DGL-Rechner
Gib eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. oder 2. Ordnung für $y(x)$ ein und – wenn Du willst – Anfangswerte. Der Rechner erkennt den Typ, zeigt den passenden Lösungsweg, bestimmt die Konstanten und macht die Probe.
Ergebnis
Lösung der Differentialgleichung $y' = x - y$ (lineare DGL 1. Ordnung):
Probe: Einsetzen der allgemeinen Lösung in die Differentialgleichung ergibt eine wahre Aussage.
Rechenweg
Nach y' auflösen
Bringe die Gleichung in die Form y' = F(x, y):
\[y' = x - y\]Linear: y' = a(x) · y + b(x)
Die Gleichung ist linear in y (y und y' kommen nur in der ersten Potenz vor). Hier ist:
\[a(x) = -1,\qquad b(x) = x\]Homogene Gleichung lösen
Ohne den Störterm b(x) lautet die Lösung der homogenen Gleichung y' = a(x)·y (Trennung der Variablen):
\[y_h = C \cdot e^{\int a(x)\,dx} = C \cdot e^{-x}\]Variation der Konstanten
Ersetze die Konstante C durch eine Funktion C(x) und setze y = C(x)·e^{∫a dx} ein. Es bleibt C'(x) = b(x)·e^{−∫a dx}; integrieren liefert C(x) und damit die allgemeine Lösung:
\[y = x + \mathrm{e}^{-x}\,C - 1\]
Lösungsschar
Fünf Lösungen für C = −2, −1, 0, 1, 2. Ein Anfangswert y(x₀) = y₀ wählt genau eine Kurve aus.
Welche Gleichungen löst der Rechner?
| Typ | Form | Lösungsweg |
|---|---|---|
| separierbar | $y' = g(x) \cdot h(y)$ | Trennung der Variablen: $\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx$ |
| linear, 1. Ordnung | $y' + a(x)\,y = r(x)$ | homogene Lösung $C\,e^{-A(x)}$, dann Variation der Konstanten |
| linear, 2. Ordnung, konstante Koeffizienten | $y'' + a\,y' + b\,y = r(x)$ | charakteristische Gleichung $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$, drei Fälle, partikuläre Lösung |
| weitere | Bernoulli, exakte DGL u. a. | Ergebnis mit Methode, Rechenweg nur verkürzt |
Die Lösung mit allen Konstanten heißt allgemeine Lösung; mit Anfangswerten wird daraus genau eine Funktion. Erklärungen und Übungen findest Du unter Differentialgleichungen. Wachstumsmodelle wie $y' = k\,y$ und $y' = k\,(S - y)$ werden auch unter Wachstum und Zerfall erklärt; Integrale berechnet der Integralrechner. Den Verlauf der Lösungen einer Gleichung $y' = f(x, y)$ zeigt das interaktive Richtungsfeld – Startpunkt anklicken, Näherungslösung sehen.
Weiterlesen: Lineare gewöhnliche Differentialgleichung bei Wikipedia