Vierecke konstruieren
Ein Viereck konstruierst Du mit Lineal, Geodreieck und Zirkel aus wenigen gegebenen Stücken – Seiten, Winkeln oder Diagonalen. Hier siehst Du für Parallelogramm, Raute, Drachenviereck und Trapez jeweils eine Konstruktion zum Durchklicken. Jeder Schritt ist gleich so formuliert, wie Du ihn in eine Konstruktionsbeschreibung schreiben kannst. Unten kannst Du testen, ob Du die Reihenfolge und das passende Werkzeug kennst.
Wie viele Stücke brauchst Du?
Ein beliebiges Viereck zerfällt durch eine Diagonale in zwei Dreiecke. Für das erste Dreieck brauchst Du drei Stücke, für das zweite – das ja schon eine Seite mitbekommt – noch zwei. Ein allgemeines Viereck ist also durch fünf passende Stücke festgelegt. Besondere Vierecke haben gleiche Seiten, gleiche Winkel oder parallele Seiten; deshalb reichen weniger Angaben.
| Viereck | Stücke | zum Beispiel | was Du ausnutzt |
|---|---|---|---|
| Quadrat | 1 | a | alle Seiten gleich, alle Winkel 90° |
| Rechteck | 2 | a, b | alle Winkel 90° |
| Raute | 2 | a, α oder e, f | alle Seiten gleich; Diagonalen halbieren sich senkrecht |
| Parallelogramm | 3 | a, b, α | Gegenseiten gleich lang und parallel |
| Drachenviereck | 3 | e, a, b | eine Diagonale ist Symmetrieachse |
| gleichschenkliges Trapez | 3 | a, c, h | symmetrisch zur Mittelsenkrechten von a |
| Trapez | 4 | a, α, d, c | a und c sind parallel |
| allgemeines Viereck | 5 | a, b, c, d, e | zwei Dreiecke mit der gemeinsamen Diagonale e |
Erst die Planfigur
Skizziere vorher ein Viereck ABCD mit den Ecken gegen den Uhrzeigersinn und markiere farbig, was gegeben ist. Dann siehst Du, welches Dreieck Du zuerst konstruieren kannst – oft eines aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (SWS) oder aus drei Seiten (SSS). Wie das geht, steht unter Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.
Parallelogramm aus a, b und α
Im Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Deshalb liegt C genau dort, wo der Bogen um B mit dem Radius b den Bogen um D mit dem Radius a schneidet. Statt der zwei Bögen kannst Du auch mit dem Geodreieck Parallelen zu AB durch D und zu AD durch B zeichnen.
- Gegeben: a = 6 cm, b = 3,5 cm, α = 60°. Zeichne die Seite a = AB.
- Trage in A mit dem Geodreieck den Winkel α = 60° an und zeichne einen langen Strahl.
- Stich mit dem Zirkel in A ein und schlage einen Bogen mit dem Radius b = 3,5 cm. Er schneidet den Strahl in D.
- Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang: Schlage um B einen Bogen mit dem Radius b = 3,5 cm.
- Schlage um D einen Bogen mit dem Radius a = 6 cm. Wo sich die beiden Bögen schneiden, liegt C.
- Verbinde A mit D, B mit C und C mit D. Das Parallelogramm ABCD ist fertig.
Raute aus a und α
Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten. Du stellst den Zirkel einmal auf a ein und brauchst ihn danach nicht mehr zu verstellen.
- Gegeben: a = 4,5 cm, α = 55°. Zeichne die Seite AB = a.
- Trage in A den Winkel α = 55° an und zeichne einen Strahl.
- In der Raute sind alle Seiten gleich lang. Schlage um A einen Bogen mit dem Radius a – er schneidet den Strahl in D.
- Schlage mit derselben Zirkelöffnung a einen Bogen um B und einen um D. Ihr Schnittpunkt ist C.
- Verbinde A mit D, B mit C und C mit D. Die Raute ABCD ist fertig.
Sind statt der Seite die beiden Diagonalen e und f gegeben, zeichnest Du e, konstruierst ihre Mittelsenkrechte und trägst auf ihr von der Mitte aus nach beiden Seiten f : 2 ab.
Drachenviereck aus e, a und b
Beim Drachenviereck ist die Diagonale AC eine Symmetrieachse: Die beiden Seiten an A sind gleich lang (a) und die beiden Seiten an C (b). Darum beginnst Du mit der Diagonale und findest B und D als Schnittpunkte von Kreisbögen – wie bei zwei Dreiecken nach SSS, die an AC gespiegelt sind.
- Gegeben: Diagonale e = AC = 7 cm, a = AB = AD = 3,5 cm, b = CB = CD = 5 cm. Zeichne die Diagonale AC.
- Stich in A ein und schlage mit dem Radius a = 3,5 cm je einen Bogen oberhalb und unterhalb von AC.
- Stich in C ein und schlage mit dem Radius b = 5 cm ebenfalls zwei Bögen. Die Schnittpunkte sind B (unten) und D (oben).
- Verbinde A und C mit B und D. AC ist die Symmetrieachse; die Diagonale BD steht senkrecht auf ihr.
Nicht jede Angabe passt
Die Bögen um A und C schneiden sich nur, wenn $|a - b| < e < a + b$ gilt – das ist die Dreiecksungleichung für das Dreieck ABC. Bei e = 9 cm, a = 3 cm und b = 5 cm gibt es kein Drachenviereck.
Trapez aus a, α, d und c
Im Trapez sind die Grundseite a und die Gegenseite c parallel. Nach dem Dreieck aus a, α und d fehlt nur noch die Parallele durch D, auf der Du c abträgst.
- Gegeben: a = 7 cm, α = 65°, d = 3,5 cm, c = 3,5 cm (c parallel zu a). Zeichne die Grundseite a = AB.
- Trage in A den Winkel α = 65° an und zeichne einen Strahl.
- Schlage um A einen Bogen mit dem Radius d = 3,5 cm. Er schneidet den Strahl in D.
- Zeichne mit dem Geodreieck durch D die Parallele zu AB.
- Schlage um D einen Bogen mit dem Radius c = 3,5 cm. Er schneidet die Parallele in C.
- Verbinde A mit D, D mit C und C mit B. Das Trapez ABCD ist fertig.
Beim gleichschenkligen Trapez sind die Schenkel gleich lang und die Basiswinkel gleich groß. Ist zum Beispiel die Höhe h gegeben, zeichnest Du die Parallele zu a im Abstand h und trägst c symmetrisch zur Mittelsenkrechten von a ab.
Die Konstruktionsbeschreibung
So schreibst Du sie auf
- Beginne mit einem Stück, das Du direkt zeichnen kannst, meist einer Seite: „Zeichne die Strecke AB mit a = 6 cm.“
- Schreib bei jedem Schritt, wo Du einstichst oder anlegst und wie groß Radius oder Winkel sind: „Schlage um B einen Kreisbogen mit dem Radius 3,5 cm.“
- Benenne neue Punkte, sobald sie entstehen: „Der Schnittpunkt der Bögen ist C.“
- Zum Schluss: „Verbinde …“ und – wenn es gefragt ist – ob die Lösung eindeutig ist.
Übung: Schritte ordnen und Werkzeug wählen
Die Schritte einer Konstruktion sind durcheinandergeraten. Gib jedem Schritt seine Nummer und wähle das Werkzeug, mit dem Du ihn ausführst. Mit „Prüfen“ siehst Du, was schon stimmt. Ist alles richtig, sortiert sich die Liste zur fertigen Konstruktionsbeschreibung.
Parallelogramm aus a = 6 cm, b = 3,5 cm, α = 60°
- Seite a = AB zeichnen
- Bogen um D mit r = a
- In A den Winkel α = 60° antragen
- Bogen um B mit r = b
- C (Schnitt der Bögen) mit B und D verbinden
- Bogen um A mit r = b – Schnittpunkt mit dem Schenkel ist D
Lösung: Konstruktionsbeschreibung
- Seite a = AB zeichnen – Lineal oder Geodreieck
- In A den Winkel α = 60° antragen – Geodreieck
- Bogen um A mit r = b – Schnittpunkt mit dem Schenkel ist D – Zirkel
- Bogen um B mit r = b – Zirkel
- Bogen um D mit r = a – Zirkel
- C (Schnitt der Bögen) mit B und D verbinden – Lineal oder Geodreieck
Die Schritte 4 und 5 darfst Du auch vertauschen.
Raute aus a = 4,5 cm, α = 55°
- C mit B und D verbinden
- Bogen um A mit r = a – Schnittpunkt mit dem Schenkel ist D
- In A den Winkel α = 55° antragen
- Bögen um B und um D mit r = a – Schnittpunkt ist C
- Seite AB = a zeichnen
Lösung: Konstruktionsbeschreibung
- Seite AB = a zeichnen – Lineal oder Geodreieck
- In A den Winkel α = 55° antragen – Geodreieck
- Bogen um A mit r = a – Schnittpunkt mit dem Schenkel ist D – Zirkel
- Bögen um B und um D mit r = a – Schnittpunkt ist C – Zirkel
- C mit B und D verbinden – Lineal oder Geodreieck
Drachenviereck aus e = AC = 7 cm, a = 3,5 cm, b = 5 cm
- Bögen um C mit r = b auf beiden Seiten von AC
- Diagonale e = AC zeichnen
- Bögen um A mit r = a auf beiden Seiten von AC
- Schnittpunkte B und D mit A und C verbinden
Lösung: Konstruktionsbeschreibung
- Diagonale e = AC zeichnen – Lineal oder Geodreieck
- Bögen um A mit r = a auf beiden Seiten von AC – Zirkel
- Bögen um C mit r = b auf beiden Seiten von AC – Zirkel
- Schnittpunkte B und D mit A und C verbinden – Lineal oder Geodreieck
Die Schritte 2 und 3 darfst Du auch vertauschen.
Trapez aus a = 7 cm, α = 65°, d = 3,5 cm, c = 3,5 cm
- Parallele zu AB durch D zeichnen
- Bogen um A mit r = d – Schnittpunkt mit dem Schenkel ist D
- C mit B verbinden
- Bogen um D mit r = c – Schnittpunkt mit der Parallelen ist C
- Grundseite a = AB zeichnen
- In A den Winkel α = 65° antragen
Lösung: Konstruktionsbeschreibung
- Grundseite a = AB zeichnen – Lineal oder Geodreieck
- In A den Winkel α = 65° antragen – Geodreieck
- Bogen um A mit r = d – Schnittpunkt mit dem Schenkel ist D – Zirkel
- Parallele zu AB durch D zeichnen – Geodreieck
- Bogen um D mit r = c – Schnittpunkt mit der Parallelen ist C – Zirkel
- C mit B verbinden – Lineal oder Geodreieck
Typische Fehler
- Die Ecken im Uhrzeigersinn benennen – üblich ist ABCD gegen den Uhrzeigersinn, mit a = AB, b = BC, c = CD und d = DA.
- Den Zirkel für den zweiten Bogen nicht neu einstellen: Beim Parallelogramm gehört um B der Radius b und um D der Radius a.
- Beim Trapez die Parallele frei Hand zeichnen – nimm das Geodreieck (Parallele im Abstand oder über die Hilfslinien).
- Den Winkel an der falschen Seite antragen: α liegt bei A, zwischen den Seiten a und d.
Online üben
Winkel in besonderen Vierecken, die Zahl der nötigen Stücke, das passende Werkzeug und die Frage „Gibt es dieses Viereck überhaupt?“ – mit neuen Aufgaben bei jedem Klick.
Stufe 1: Winkel in Parallelogramm und Raute
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Aufgabe 1
\(\text{Raute } ABCD:\ \alpha = 70^\circ.\) Wie groß ist \(\delta?\)\(δ =\)°\(\delta = 180^\circ - \alpha = 110^\circ\ (\)benachbarte Winkel ergänzen sich zu \(180^\circ)\)
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Aufgabe 2
\(\text{Raute } ABCD:\ \alpha = 140^\circ.\) Wie groß ist \(\gamma?\)\(γ =\)°\(\gamma = \alpha = 140^\circ\ (\)gegenüberliegende Winkel sind gleich\()\)
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Aufgabe 3
\(\text{Raute } ABCD:\ \alpha = 130^\circ.\) Wie groß ist \(\gamma?\)\(γ =\)°\(\gamma = \alpha = 130^\circ\ (\)gegenüberliegende Winkel sind gleich\()\)
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Aufgabe 4
\(\text{Raute } ABCD:\ \alpha = 75^\circ.\) Wie groß ist \(\delta?\)\(δ =\)°\(\delta = 180^\circ - \alpha = 105^\circ\ (\)benachbarte Winkel ergänzen sich zu \(180^\circ)\)
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Aufgabe 5
Parallelogramm \(ABCD:\ \alpha = 40^\circ.\) Wie groß ist \(\beta?\)\(β =\)°\(\beta = 180^\circ - \alpha = 140^\circ\ (\)benachbarte Winkel ergänzen sich zu \(180^\circ)\)
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Aufgabe 6
\(\text{Raute } ABCD:\ \alpha = 35^\circ.\) Wie groß ist \(\gamma?\)\(γ =\)°\(\gamma = \alpha = 35^\circ\ (\)gegenüberliegende Winkel sind gleich\()\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Vierecke: Winkel, Stücke und Konstruktion
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–8.
Arbeitsblatt: Konstruieren mit Zirkel und Lineal
Zum Konstruieren auf Papier: Dreiecke in Originalgröße mit Platz zum Zeichnen und einem Lösungsblatt mit allen Zirkelbögen. Klasse 5–8.
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