Rechner für lineare DGL-Systeme
Gib die Matrix $A$ des Systems $\dot{\vec x} = A\vec x$ ein, also $\dot x = a\,x + b\,y$ und $\dot y = c\,x + d\,y$. Der Rechner bestimmt die Eigenwerte, ordnet den Gleichgewichtspunkt $(0 \mid 0)$ ein, stellt das Fundamentalsystem auf und löst auf Wunsch das Anfangswertproblem. Das Phasenporträt zeigt, wie die Lösungen verlaufen.
So rechnet der Rechner
| Schritt | Was passiert |
|---|---|
| Eigenwerte | Aus $\operatorname{sp} A$ und $\det A$ entsteht $\lambda^2 - \operatorname{sp}(A)\lambda + \det A = 0$; die Diskriminante $\Delta$ entscheidet zwischen zwei reellen, einem doppelten und zwei komplexen Eigenwerten. |
| Typ | Sattel ($\det < 0$), Knoten ($\Delta > 0$), Strudel ($\Delta < 0$), Zentrum ($\operatorname{sp} = 0$), Stern bzw. entarteter Knoten ($\Delta = 0$); stabil, wenn alle Realteile negativ sind. |
| Fundamentalsystem | Eigenvektoren bzw. Hauptvektor (doppelter Eigenwert) oder Real- und Imaginärteil der komplexen Lösung. Zur Probe werden beide Basislösungen in $\dot{\vec x} = A\vec x$ eingesetzt. |
| Anfangswert | $C_1$ und $C_2$ aus einem linearen Gleichungssystem; das Ergebnis wird bei $t = 1$ mit dem Runge-Kutta-Verfahren verglichen. |
Die Erklärung mit Beispielen und Übungen findest Du unter Lineare DGL-Systeme – dort gibt es auch ein interaktives Phasenporträt für nichtlineare Systeme. Eigenwerte größerer Matrizen berechnet der Eigenwert-Rechner, einzelne Differentialgleichungen der DGL-Rechner.
Weiterlesen: Eigenwertproblem bei Wikipedia
Passt dazu
ErklärungLineare DGL-Systeme – Eigenwerte, Phasenporträt und StabilitätSysteme x′ = A·x mit dem Eigenwert-Ansatz lösen – reelle, doppelte und komplexe Eigenwerte, Fundamentalsystem, Knoten, Sattel, Strudel und Zentrum, Spur-Determinanten-Diagramm, Linearisierung und interaktives Phasenporträt.RechnerEigenwert-Rechner – Eigenwerte und Eigenvektoren mit RechenwegCharakteristisches Polynom, Eigenwerte (auch mit Wurzeln oder komplex), Eigenvektoren mit Zeilenstufenform und Diagonalisierung für 2×2- und 3×3-Matrizen.RechnerDGL-Rechner – Differentialgleichungen mit Rechenweg und AnfangswertproblemGewöhnliche Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung lösen – mit Typ-Erkennung, Lösungsweg, Anfangs- oder Randwerten, Probe und Graph.ÜbungenBrückenkurs Mathe – fit fürs Studium mit Mathe-Check und LernpfadMathe-Check mit 22 Aufgaben und ein Lernpfad in zehn Stationen von Bruchrechnung bis Integral – mit Häkchen für Deinen Fortschritt.ErklärungSummenzeichen und Produktzeichen – Regeln, Indexverschiebung, SummenformelnΣ und Π lesen und umformen – Rechenregeln, Indexverschiebung, Gaußsche Summenformel, geometrische Summe und Teleskopsumme.ErklärungMengen und Aussagenlogik – Schreibweisen, Intervalle, Junktoren, QuantorenMengen und Zahlenbereiche, Intervalle, Schnitt, Vereinigung und Komplement, Wahrheitstafeln, Implikation und Quantoren richtig verneinen.
Anzeige