Betragsungleichungs-Rechner
Gib eine Ungleichung oder Gleichung mit Betragsstrichen ein, etwa $|2x - 3| < 5$ oder $|x - 1| + |x + 2| \leq 5$. Der Rechner findet die kritischen Stellen, löst jeden Fall einzeln und setzt die Lösungsmenge als Intervall zusammen.
So geht die Fallunterscheidung
Der Betrag macht aus jeder Zahl ihren Abstand zur Null: $|T| = T$, wenn $T \geq 0$ ist, und $|T| = -T$, wenn $T < 0$ ist. Darum ändert sich der Term an der Stelle, an der $T = 0$ wird – der kritischen Stelle.
- Kritische Stellen bestimmen: Jeden Term zwischen den Betragsstrichen gleich $0$ setzen.
- Bereiche bilden: $n$ kritische Stellen teilen die Zahlengerade in $n + 1$ Fälle.
- Jeden Fall lösen: Im Fall hat jeder Betragsinhalt ein festes Vorzeichen. Die Betragsstriche fallen weg (bei negativem Inhalt mit Minus davor), übrig bleibt eine lineare Ungleichung.
- Mit dem Fall schneiden: Nur Lösungen, die im Bereich des Falls liegen, zählen.
- Vereinigen: Die Lösungsmenge ist die Vereinigung aller Teil-Lösungen.
Beispiel: $2|x - 1| > x + 1$. Kritische Stelle: $x = 1$.
Fall 1 ($x < 1$): $-2(x - 1) > x + 1 \Rightarrow -3x > -1 \Rightarrow x < \frac{1}{3}$. Im Fall: $x < \frac{1}{3}$.
Fall 2 ($x \geq 1$): $2(x - 1) > x + 1 \Rightarrow x > 3$. Im Fall: $x > 3$.
$\mathbb{L} = \left]-\infty;\ \frac{1}{3}\right[ \cup \left]3;\ \infty\right[$
Abkürzung bei einem Betrag und einer Zahl
Steht auf einer Seite nur $|x - a|$ und auf der anderen eine positive Zahl $r$, kannst Du ohne Fälle rechnen. $|x - a|$ ist der Abstand von $x$ zu $a$:
| Ungleichung | Bedeutung | Lösungsmenge |
|---|---|---|
| $|x - a| < r$ | Abstand zu $a$ kleiner als $r$ | $\left]a - r;\ a + r\right[$ |
| $|x - a| \leq r$ | Abstand höchstens $r$ | $\left[a - r;\ a + r\right]$ |
| $|x - a| > r$ | Abstand größer als $r$ | $\left]-\infty;\ a - r\right[ \cup \left]a + r;\ \infty\right[$ |
| $|x - a| = r$ | Abstand genau $r$ | $\{a - r;\ a + r\}$ |
Beispiel: $|x + 4| \leq 3$ heißt „Abstand zu $-4$ höchstens 3“, also $\mathbb{L} = [-7;\ -1]$. Ist $r$ negativ, gibt es bei $<$ und $\leq$ keine Lösung, bei $>$ und $\geq$ gehört jede Zahl dazu – ein Betrag ist ja nie negativ.
Schreibweise der Lösungsmenge
Der Rechner gibt die Lösung in Intervallschreibweise und als Ungleichung an. Eckige Klammer nach innen ($[\,$ bzw. $\,]$) heißt „Grenze gehört dazu“, nach außen gedreht heißt „Grenze gehört nicht dazu“. Unendlich gehört nie dazu. Mehrere Teile verbindet das Zeichen $\cup$ („oder“). Mehr dazu bei den Ungleichungen.
Online üben
Gib die Lösungsmenge als Intervall ein, z. B. ]-2; 3], oder als Ungleichung, z. B. x < -1 oder x > 4. Bei Gleichungen trennst Du die Lösungen mit Semikolon.
Stufe 1: |x + b| mit einer Zahl vergleichen
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Aufgabe 1
\(\left|x + 3\right| \leq 9\)\(L =\)\(L = [-12;\,6]\)
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Aufgabe 2
\(\left|x + 4\right| \geq 1\)\(L =\)\(L = ]-\infty;\,-5] \cup [-3;\,\infty[\)
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Aufgabe 3
\(\left|x - 2\right| = 8\)\(x =\)\(L = \{-6;\ 10\}\)
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Aufgabe 4
\(\left|x - 1\right| \geq 6\)\(L =\)\(L = ]-\infty;\,-5] \cup [7;\,\infty[\)
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Aufgabe 5
\(\left|x + 8\right| \leq 6\)\(L =\)\(L = [-14;\,-2]\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Betragsungleichungen und Betragsgleichungen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–12.
Die Erklärung mit vielen Beispielen findest Du bei Betragsgleichungen und Betragsungleichungen. Ungleichungen ohne Betrag – quadratische und Bruchungleichungen – löst der Ungleichungs-Rechner; die Grundlagen stehen bei den quadratischen Ungleichungen und Bruchungleichungen.