x + 2\) \(= (x - 1)(x - 2)\) \(= 0\) \(\Rightarrow\ S_1(1 \mid 3),\) \(S_2(2 \mid 4)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Schnittpunkte zweier Funktionen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–12.
Nur die Schnittpunkte mit der x-Achse? Dafür gibt es den Nullstellenrechner. Die Fläche zwischen zwei Graphen berechnet der Rechner auf der Seite Fläche zwischen Graphen – dort brauchst Du die Schnittstellen als Integrationsgrenzen.