Kreis-Rechner im Koordinatensystem
Gib einen Kreis mit Mittelpunkt und Radius oder als Gleichung ein (oder drei Punkte, durch die er gehen soll) und wähle, was berechnet werden soll. Der Rechner rechnet mit Brüchen exakt, zeigt jeden Schritt und zeichnet eine Skizze.
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So rechnet der Rechner
| Frage | Weg |
|---|---|
| Kreisgleichung | Mittelpunktform $(x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 = r^2$; aus $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ mit quadratischer Ergänzung |
| Punkt | $|MP|^2$ mit $r^2$ vergleichen: kleiner – innen, gleich – auf dem Kreis, größer – außen |
| Kreis und Gerade | Gerade nach y auflösen, in die Kreisgleichung einsetzen, p-q-Formel: zwei, eine oder keine Lösung (Sekante, Tangente, Passante); Probe mit dem Abstand $d = \frac{|a x_M + b y_M - c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ |
| Tangente in P (auf k) | $\overrightarrow{MP}$ ist Normalenvektor: $(x_P - x_M)(x - x_M) + (y_P - y_M)(y - y_M) = r^2$ |
| Tangenten von P (außen) | Polare von P mit dem Kreis schneiden → Berührpunkte B₁, B₂; Tangenten mit Normalenvektor $\overrightarrow{MB}$; Tangentenabschnitt $\sqrt{|MP|^2 - r^2}$ |
| Polare | Gleiche Gleichung wie die Tangente, mit P statt B; Abstand von M: $\frac{r^2}{|MP|}$ |
| Potenzgerade | Allgemeine Formen voneinander abziehen; Schnitt mit $k_1$ liefert die gemeinsamen Punkte der Kreise |
| Kreis durch drei Punkte | Mittelsenkrechten von AB und BC als Geradengleichungen aufstellen, ihr Schnittpunkt ist M (Umkreismittelpunkt); $r^2 = |MA|^2$. Liegen A, B, C auf einer Geraden, gibt es keinen Kreis. |
Erklärungen mit Beispielen und Skizzen findest Du auf der Seite Kreis im Koordinatensystem. Gemeinsame Tangenten zweier Kreise berechnet der Rechner für Kreistangenten; dasselbe im Raum mit Kugeln kann der Kugel-Rechner.
Selbst üben
Stufe 1: Lage von Kreis und Gerade
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Aufgabe 1
\(k:\ x^2 + (y + 2)^2\) \(= 13,\) \(g:\ 3x + 2y\) \(= -17:\) Passante, Tangente oder Sekante?\(d = \frac{|13|}{\sqrt{13}} \approx 3{,}61 = r = \sqrt{13}\) \(\Rightarrow\) Tangente
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Aufgabe 2
\(k:\ (x + 4)^2 + (y - 4)^2\) \(= 29,\) \(g:\ 2x + 5y\) \(= 70:\) Passante, Tangente oder Sekante?\(d = \frac{|-58|}{\sqrt{29}} \approx 10{,}77 > r = \sqrt{29}\) \(\Rightarrow\) Passante
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Aufgabe 3
\(k:\ (x - 1)^2 + (y + 1)^2\) \(= 25,\) \(g:\ 4x + 3y\) \(= 8:\) Passante, Tangente oder Sekante?\(d = \frac{|-7|}{\sqrt{25}}\) \(= 1{,}4 < r\) \(= 5\) \(\Rightarrow\ \text{Sekante}\)
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Aufgabe 4
\(k:\ (x - 3)^2 + (y - 2)^2\) \(= 25,\) \(g:\ 4x - 3y\) \(= 28:\) Passante, Tangente oder Sekante?\(d = \frac{|-22|}{\sqrt{25}}\) \(= 4{,}4 < r\) \(= 5\) \(\Rightarrow\ \text{Sekante}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Passt dazu
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