Konvergenzradius- und Reihen-Rechner
Gib bei einer Potenzreihe $\sum a_n\,(x - x_0)^n$ den Koeffizienten $a_n$ und den Entwicklungspunkt $x_0$ ein. Der Rechner bestimmt den Konvergenzradius $R$, untersucht die beiden Randpunkte und gibt das Konvergenzintervall an. Im zweiten Modus prüft er, ob eine Reihe $\sum a_n$ konvergiert – absolut, bedingt oder gar nicht.
Ergebnis
Die Reihe $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}$ ist absolut konvergent.
Rechenweg
Quotient zweier Nachbarglieder
Für das Quotienten-Kriterium wird $a_{n+1}$ durch $a_n$ geteilt und vereinfacht:
\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left(n + 1\right)^{2}}{2\,n^{2}}\]Nullfolgen-Kriterium
$\lim\limits_{n\to\infty} |a_n| = 0$ – notwendig für Konvergenz, aber noch nicht ausreichend.
Quotientenkriterium
$q = \lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{2} < 1$ – die Reihe konvergiert absolut.
Partialsummen zur Kontrolle
Die Partialsumme $s_N$ ist die Summe der ersten Glieder bis $n = N$. Konvergiert die Reihe, nähern sich die Partialsummen einem Grenzwert – die Tabelle ersetzt aber keinen Beweis.
Anzahl Glieder Partialsumme 1 \(s_{0} \approx 0\) 2 \(s_{1} \approx 0{,}5\) 3 \(s_{2} \approx 1{,}5\) 4 \(s_{3} \approx 2{,}625\) 5 \(s_{4} \approx 3{,}625\) 10 \(s_{9} \approx 5{,}759766\) 20 \(s_{19} \approx 5{,}999155\) 50 \(s_{49} \approx 6\) 100 \(s_{99} \approx 6\) 150 \(s_{149} \approx 6\)
Partialsummen
Waagerecht: Anzahl der Glieder N, senkrecht: Partialsumme s_N.
So rechnet der Rechner
| Schritt | Was passiert |
|---|---|
| Konvergenzradius | $R = \lim \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$; existiert dieser Grenzwert nicht, wird $R = 1 / \lim \sqrt[n]{|a_n|}$ verwendet. |
| Randpunkte | $x_0 - R$ und $x_0 + R$ werden eingesetzt. Die entstehenden Zahlenreihen werden mit Nullfolgen-Test, Vergleich mit $\sum \frac{1}{n^p}$ und Leibniz-Kriterium untersucht. |
| Reihe prüfen | Reihenfolge der Tests: Nullfolge → Quotientenkriterium → Vergleich mit $\frac{1}{n^p}$ (über das Wachstum von $|a_n|$) → Leibniz. Dazu eine Tabelle und eine Grafik der Partialsummen und – wenn möglich – der exakte Wert der Reihe. |
Grenzen des Rechners
Reihen, für die man das Integralkriterium oder geschickte Abschätzungen braucht (z. B. $\sum \frac{1}{n \ln n}$) oder deren Vorzeichen unregelmäßig wechseln (z. B. $\sum \frac{\sin n}{n^2}$), werden als „nicht entschieden“ gemeldet. Die Partialsummen-Tabelle zeigt dann nur eine Tendenz.
Alle Kriterien mit Beispielen und Übungen erklärt die Seite Konvergenz von Reihen und Konvergenzradius. Taylorreihen bekannter Funktionen findest Du unter Taylorpolynom und Taylorreihe, Taylorpolynome berechnet der Taylor-Rechner.
Weiterlesen: Potenzreihe bei Wikipedia