Verflechtung: Leontief-Modell und mehrstufige Produktion
Kein Betrieb und kein Wirtschaftszweig arbeitet für sich allein: Ein Kraftwerk braucht Stahl, das Stahlwerk braucht Strom. Wie viel muss jeder Bereich insgesamt herstellen, damit nach dem gegenseitigen Verbrauch genug für den Markt übrig bleibt? Das beantwortet das Input-Output-Modell von Wassily Leontief – mit Matrizen und ihrer Inversen.
Die Verflechtungstabelle
Zwei Sektoren beliefern sich gegenseitig, sich selbst und den Markt. In der Tabelle steht in Zeile $i$, wie viele Einheiten Sektor $i$ an wen liefert:
| Lieferung von \ an | Sektor 1 | Sektor 2 | Markt (Endnachfrage $y$) | Gesamtproduktion $x$ |
|---|---|---|---|---|
| Sektor 1 | 20 | 30 | 50 | 100 |
| Sektor 2 | 40 | 10 | 50 | 100 |
Die Zeilensumme ergibt die Gesamtproduktion: Sektor 1 stellt $20 + 30 + 50 = 100$ Einheiten her, davon gehen 50 in die Produktion (Vorleistungen) und 50 an den Markt.
Inputmatrix und Leontief-Modell
Wie viel braucht ein Sektor von den anderen für eine Einheit seiner Produktion? Dazu teilt man jede Spalte durch die Gesamtproduktion des Sektors, der die Lieferung erhält: $a_{ij} = x_{ij} : x_j$.
Sektor 2 braucht also für jede Einheit 0,3 Einheiten von Sektor 1 und 0,1 Einheiten von sich selbst. Diese Inputmatrix (Technologiematrix) bleibt gleich, solange sich die Technik nicht ändert – auch wenn sich die Nachfrage ändert.
Merke: Leontief-Modell
Gesamtproduktion = Eigenverbrauch + Marktabgabe: $\;x = A \cdot x + y$. Umgestellt:
$E$ ist die Einheitsmatrix, $(E - A)^{-1}$ heißt Leontief-Inverse. Ihr Eintrag in Zeile $i$, Spalte $j$ gibt an, wie viel Sektor $i$ insgesamt herstellen muss, damit eine Einheit von Sektor $j$ an den Markt gehen kann.
Beispiel: Die Nachfrage ändert sich auf $y = (60;\ 30)$
Probe: $(E - A) \cdot x = (0{,}8 \cdot 105 - 0{,}3 \cdot 80;\ -0{,}4 \cdot 105 + 0{,}9 \cdot 80) = (60;\ 30)$. Für 2×2-Matrizen gilt die Formel $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$; größere invertiert man mit dem Gauß-Jordan-Verfahren (siehe Matrizen).
Umgekehrt: Plant man die Produktion $x$, dann ist die Marktabgabe $y = (E - A) \cdot x$ – dafür braucht man keine Inverse. Eine Volkswirtschaft heißt produktiv, wenn jede Endnachfrage $y \ge 0$ erfüllbar ist; das ist genau dann der Fall, wenn $(E - A)^{-1}$ existiert und keine negativen Einträge hat. Ist jede Spaltensumme von $A$ kleiner als 1, ist das sicher erfüllt.
Mehrstufige Produktion
In einer Fabrik entstehen aus Rohstoffen zuerst Zwischenprodukte (Baugruppen) und daraus Endprodukte. Die Mengen notiert man in Bedarfsmatrizen – oft zuerst als Pfeildiagramm, dem sogenannten Gozinto-Graphen („goes into“).
Beispiel: drei Rohstoffe, zwei Baugruppen, drei Produkte
Spalte = was eine Einheit braucht. Für eine Baugruppe Z₁ braucht man 2 Einheiten R₁ und 1 Einheit R₂; für ein Produkt E₁ eine Baugruppe Z₁ und drei Z₂:
Der Rohstoffbedarf je Endprodukt ist das Produkt der Matrizen (Matrizenmultiplikation, Reihenfolge beachten):
Ein Auftrag über $e = (10;\ 20;\ 5)$ Endprodukte braucht $z = M_{ZE} \cdot e = (50;\ 60)$ Baugruppen und $r = M_{RE} \cdot e = (160;\ 230;\ 120)$ Rohstoffeinheiten.
Kosten die Rohstoffe 2 €, 1 € und 3 € je Einheit, dann kosten die Rohstoffe für ein Endprodukt $(2;\ 1;\ 3) \cdot M_{RE} = (38;\ 21;\ 22)$ Euro, für den ganzen Auftrag $38 \cdot 10 + 21 \cdot 20 + 22 \cdot 5 = 910$ Euro.
Typische Fehler
- Bei der Inputmatrix durch die Zeilensumme des liefernden statt durch die Produktion des empfangenden Sektors teilen.
- $A^{-1} \cdot y$ statt $(E - A)^{-1} \cdot y$ rechnen.
- Bedarfsmatrizen in der falschen Reihenfolge multiplizieren: $M_{ZE} \cdot M_{RZ}$ passt meist nicht einmal von den Formaten.
Online üben
Vektoren gibst Du als Einträge mit Semikolon ein, z. B. 105; 80.
Stufe 1: Marktabgabe y = (E − A)·x
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Aufgabe 1
\(A = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}2 \end{pmatrix},\) \(x = \begin{pmatrix} 130 \\ 280 \end{pmatrix}:\) Marktabgabe \(y\)\(y_1; y_2\)\(y = x - A \cdot x\) \(= \begin{pmatrix} 130 \\ 280 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 108 \\ 69 \end{pmatrix}\) \(= \begin{pmatrix} 22 \\ 211 \end{pmatrix}\)
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Aufgabe 2
\(A = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0 \\ 0{,}3 & 0{,}4 \end{pmatrix},\) \(x = \begin{pmatrix} 120 \\ 230 \end{pmatrix}:\) Marktabgabe \(y\)\(y_1; y_2\)\(y = x - A \cdot x\) \(= \begin{pmatrix} 120 \\ 230 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 48 \\ 128 \end{pmatrix}\) \(= \begin{pmatrix} 72 \\ 102 \end{pmatrix}\)
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Aufgabe 3
\(A = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}4 \\ 0{,}1 & 0{,}2 \end{pmatrix},\) \(x = \begin{pmatrix} 130 \\ 220 \end{pmatrix}:\) Marktabgabe \(y\)\(y_1; y_2\)\(y = x - A \cdot x\) \(= \begin{pmatrix} 130 \\ 220 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 114 \\ 57 \end{pmatrix}\) \(= \begin{pmatrix} 16 \\ 163 \end{pmatrix}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Verflechtung – Leontief-Modell und mehrstufige Produktion
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.
Mit dem Leontief-Rechner rechnest Du eigene Tabellen und Bedarfsmatrizen exakt mit Brüchen durch. Wie Zustände sich mit Matrizen über die Zeit verändern, zeigen die Übergangsmatrizen.
Weiterlesen: Input-Output-Analyse, Wassily Leontief bei Wikipedia