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Bruchterm-Rechner

Gib einen Bruchterm ein – einen einzelnen Bruch zum Kürzen, eine Summe oder Differenz, ein Produkt, einen Quotienten oder einen Doppelbruch. Der Rechner bestimmt die Definitionsmenge, zerlegt in Faktoren, bildet den Hauptnenner und kürzt. Jeder Schritt wird angezeigt.

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Schreibweise: Bruchstrich als /, Zähler und Nenner in Klammern, z. B. (x+1)/(x-2). Malpunkt als * (2x geht auch), Hochzahlen mit ^ (x^2). Mit „:“ teilst Du durch den ganzen folgenden Bruch: (x^2-9)/(4x) : (x+3)/(2x). Dezimalzahlen mit Komma. Erlaubt sind bis zu drei Variablen (einzelne Buchstaben).

Beispiele: $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ kürzen $\frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x + 1}$ $\frac{x}{x^2 - 4} - \frac{1}{x - 2}$ $\frac{x^2 - 9}{4x} : \frac{x + 3}{2x}$ $\frac{2x + 4}{x^2 - 4} \cdot \frac{x - 2}{6x}$ Doppelbruch $\frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x} - 1}$ $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2}$

Ergebnis

Zusammengefasst und gekürzt:

\[\frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x + 1} = \frac{5 - x}{\left(x + 1\right)\left(x - 1\right)} = \frac{5 - x}{x^{2} - 1}\]
\[\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{ -1;\ 1 \right\}\]
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Rechenweg

  1. Definitionsmenge

    Setze jeden Nenner gleich 0 – am einfachsten in Faktoren zerlegt. Für diese Zahlen wird ein Nenner 0 – sie sind ausgeschlossen.

    \[\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{ -1;\ 1 \right\}\]

  2. Hauptnenner bestimmen

    Der Hauptnenner enthält jeden Faktor, der in einem Nenner vorkommt – jeden so oft, wie er höchstens in einem Nenner steht.

    \[\text{HN} = \left(x + 1\right)\left(x - 1\right)\]

  3. Erweitern

    Erweitere jeden Bruch mit den Faktoren, die seinem Nenner zum Hauptnenner fehlen.

    \[\frac{2}{x - 1} = \frac{2 \cdot \left(x + 1\right)}{\left(x + 1\right)\left(x - 1\right)}\]
    \[\frac{3}{x + 1} = \frac{3 \cdot \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)\left(x - 1\right)}\]

  4. Auf einen Bruchstrich und Zähler zusammenfassen

    Jetzt haben alle Brüche denselben Nenner. Schreibe die Zähler auf einen Bruchstrich – mit Klammern, damit ein Minus vor dem Bruch für den ganzen Zähler gilt – und fasse zusammen.

    \[\frac{2\,x + 2 - \left(3\,x - 3\right)}{\left(x + 1\right)\left(x - 1\right)} = \frac{5 - x}{\left(x + 1\right)\left(x - 1\right)}\]

  5. Kürzen?

    Der Zähler hat keinen Faktor mit dem Nenner gemeinsam – das Ergebnis lässt sich nicht kürzen.

So rechnet der Rechner

  1. Definitionsmenge: Jeder Nenner wird in Faktoren zerlegt. Die Nullstellen dieser Faktoren sind verboten. Bei einer Division durch einen Bruch ist auch die Nullstelle seines Zählers verboten.
  2. Einzelner Bruch: Zähler und Nenner werden faktorisiert – durch Ausklammern, mit einer binomischen Formel oder über die Nullstellen. Gemeinsame Faktoren werden gestrichen.
  3. Summe oder Differenz: Aus den zerlegten Nennern entsteht der Hauptnenner. Jeder Bruch wird passend erweitert, die Zähler werden zusammengefasst und das Ergebnis, wenn möglich, gekürzt.
  4. Produkt, Quotient, Doppelbruch: Teilen wird zu Malnehmen mit dem Kehrwert. Alles kommt auf einen Bruchstrich, in Faktoren zerlegt – und wird gekürzt, bevor etwas ausmultipliziert wird.

Das Faktorisieren und den größten gemeinsamen Teiler von Polynomen berechnet das Computeralgebrasystem Maxima. Zur Sicherheit vergleicht der Rechner das Ergebnis an mehreren Stellen mit dem eingegebenen Term.

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