Kubische Gleichungen lösen
Eine kubische Gleichung (Gleichung 3. Grades) hat die Form $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ mit $a \neq 0$. Eine Formel wie die p-q-Formel brauchst Du dafür fast nie: In der Schule lassen sich kubische Gleichungen mit drei Werkzeugen lösen – Ausklammern, Wurzelziehen und Raten mit anschließender Polynomdivision. Welches passt, siehst Du der Gleichung an.
Wie viele Lösungen gibt es?
Die Lösungen sind die Nullstellen des Graphen von $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Für sehr große $x$ wird $ax^3$ riesig – auf der einen Seite positiv, auf der anderen negativ. Der Graph muss also mindestens einmal die x-Achse kreuzen. Eine kubische Gleichung hat darum mindestens eine und höchstens drei reelle Lösungen.
Berührt der Graph die x-Achse nur (wie bei $x = 1$ in der Mitte), ist das eine doppelte Lösung: Der Faktor $(x - 1)$ steckt zweimal im Term.
Fall 1: Es fehlt das absolute Glied – $x$ ausklammern
Steht kein $x$-freier Summand da ($d = 0$), klammerst Du $x$ aus. Ein Produkt ist $0$, wenn ein Faktor $0$ ist (Satz vom Nullprodukt).
Beispiel: $2x^3 - 6x^2 - 8x = 0$
$\begin{aligned} 2x \cdot (x^2 - 3x - 4) &= 0 \\ x_1 &= 0 \quad\text{oder}\quad x^2 - 3x - 4 = 0 \end{aligned}$
Mit der p-q-Formel: $x = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \frac{3}{2} \pm \frac{5}{2}$, also $x_2 = 4$ und $x_3 = -1$. Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-1;\ 0;\ 4\}$.
Typischer Fehler: Bei $x^3 = 9x$ durch $x$ teilen. Dabei geht die Lösung $x = 0$ verloren. Richtig: $x^3 - 9x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 9) = 0 \Rightarrow x \in \{-3;\ 0;\ 3\}$.
Fehlen sogar $cx$ und $d$, klammerst Du $x^2$ aus: $x^3 + 5x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x + 5) = 0$, Lösungen $0$ (doppelt) und $-5$.
Fall 2: Reine kubische Gleichung – dritte Wurzel
Kommt nur $x^3$ und eine Zahl vor, stellst Du nach $x^3$ um und ziehst die dritte Wurzel. Anders als bei der Quadratwurzel klappt das auch mit negativen Zahlen, und es gibt genau eine reelle Lösung.
$3x^3 + 81 = 0 \;\Rightarrow\; x^3 = -27 \;\Rightarrow\; x = \sqrt[3]{-27} = -3$, denn $(-3)^3 = -27$.
$x^3 = 20 \;\Rightarrow\; x = \sqrt[3]{20} \approx 2{,}71$
Fall 3: Lösung raten, dann Polynomdivision
Sind alle vier Summanden da, suchst Du zuerst eine Lösung durch Probieren. Hat die Gleichung ganzzahlige Koeffizienten und $a = 1$, ist jede ganzzahlige Lösung ein Teiler von $d$. Du musst also nur wenige Zahlen einsetzen.
Beispiel: $x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = 0$. Kandidaten (Teiler von 8): $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4,\ \pm 8$.
$x = 1$: $\ 1 - 3 - 6 + 8 = 0$ ✓ – also ist $(x - 1)$ ein Faktor.
Polynomdivision: $(x^3 - 3x^2 - 6x + 8) : (x - 1) = x^2 - 2x - 8$
Rest-Gleichung: $x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4$ oder $x = -2$. Ergebnis: $\mathbb{L} = \{-2;\ 1;\ 4\}$.
Schneller als die Division ist oft das Horner-Schema. Es prüft die geratene Zahl und liefert gleichzeitig die Koeffizienten des Restpolynoms:
| $x^3$ | $x^2$ | $x$ | Zahl | |
|---|---|---|---|---|
| Koeffizienten | 1 | −3 | −6 | 8 |
| $+\ 1 \cdot$ (Ergebnis davor) | 1 | −2 | −8 | |
| Ergebnis | 1 | −2 | −8 | 0 |
Die $0$ ganz rechts heißt: $x = 1$ ist eine Lösung. Die Zahlen davor ergeben das Restpolynom $x^2 - 2x - 8$.
Faktor vor $x^3$? Dann kommen auch Brüche $\frac{p}{q}$ in Frage, wobei $p$ ein Teiler von $d$ und $q$ ein Teiler von $a$ ist. Probiere aber zuerst die ganzen Zahlen. Bei $2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 = 0$ passt $x = 2$ ($16 - 12 - 6 + 2 = 0$). Die Division ergibt $2x^2 + x - 1$, und daraus folgen $x = \frac{1}{2}$ und $x = -1$.
Sonderfälle
- Nur eine Lösung: $x^3 + x + 2 = 0$ hat die Lösung $x = -1$. Nach der Division bleibt $x^2 - x + 2 = 0$ mit negativer Diskriminante ($1 - 8 < 0$) – keine weitere Lösung.
- Doppelte Lösung: Bei $x^3 - 3x + 2 = 0$ passt $x = 1$, der Rest $x^2 + x - 2 = 0$ liefert noch einmal $1$ und $-2$. Die Lösungsmenge ist $\{-2;\ 1\}$ – doppelte Lösungen schreibst Du nur einmal hin.
- Terme auf beiden Seiten: Bei $x^3 + 2x^2 = 5x + 6$ bringst Du erst alles auf eine Seite: $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0$.
- Keine „glatte“ Lösung: Klappt kein Teiler, helfen ein Näherungsverfahren wie das Newton-Verfahren, der Nullstellenrechner – oder die Formel von Cardano.
Für Interessierte: die Formel von Cardano
Für kubische Gleichungen gibt es tatsächlich eine Lösungsformel. Sie ist nach Gerolamo Cardano benannt, der sie 1545 veröffentlichte (Cardanische Formeln). In der Schule brauchst Du sie nicht – aber sie zeigt schön, wie man eine schwere Gleichung Schritt für Schritt vereinfacht.
- Normieren: Teile durch $a$, dann lautet die Gleichung $x^3 + bx^2 + cx + d = 0$.
- Quadratisches Glied beseitigen: Setze $x = t - \frac{b}{3}$ ein. Nach dem Ausmultiplizieren fällt $t^2$ weg, und es bleibt die reduzierte Form $t^3 + pt + q = 0$.
- Diskriminante: $D = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3$.
- Ist $D > 0$, gibt es genau eine reelle Lösung: $t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{D}}$. Zum Schluss $x = t - \frac{b}{3}$.
Beispiel: $t^3 + 3t - 14 = 0$, also $p = 3$ und $q = -14$ (hier ist schon $b = 0$).
$D = (-7)^2 + 1^3 = 50$, $\sqrt{D} \approx 7{,}071$
$t = \sqrt[3]{7 + 7{,}071} + \sqrt[3]{7 - 7{,}071} \approx 2{,}414 + (-0{,}414) = 2$. Probe: $8 + 6 - 14 = 0$ ✓
Ist $D = 0$, gibt es eine doppelte Lösung (oder bei $p = q = 0$ die dreifache Lösung $0$). Ist $D < 0$, hat die Gleichung drei verschiedene reelle Lösungen – die Formel kommt dann aber nur über komplexe Zahlen ans Ziel. Dafür nimmt man in der Praxis eine Darstellung mit dem Kosinus oder ein Näherungsverfahren.
Online üben
Gib alle Lösungen mit Semikolon getrennt ein, zum Beispiel -2; 1; 4. Brüche schreibst Du als 1/2.
Stufe 1: Ausklammern und reine Form
-
Aufgabe 1
\(-x^3 - 4x^2 + 12x = 0\)\(x =\)\(L = \{-6;\ 0;\ 2\}\)
-
Aufgabe 2
\(-x^3 - 10x^2 - 24x = 0\)\(x =\)\(L = \{-6;\ -4;\ 0\}\)
-
Aufgabe 3
\(2x^3 - 6x^2 - 36x = 0\)\(x =\)\(L = \{-3;\ 0;\ 6\}\)
-
Aufgabe 4
\(-x^3 - 2x^2 + 8x = 0\)\(x =\)\(L = \{-4;\ 0;\ 2\}\)
-
Aufgabe 5
\(x^3 + 3x^2 = 0\)\(x =\)\(L = \{-3;\ 0\}\)
-
Aufgabe 6
\(x^3 + x^2 = 0\)\(x =\)\(L = \{-1;\ 0\}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Kubische Gleichungen lösen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–11.
Weitere Verfahren für Gleichungen ab Grad 3 – etwa die Substitution bei $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ – findest Du bei den Gleichungen höheren Grades. Nachrechnen kannst Du mit dem Polynomdivisions-Rechner.
Weiterlesen: Kubische Gleichung bei Wikipedia