t-Test
Ein Kaffeeautomat soll 200 ml einfüllen. Zehn Becher ergeben im Mittel 197,8 ml. Ist das noch Zufall oder füllt der Automat zu wenig ein? Beim Gauß-Test müsste man die Streuung der Grundgesamtheit kennen. Meist kennt man sie nicht – dann schätzt man sie aus der Stichprobe und rechnet mit der t-Verteilung. Das ist der t-Test, einer der am häufigsten verwendeten Tests in Studium und Forschung.
Warum t-Verteilung statt Normalverteilung?
Wird $\sigma$ durch die Stichproben-Standardabweichung $s$ ersetzt, kommt eine zusätzliche Unsicherheit ins Spiel: Auch $s$ schwankt von Stichprobe zu Stichprobe. Die Testgröße ist deshalb nicht mehr standardnormalverteilt, sondern t-verteilt. Die t-Verteilung sieht aus wie eine flachere Glockenkurve mit dickeren Rändern. Wie flach, hängt von der Zahl der Freiheitsgrade $df$ ab – bei einer Stichprobe ist $df = n - 1$.
Standardnormalverteilung t-Verteilung mit df = 5 t-Verteilung mit df = 1
Merke
- Je kleiner die Stichprobe, desto dicker die Ränder der t-Verteilung – die kritischen Werte werden größer.
- Ab etwa 30 Freiheitsgraden unterscheidet sich die t-Verteilung kaum noch von der Normalverteilung.
Ein-Stichproben-t-Test
Merke: Testgröße
$H_0$ wird abgelehnt, wenn $t$ im Ablehnungsbereich liegt: zweiseitig bei $|t| \geq t_{n-1;\,1-\alpha/2}$, rechtsseitig bei $t \geq t_{n-1;\,1-\alpha}$, linksseitig bei $t \leq -t_{n-1;\,1-\alpha}$.
Füllt der Automat zu wenig ein?
Gemessen wurden (in ml): 197; 203; 195; 199; 196; 201; 194; 198; 196; 199. Der Betreiber möchte nachweisen, dass zu wenig eingefüllt wird: $H_0\!: \mu \geq 200$, $H_1\!: \mu < 200$, $\alpha = 5\,\%$ (linksseitig).
Mit $df = 9$ ist der kritische Wert $-t_{9;\,0{,}95} \approx -1{,}833$. Weil $t \approx -2{,}5$ unter dem kritischen Wert liegt, wird $H_0$ abgelehnt: Der Automat füllt signifikant zu wenig ein. Der p-Wert beträgt $P(T \leq -2{,}502) \approx 0{,}0169$.
Konfidenzintervall für μ
Aus denselben Zutaten entsteht ein Intervall, das den unbekannten Mittelwert mit vorgegebener Sicherheit überdeckt:
Für den Automaten ergibt sich zum Niveau 95 % mit $t_{9;\,0{,}975} \approx 2{,}262$ das Intervall $[195{,}81;\ 199{,}79]$. Der Sollwert 200 ml liegt nicht darin.
Tipp: Test und Intervall gehören zusammen
Ein zweiseitiger t-Test zum Niveau $\alpha$ lehnt $H_0\!: \mu = \mu_0$ genau dann ab, wenn $\mu_0$ nicht im Konfidenzintervall zum Niveau $1 - \alpha$ liegt.
Zwei unabhängige Stichproben
Oft werden zwei Gruppen verglichen, etwa zwei Lernmethoden oder zwei Düngemittel. Die Nullhypothese lautet dann meist $H_0\!: \mu_1 = \mu_2$. Sind die Streuungen in beiden Gruppen ungefähr gleich, fasst man die Varianzen zu einer gemeinsamen Schätzung $s_p$ zusammen:
Merke: Zwei-Stichproben-t-Test (gleiche Varianzen)
Streuen die Gruppen deutlich verschieden, nimmt man den Welch-Test: $t = (\overline{x}_1 - \overline{x}_2) : \sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}$ mit angepasster, meist nicht ganzzahliger Zahl der Freiheitsgrade.
Hilft die neue Lernmethode?
Gruppe A (neue Methode): $n_1 = 12$, $\overline{x}_1 = 72{,}4$ Punkte, $s_1 = 8{,}1$. Gruppe B (bisherige Methode): $n_2 = 14$, $\overline{x}_2 = 65{,}9$, $s_2 = 9{,}3$. Zweiseitiger Test mit $\alpha = 5\,\%$:
Mit $df = 24$ ist $t_{24;\,0{,}975} \approx 2{,}064$. Weil $|t|$ kleiner ist, ist der Unterschied auf dem Niveau 5 % nicht signifikant (p $\approx 0{,}0717$). Hätte man vorher einseitig getestet, ob die neue Methode besser ist, wäre das Ergebnis mit $t_{24;\,0{,}95} \approx 1{,}711$ signifikant gewesen. Die Testart muss deshalb immer vor dem Blick auf die Daten feststehen.
Verbundene (gepaarte) Stichproben
Werden dieselben Personen zweimal gemessen – vorher und nachher –, sind die Werte nicht unabhängig. Dann bildest Du für jede Person die Differenz $d_i$ und testest mit einem Ein-Stichproben-t-Test, ob der Mittelwert der Differenzen von 0 abweicht.
Macht ein Training schneller?
Sechs Personen messen ihre Reaktionszeit (in ms) vor und nach einem Training:
| Person | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| vorher | 312 | 298 | 335 | 301 | 322 | 290 |
| nachher | 295 | 291 | 318 | 300 | 309 | 287 |
| $d_i$ | -17 | -7 | -17 | -1 | -13 | -3 |
Getestet wird $H_0\!: \mu_D \geq 0$ gegen $H_1\!: \mu_D < 0$ (die Zeit wird kürzer), $\alpha = 5\,\%$:
Mit $df = 5$ ist der kritische Wert $-t_{5;\,0{,}95} \approx -2{,}015$. Die Testgröße liegt darunter – das Training verkürzt die Reaktionszeit signifikant (p $\approx 0{,}0098$).
Achtung
Würde man die beiden Reihen hier wie unabhängige Gruppen behandeln, ginge der Vorteil des Vorher-nachher-Vergleichs verloren: Die großen Unterschiede zwischen den Personen würden den Effekt des Trainings überdecken.
p-Wert statt kritischer Wert
Statistikprogramme geben meist den p-Wert aus: die Wahrscheinlichkeit, unter $H_0$ eine mindestens so extreme Testgröße zu erhalten. Die Entscheidungsregel ist dann ganz einfach: Ist $p \leq \alpha$, wird $H_0$ abgelehnt. Beim zweiseitigen Test wird die Wahrscheinlichkeit beider Ränder addiert, also $p = 2 \cdot P(T \geq |t|)$.
Voraussetzungen und typische Fehler
- Die Messwerte sollen unabhängig voneinander sein und aus einer (annähernd) normalverteilten Grundgesamtheit stammen. Bei großen Stichproben (etwa ab 30 Werten) ist der t-Test auch sonst recht robust.
- Für $s$ wird durch $n - 1$ geteilt, nicht durch $n$.
- Gepaarte Daten nicht als zwei unabhängige Gruppen auswerten.
- Ein nicht signifikantes Ergebnis beweist nicht, dass kein Unterschied besteht – vielleicht war nur die Stichprobe zu klein.
Tabelle der t-Quantile
In der Tabelle steht $t_{df;\,q}$, also der Wert, unter dem die t-verteilte Testgröße mit der Wahrscheinlichkeit $q$ liegt. Für den zweiseitigen Test mit $\alpha = 5\,\%$ brauchst Du die Spalte 0,975, für den einseitigen die Spalte 0,95. Die letzte Zeile enthält die Werte der Normalverteilung.
| df | 0,9 | 0,95 | 0,975 | 0,99 | 0,995 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3,078 | 6,314 | 12,706 | 31,821 | 63,657 |
| 2 | 1,886 | 2,920 | 4,303 | 6,965 | 9,925 |
| 3 | 1,638 | 2,353 | 3,182 | 4,541 | 5,841 |
| 4 | 1,533 | 2,132 | 2,776 | 3,747 | 4,604 |
| 5 | 1,476 | 2,015 | 2,571 | 3,365 | 4,032 |
| 6 | 1,440 | 1,943 | 2,447 | 3,143 | 3,707 |
| 7 | 1,415 | 1,895 | 2,365 | 2,998 | 3,499 |
| 8 | 1,397 | 1,860 | 2,306 | 2,896 | 3,355 |
| 9 | 1,383 | 1,833 | 2,262 | 2,821 | 3,250 |
| 10 | 1,372 | 1,812 | 2,228 | 2,764 | 3,169 |
| 12 | 1,356 | 1,782 | 2,179 | 2,681 | 3,055 |
| 15 | 1,341 | 1,753 | 2,131 | 2,602 | 2,947 |
| 20 | 1,325 | 1,725 | 2,086 | 2,528 | 2,845 |
| 25 | 1,316 | 1,708 | 2,060 | 2,485 | 2,787 |
| 30 | 1,310 | 1,697 | 2,042 | 2,457 | 2,750 |
| 40 | 1,303 | 1,684 | 2,021 | 2,423 | 2,704 |
| 60 | 1,296 | 1,671 | 2,000 | 2,390 | 2,660 |
| 100 | 1,290 | 1,660 | 1,984 | 2,364 | 2,626 |
| ∞ (z) | 1,282 | 1,645 | 1,960 | 2,326 | 2,576 |
Alle Varianten mit Rechenweg, p-Wert, Konfidenzintervall und Grafik rechnet der t-Test-Rechner. Ist die Standardabweichung bekannt, genügt der Gauß-Test mit der Normalverteilung. Häufigkeiten in Kategorien vergleicht der Chi-Quadrat-Test. Sind die Daten nicht normalverteilt, vergleicht der Mann-Whitney-U-Test zwei Gruppen über Ränge; drei und mehr Gruppen vergleicht die Varianzanalyse. Woher die Freiheitsgrade kommen, erklärt die Seite Freiheitsgrade.
Übungsaufgaben
Stufe 1: Testgröße einer Stichprobe, Stufe 2: Konfidenzintervall, Stufe 3: zwei Gruppen und gepaarte Daten. Die nötigen t-Werte stehen in der Tabelle oben oder direkt in der Aufgabe.
Stufe 2: Konfidenzintervall
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Aufgabe 1
\(n = 25,\) \(\overline{x} = 508{,}2,\) \(s = 20{,}6\): Konfidenzintervall zum Niveau \(95\,\% \text{ mit } t = 2{,}064\text{?}\)\(\text{Grenzen}\)\(\tfrac{s}{\sqrt{n}} = \tfrac{20{,}6}{5}\) \(\approx 4{,}12;\) \(508{,}2 \pm 2{,}064 \cdot 4{,}12\) \(\Rightarrow\; [499{,}7;\ 516{,}7]\)
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Aufgabe 2
\(n = 20,\) \(\overline{x} = 115,\) \(s = 6{,}2\): Konfidenzintervall zum Niveau \(99\,\% \text{ mit } t = 2{,}861\text{?}\)\(\text{Grenzen}\)\(\tfrac{s}{\sqrt{n}} = \tfrac{6{,}2}{\sqrt{20}}\) \(\approx 1{,}3864;\) \(115 \pm 2{,}861 \cdot 1{,}3864\) \(\Rightarrow\; [111{,}03;\ 118{,}97]\)
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Aufgabe 3
\(n = 40,\) \(\overline{x} = 506{,}7,\) \(s = 16{,}8\): Konfidenzintervall zum Niveau \(99\,\% \text{ mit } t = 2{,}708\text{?}\)\(\text{Grenzen}\)\(\tfrac{s}{\sqrt{n}} = \tfrac{16{,}8}{\sqrt{40}}\) \(\approx 2{,}6563;\) \(506{,}7 \pm 2{,}708 \cdot 2{,}6563\) \(\Rightarrow\; [499{,}51;\ 513{,}89]\)
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Aufgabe 4
\(n = 25,\) \(\overline{x} = 262{,}6,\) \(s = 6{,}6\): Konfidenzintervall zum Niveau \(99\,\% \text{ mit } t = 2{,}797\text{?}\)\(\text{Grenzen}\)\(\tfrac{s}{\sqrt{n}} = \tfrac{6{,}6}{5}\) \(\approx 1{,}32;\) \(262{,}6 \pm 2{,}797 \cdot 1{,}32\) \(\Rightarrow\; [258{,}91;\ 266{,}29]\)
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Aufgabe 5
\(n = 15,\) \(\overline{x} = 128{,}8,\) \(s = 4\): Konfidenzintervall zum Niveau \(99\,\% \text{ mit } t = 2{,}977\text{?}\)\(\text{Grenzen}\)\(\tfrac{s}{\sqrt{n}} = \tfrac{4}{\sqrt{15}}\) \(\approx 1{,}0328;\) \(128{,}8 \pm 2{,}977 \cdot 1{,}0328\) \(\Rightarrow\; [125{,}73;\ 131{,}87]\)
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Aufgabe 6
\(n = 25,\) \(\overline{x} = 66{,}6,\) \(s = 7{,}3\): Konfidenzintervall zum Niveau \(95\,\% \text{ mit } t = 2{,}064\text{?}\)\(\text{Grenzen}\)\(\tfrac{s}{\sqrt{n}} = \tfrac{7{,}3}{5}\) \(\approx 1{,}46;\) \(66{,}6 \pm 2{,}064 \cdot 1{,}46\) \(\Rightarrow\; [63{,}59;\ 69{,}61]\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: t-Test und Konfidenzintervall
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Weiterlesen: t-Test, Studentsche t-Verteilung bei Wikipedia